高中數學大單元視域下的習題課講評

摘"要"習題講評課是高中數學大單元教學的一種重要課型，是學生掌握基礎知識的重要途徑，也是學生能否運用理論解決實際問題的“試金石”，對學生核心素養的培養具有無可替代的作用.本文通過對一道課本練習題的講解，探尋高中數學大單元視域下的習題課講評的方法與策略.

關鍵詞"習題課；大單元教學；核心素養

1.引言

高中數學學科核心素養要求學生對高中的知識內容進行深度學習，無不透露出大單元教學的現實必要性.要有效落實高中數學學科核心素養，基于深度學習的高中數學大單元教學是必經之路.高中數學學科核心素養賦予了高中數學大單元教學新的內涵與意義，給學生的深度學習指明了方向.基于深度學習的高中數學大單元教學通過對學習內容進行整合，對學科本質進行把握，對高階思維進行發展，在教學設計過程中依托大概念、制定大目標、設置大任務、實現大發展，從而可以有效落實高中數學學科核心素養.讓“立德樹人”根本任務得以承載，讓素質教育功能得以發展.

在新課標、新教材和新高考的“三新”改革背景下，如何推進課堂教學改革，穩步提升教學質量，是高中數學課堂教學必須面對的新方向，廣大一線教師應該積極探索.習題講評課是高中數學大單元教學的一種重要的課型，是學生對基礎知識進行掌握的重要途徑，也是學生能否運用理論來解決實際問題的“試金石”，對學生核心素養的培養具有無可替代的作用.本文以一道課本習題講解為例，探尋在大單元視域下習題課的講評.

2.習題

（人教A版《數學選擇性必修第一冊》第116頁）已知橢圓x24+y29=1，一組平行直線的斜率是32.

（1）這組直線何時與橢圓相交；

（2）當他們與橢圓相交時，證明這些直線被橢圓截得的線段的中點在同一直線上.

2.1"在解題方法的探究上進行大單元教學

（1）易得這組直線的縱截距在（－32，32）時與橢圓相交。

（2）解法1"（設線法）設直線方程為y=32x+m，代入橢圓x24+y29=1中得18x2+12mx+4m2－36=0.設直線與橢圓交于A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y）為線段AB的中點，則x1+x2=－23m=2x①，所以y1+y2=32（x1+x2）+2m=m=2y②.聯立①，②消去m得3x+2y=0，所以這些直線被橢圓截得的線段的中點在同一直線3x+2y=0上.

解法2"（設點法）設直線與橢圓交于A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y）為線段AB的中點，則kOM·kAB=2y2x×y2－y1x2－x1=y22－y12x22－x12=9（1－x224）－9（1－x124）x22－x12=－94.因為kAB=32，所以kOM=－32，所以OM：3x+2y=0，所以這些直線被橢圓截得的線段的中點在同一直線3x+2y=0上.

解法3"（點差法）設直線與橢圓交于A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y）為線段AB的中點，則x1+x2=2x，y1+y2=2y，又x124+y129=1，x224+y229=1，兩式作差得14（x1+x2）（x1－x2）+19（y1+y2）（y1－y2）=0，即y1－y2x1－x2=－94×x1+x2y1+y2，故32=－94×2x2y，即3x+2y=0，所以這些直線被橢圓截得的線段的中點在同一直線3x+2y=0上.

解法4"（曲線參數方程法）設直線與橢圓交于A（2cosθ，3sinθ），B（2cosφ，3sinφ），線段AB的中點為M（cosθ+cosφ，32（sinθ+sinφ）），所以kOM·kAB=32×sinθ+sinφcosθ+cosφ×32×sinθ－sinφcosθ－cosφ=－94，因為kAB=32，所以kOM=－32，所以OM：3x+2y=0，所以這些直線被橢圓截得的線段的中點在同一直線3x+2y=0上.

解法5"（直線參數方程法）設線段AB的中點為M（x0，y0），則A（x0+tcosα，y0+tsinα），B（x0－tcosα，y0－tsinα），因為kAB=32，所以sinαcosα=32，將A，B坐標代入橢圓x24+y29=1中得（x0+tcosα）24+（y0+tsinα）29=1，（x0－tcosα）24+（y0－tsinα）29=1，兩式作差得x0cosα+49y0sinα=0，所以3x0+2y0=0，所以這些直線被橢圓截得的線段的中點在同一直線3x+2y=0上.

評析"多視角探尋問題的解決辦法有助于拓展學生的思維，也有助于學生對問題的整體把握.通過從不同視角來分析和解決問題，讓學生不僅看到各知識之間的聯系，而且運用各知識的聯系來促進學習，使得各知識形成一個有機整體，形成大單元，從而實現深度學習，讓核心素養得到落實.

2.2"在結論的總結歸納上進行大單元教學

通過對問題結論的進一步分析發現，在圓錐曲線當中，與中點息息相關的有以下結論.

結論1（見下表）

結論2"（橢圓軸點弦定理）已知A1，A2分別是橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右頂點，AB是經過定點M（m，0）（m≠±a）的軸點弦，且AB不是長軸，則kA1A·kA1B=b2（m－a）a2（m+a），且kA2A·kA2B=b2（m+a）a2（m－a）.

結論3"（雙曲線軸點弦定理）已知A1，A2分別是雙曲線x2a2－y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右頂點，AB是經過定點M（m，0）（m≠±a）的軸點弦，且AB不是長軸，則kA1A·kA1B=－b2（m－a）a2（m+a），且kA2A·kA2B=－b2（m+a）a2（m－a）.

評析"[HTK]總結結論目的在于，讓問題的解決不僅僅停留在解決層面，而是從問題的本質入手，深入挖掘問題的內涵與外延，使問題具有生命力.讓學生解一道題，收獲一類題，達到舉一反三的效果，最終實現大單元教學，落實核心素養.

2.3"在方法應用上進行大單元教學

2.3.1"定比點差法

題1"（2022全國乙卷（理科）第20題）已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸，y軸，且過A（0，－2），B（32，－1）兩點."（1）求E的方程;（2）設過點P（1，－2）的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x的直線與線段AB交于點T，點H滿足MT=TH，證明：直線HN過定點．

解：易得（1）橢圓E的方程為x23+y24=1.

（2）設M（x1，y1），由MP=λPN，可得x1+λx2=1+λ，y1+λy2=－2（1+λ）.

又因為x123+y124=1，（λx2）23+（λy2）24=λ2，所以（x1－λx2）（x1+λx2）3（1－λ）（1+λ）+（y1－λy2）（y1+λy2）4（1－λ）（1+λ）=1，即λ=2x1－3y1－7，從而N（x1－3y1－62x1－3y1－7，－4x1+5y1+122x1－3y1－7），由題意可得T（32（y1+2），y1），又MT=TH，則H（32（y1+2）－x1，y1），由此可得直線HN過定點（0，－2）.

本題也可以用斜率點差法，限于篇幅，留給讀者完成.

2.3.2"截距點差法

題2"（2023新高考Ⅱ卷第21題）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為（－25，0），離心率為5.（1）求C的方程；（2）記C的左、右頂點分別為A1，A2，過點（－4，0）的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線MA1與NA2交于點P，證明：點P在定直線上．

解"（1）略；（2）設M（x1，y1），N（x2，y2），A1（－2，0），A2（2，0）.由x24－y216=1得x2=4+y24，由M，N，（－4，0）三點共線得y1x1+4=y2x2+4，即x2y1－x1y2=－4（y1－y2）①，x2y1+x1y2=－（y1+y2）②.則①+②得2x2y1=－5y1+3y2，①-②得2x1y2=－5y2+3y1.直線MA1：y=y1x1+2（x+2），直線NA2：y=y2x2－2（x－2），聯立方程消去y得x+2x－2=x1y2+2y2x2y1－2y1=－13，解得x=－1.即點P在定直線x=－1上.

本題也可以用定比點差法，限于篇幅，留給讀者完成.

2.3.3"斜率點差法

題3"（2023全國乙卷（理科）第20題）已知橢圓E：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）的離心率為53，且經過點A（－2，0）.（1）求橢圓E的方程；（2）過P（－2，3）的直線l交橢圓E于B，C兩點，直線AB，AC與y軸的交點記為M，N.求證：線段MN的中點為定點.

解"（1）易得橢圓E的方程為y29+x24=1.

（2）設B（x1，y1），C（x2，y2）.由A，B，M共線可得M（0，2y1x1+2），由A，C，N共線可得N（0，2y2x2+2），則線段MN的中點為M（0，2y1x1+2+2y2x2+2）.將E：y29+x24=1化為y2=－94（x2－4）=－94（x+2）（x－2）.

因為y1－3x1+2=y2－3x2+2，所以y1x1+2－y2x2+2=3x1+2－3x2+2①.

所以（y1x1+2）2－（y2x2+2）2=－94（x1－2x1+2－x2－2x2+2）=94（4x1+2－4x2+2）.

所以（y1x1+2+y2x2+2）（y1x1+2－y2x2+2）=3（3x1+2－3x2+2），所以y1x1+2+y2x2+2=3，所以線段MN的中點為定點（0，3）.

評析

解題方法的遷移應用，是解題教學的精髓，通過對一個問題的分析與處理，使其能應用于其他問題.這不僅是解題者個人素養的體現，更是問題的價值體現，也是解題教學的不懈追求.高中數學大單元視域下的解題教學，就是在解題教學中不斷追求學生知識的結構化，方法的體系化，能力的素養化，讓學生在這種大視角下，不斷提升自己的素質與核心素養.

3.反思

以學科核心素養為導向的教育教學，給一線教師的教學提供了提升的機會，同時也提出了挑戰.核心素養導向，使得學生對知識的學習不再是碎片化的知識點的學習，而應該是結構化的，整體性的，宏觀視角的整合性學習.這就要求教師的教學一方面可以讓學生對知識進行整體感知、整體突破，最終實現對知識的深度學習和深度理解;另一方面有助于教師提升自己的教學水平，完善自身的知識結構，實現對知識的全局把握.因此，大單元教學給學科核心素養的培養提供了新的視角，新的思路，成為了學科核心素養落地的有力抓手.

基金項目：江西省教育科學“十四五”規劃 2023 年度中小學系列一般課題《基于深度學習的高中數學大單元教學實踐與研究》（編號：23JYB141）