凸顯運算律一致性的小學數學單元整體教學

摘 要 踐行運算律“一致性”理念，引領學生體悟運算律在內涵、外延和運用方面的一致性，可以幫助他們找到蘊藏其中的通性通法，促進整體性建構，培養系統性思維，提升綜合運用智慧，逐步培養學生的數感、運算能力、推理意識、模型意識等核心素養，體現單元整體教學的結構價值、思維價值和育人價值。

關" 鍵" 詞 運算律；一致性；單元整體教學；小學數學

引用格式 馮桂群.凸顯運算律一致性的小學數學單元整體教學[J].教學與管理，2025（05）：37-39.

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：“改變過于注重以課時為單位的教學設計，推進單元整體教學設計，體現數學知識之間的內在邏輯關系，以及學習內容與核心素養表現的關聯”，“整體設計，分步實施，促進學生對數學教學內容的整體理解與把握，逐步培養學生的核心素養”[1]。“運算律”是蘇教版《數學》四年級下冊的內容，為了落實單元整體教學，不少教師關注對運算律探究方法的整體架構，讓學生在“猜想—驗證—發現—總結—運用”中建構運算律模型；圍繞主題對教學內容進行整合和重組，分為“知識種子課”“方法生長課”“思維拓展課”“問題解決課”“整理復習課”開展教學探索[2]。其實，在此基礎上，我們更應踐行長期被忽視的運算律一致性理念，關注運算律在內涵、外延和運用方面的一致性，幫助學生找到蘊藏其中的通性通法，生成結構化認知，培養系統性思維，促進整體性建構，進而在化難為易、化多為少、轉知成智中達成減負增效、培育素養的育人目標。下面結合筆者的實踐與思考談談如何緊扣運算律的一致性落實單元整體教學。

一、由變化維度凸顯運算律內涵的一致性，促進整體性建構，體現單元整體教學的結構價值

“運算律”包括加法交換律和結合律、乘法交換律和結合律以及乘法對加法的分配律，雖然這五大運算律的意義、表述、字母公式和實際運用等都不相同，但都是圍繞數據位置、運算順序或運算類型的變化來區別和定義的，其共同點是等值變形——不管外形如何變換，算式的結果始終是不變的。所以，“算式的變換”是本單元的核心概念，要聚集于算式中數據位置、運算順序或運算類型的變化，凸顯運算律內涵的一致性，從而提升運算律的辨識度，強化運算律的本質屬性，實現對運算律的深度理解與整體把握，培育數感、模型意識、推理意識等核心素養，體現單元整體教學的結構價值。

1.由變化維度清晰界定運算律的內涵特質

“運算律”教學的第1課時是加法的交換律和結合律。按照觀察算式、大膽猜想、自主驗證、發現規律、表述規律的探究過程，學生能很快記住相應的字母公式。但數學學習不能止于表面、膚淺、零碎的淺層識記，而應盡快組織學生從“變與不變”的視角探討這兩大運算律的異同點，由此總結出：加法交換律是數據位置變而運算結果不變，加法結合律是數據位置跟運算結果都不變而運算順序變。同時，為了強化這兩大運算律的本質區別，應將加法交換律相應的字母公式擴展為三個運算對象，即a+b+c=b+a+c。這樣，由字母公式a+b+c=b+a+c和（a+b）+c=a+（b+c）的形似而神異，進一步突顯兩者的異同之處：都是連加運算，和都不變；加法交換律只是數據位置變而運算順序不變，但加法結合律是數據位置不變而運算順序變。之后，讓學生在具體實例中辨析和鞏固。到了第4課時教學乘法交換律和結合律時，學生就會將連加運算律的學習經驗和方法自然遷移到連乘的運算律中，通過類比建構乘法交換律和結合律的數學模型，顯現深層次的勾連遷移能力。

教學第5課時乘法對加法的分配律時，教師同樣要引導學生從變化維度來建構相應的數學模型。比如，當學生創生出分配律的字母公式（a+b）×c=a×c+b×c和（a-b）×c=a×c-b×c后，引導學生圍繞數據位置、運算順序、運算類型三個維度，深度比較分配律與交換結合律的不同之處：分配律中的數據位置發生變化，相同乘數要么出現在括號外面，要么會重復出現；運算順序發生了變化，要么先加（減）再乘，要么先分別乘再加（減）；運算類型也從連加或連乘變為了乘加或乘減混合。

由此，圍繞數據位置、運算順序、運算類型這三個變化維度仔細觀察等式的左右部分，學生更容易領悟形似神異的字母算律“表面結構所依附的、具有支配性的深層結構，整理與建構內容之間的秩序與意義，使之形成網狀關系”[3]，使得五大運算律被遮蔽的深層內涵能清晰明了地呈現在學生面前。

2.由變化維度清晰建構運算律的整體認知圖式

學生在學習運算律的過程中，不僅要緊扣“算式的變換”在同化和順應過程中建構三類運算律的內涵特質、外在表征和實際運用等知識，還要跟減法和除法的兩大性質以及相關的計算技巧關聯和融合，建立散點之間的聯系，借助全面梳理、巧算對比、唱說兒歌等方式及時建立深層結構網絡，生成關于本單元的整體認知圖式。

比如，在學生建構了三類運算律的字母模型后，筆者引導學生仍舊圍繞數據位置、運算順序、運算類型三大變化維度，自主生成有關減法和除法性質的字母公式：a-b-c=a-c-b（減數位置變，減數可以調位置，運算順序不變），或a-b-c=a-（b+c）（數據位置不變，運算順序變）；a÷b÷c=a÷c÷b（除數位置變，除數可以調位置，運算順序不變），或a÷b÷c=a÷（b×c）（數據位置不變，運算順序變）。同時，為了激發興趣、加強記憶、方便提取，加速思維的自動化，筆者還組織學生將所學的數學模型創編成朗朗上口的兒歌，并在全班組織誦讀比賽。

當相關的知識陸續學完后，創編的兒歌也像滾雪球般由一首變為多首，這樣的積少成多不但沒有成為學生學習的負擔，反而更利于他們從整體和全局的維度掌握本單元知識，形成整體性、結構化的思維模式，讓學生體驗了運算規律的關聯之美和數學表達的韻律之美。

二、由意義維度凸顯運算律外延的一致性，培養系統性思維，體現單元整體教學的思維價值

劉加霞認為，緊扣算式的意義也就是加法、乘法的意義，判斷兩個算式之間能不能寫“=”，不僅符合學生的學習興趣，而且能潛移默化地培養學生的模型意識與代數思維，使知識目標與能力素養目標有機地融為一體[4]。實際教學中不難發現：學習以上三類運算律，學生最易混淆的是對乘法結合律和乘法對加法或減法分配律的外延區分。其實，緊扣乘法意義進行具體算式的分析，以上學習難點便可不攻自破，達成乘法類運算律外延的一致性——看有幾個幾相加，進而形成關于運算律的通性通法，體現單元整體教學的思維價值。

1.由乘法意義輕松搞定乘法分配律的豐富變式

筆者在實踐中發現，只要讓學生先確定誰是算式中的相同數，再思考有幾個這樣的相同數，不管面對什么樣的題型變化，都不會有思維上的障礙。如在乘法分配律的新授課中，筆者先引導學生玩數手指的游戲并明確：一只手有5個手指，老師的兩只手有2個5，列式是5+5或5×2，這里的5是相同加數；同座兩人的手指數共有4個5，列式是5×4；加上老師的手指數就是5×4+5×2，這里的5既是相同加數，也是相同乘數，簡稱相同數；5×4+5×2表示4個5加2個5，一共是6個5，即5×4+5×2=5×（4+2）；接著，借助教材中“四、五年級共領多少根跳繩和兩個年級相差多少根跳繩”的問題情境，在找尋“含有幾個相同數”中共同建構分配律的字母等式（a+b）×c=a×c+b×c或（a-b）×c=a×c-b×c；然后，再次引導學生明確：等式中的c表示相同數，它要么出現了兩次，要么在括號的外面；最后，在練習環節，尤其是錯題訂正中，筆者要求學生在等值變形中先用線劃出相同數，再在算式下面標注出是幾個這樣的相同數相加減，判斷算式左右是否相等。借助符號表征及言語表述，學生對算式變形中乘法意義的理解就在外顯行為中徹底通透明晰了，達到了一通百通的學習效果。

2.由加法和乘法意義明確區分乘法結合律和乘法分配律

四則運算中加法表示把幾個數合并起來的運算，而乘法是加法的簡便運算，表示幾個幾相加。借助加法和乘法意義，可以將結合律和分配律區分得一清二楚。如當學生將25×（4×3）和25×（4+3）混為一談時，可以先引導學生觀察括號里的4×3和4+3在符號、意義和結果上的區別；之后，直接追問：25×（4×3）和25×（4+3）分別表示幾個25相加，連乘的運算可以用什么運算律進行等值變形，乘和加的運算呢？如何詳細標注思路？最后在拓展中啟發：還有哪些連乘或乘加算式也表示12個25？表示7個25的呢？這樣，學生在獨立思考和小組交流中圍繞算式的乘法意義——“含有幾個25”，充分地進行思維聚合和發散，澄清了認知的錯誤，破解了學習上的難點，享受了舉一反三、觸類旁通的思考樂趣。

三、由思想維度凸顯運算律運用的一致性，提升綜合應用智慧，體現單元整體教學的育人價值

為了靈活應用運算律進行簡便計算，提升簡算意識和綜合運用能力，學生需要數學思想的滋養和引領。教學實踐中，筆者嘗試讓學生借助湊整思想[5]引發一題多算、一題多變等數學實踐，提升學生的簡算能力，培養學生的綜合運用智慧，體現單元整體教學的育人價值。

1.由湊整思想引發一題多算，在求異求優求聯中促活用

湊整是指通過算式中數據、計算、運算順序等的變化，湊出整十、整百、整千等數，從而讓計算變得簡便、易算的思想方法。湊整思想是讓計算變得簡捷、方便的重要思路和思想，也是引導學生綜合運用多種運算律進行靈活簡算的重要抓手。比如計算25×36時，筆者就啟發學生：如何拆分才能實現湊整，進而達成簡算的目的？在獨立思考和相互啟發中，學生想到：可以將其中一個數依次拆分成加、減、乘、除的形式，進而實現湊整，達成簡算。在有序列舉中，學生想到了21種算法，展現了活學活用的巨大潛力；在算法多樣的基礎上，筆者進一步引導學生找到最優算法（25×4×9），同時打通算法之間的關聯（圍繞四則運算來有序拆分和嘗試），促成思維上的求異、求優和求聯。

2.由湊整思想引導一題多變，在求同存異中增智慧

面對乘法分配律的多種變式運用，同樣可以借助湊整思想，讓學生在一題多變中體驗如何運用合與分的方法成功湊整并簡算，進而獲得“通一組會全部”的學習智慧。比如，筆者讓學生練習一組由易到難的對比題：65×99+65×1、65×99+65、65×101-65、65×99、65×101，在觀察、對比、思考和表達中，學生發現：這幾道題中的相同數都是65，可以借助湊整解決問題。

總之，由變化維度凸顯運算律內涵的一致性，由意義維度凸顯運算律外延的一致性，由思想維度凸顯運算律運用的一致性， 可以很好地實現單元整體教學的結構價值、思維價值和育人價值，幫助學生在內化運算律的過程中形成網狀的整體性思維和深層次的勾連遷移能力，擁有結構化思維所呈現的整體性、關系性和遷移性[6]，從而突破運算律學習中的重重障礙。

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022：86.

[2] 陸曉楠.基于單元整體教學設計的“知識種子課”探索——《交換律》教學與思考[J].教育視界，2024（24）：8-11.

[3][6] 張澤慶，吳加奇，張春莉.新課標下小學數學單元整體教學設計的價值追求與要素分析[J].課程·教材·教法，2023，43（05）：102-108.

[4] 劉加霞.運算律的本質、內容進階與教學建議[J].教學月刊小學版（數學），2023（12）：18-22.

[5] 高飛.數感在“追問”中生成[J].教學與管理，2013（26）：57-59.

[責任編輯：陳國慶]

*該文為國家社會科學基金2023年度教育學一般項目 “面向基層實踐的義務教育數學核心素養結構模型與生成機制研究”（BHA230153）的研究成果