通過“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域發(fā)展學(xué)生推理能力的三條途徑與教學(xué)建議

摘" 要：“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域是發(fā)展學(xué)生推理能力的重要載體. 基于新人教版初中數(shù)學(xué)教材七年級上冊“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的內(nèi)容，對發(fā)展學(xué)生推理能力的三條途徑進行分析. 三條途徑分別是有理數(shù)乘法法則的推導(dǎo)、代數(shù)式的運算與變形、解方程的過程. 在教學(xué)時，建議教師既要兼顧歸納推理和演繹推理兩種思維模式，又要注重從運算規(guī)則與學(xué)習(xí)經(jīng)驗兩個方面強化教學(xué)，進而提升學(xué)生的代數(shù)推理能力.

關(guān)鍵詞：人教版；初中數(shù)學(xué)教材；數(shù)與代數(shù)；推理能力；代數(shù)推理

中圖分類號：G634" " " 文獻標識碼：A" " " 文章編號：1673-8284（2025）01-0004-04

引用格式：李健. 通過“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域發(fā)展學(xué)生推理能力的三條途徑與教學(xué)建議：基于新人教版初中數(shù)學(xué)教材七年級上冊的分析［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2025（1）：4-6，11.

數(shù)學(xué)推理是保證數(shù)學(xué)邏輯嚴謹性特征的支柱. 在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）中，推理能力是用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界的重要表現(xiàn)，是初中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的重要內(nèi)容.“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域涉及大量的推理過程，其對于學(xué)生推理能力的發(fā)展具有顯著作用.《標準》特別強調(diào)了代數(shù)推理的重要性，促使我們應(yīng)該更深入地研究如何通過“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域發(fā)展學(xué)生的推理能力.

關(guān)于利用“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域發(fā)展學(xué)生推理能力這一重要議題，2024年人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“新教材”）注重整體考慮，進行了全套教材的統(tǒng)籌設(shè)計. 由于新教材七年級上冊中共安排了5章“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的內(nèi)容，涉及數(shù)、式、方程等知識，因此以新教材七年級上冊為研究對象，探討其幫助學(xué)生發(fā)展推理能力的途徑，具有較好的典型性.

本文選取了新教材七年級上冊發(fā)展學(xué)生推理能力的三條途徑（有理數(shù)乘法法則的推導(dǎo)、代數(shù)式的運算與變形、解方程的過程）作為分析對象，并給出了發(fā)展學(xué)生推理能力的教學(xué)建議.

一、有理數(shù)乘法法則的推導(dǎo)

對于剛從小學(xué)升入初中的新生而言，有理數(shù)的運算是學(xué)習(xí)的重點與難點. 關(guān)于有理數(shù)的運算，由于減法是加法的逆運算，除法是乘法的逆運算，乘法是多個相同的數(shù)的加法，所以學(xué)習(xí)有理數(shù)運算的關(guān)鍵在于理解有理數(shù)的加法與乘法. 對于有理數(shù)加法運算的推導(dǎo)，通常利用負數(shù)表示相反意義的量及數(shù)軸的直觀性能夠使學(xué)生較好地理解；但對于有理數(shù)乘法運算的推導(dǎo)，尤其是對“負負得正”這種情況，一直以來都是學(xué)生理解的難點.

關(guān)于有理數(shù)乘法法則的推導(dǎo)，主要有兩種較為常見的方式. 第一種是創(chuàng)設(shè)基于時間、空間兩個維度變量的體現(xiàn)有理數(shù)乘法法則的現(xiàn)實情境. 這種方式通常是對物體沿直線運動時在不同時間點的位置情況進行分析. 但受限于兩個變量同時變化可能給七年級學(xué)生的理解造成過大的認知負荷，所以并不利于初學(xué)者理解有理數(shù)的乘法運算.

為了讓學(xué)生感受到有理數(shù)乘法法則的合理性，新教材選擇了一種特殊的歸納形式進行推導(dǎo). 下面以對“正數(shù) × 負數(shù)”的推導(dǎo)為例進行說明.

如圖1，為了使[3×3=9，3×2=6，3×1=3，3×][0=0]的規(guī)律在引入負數(shù)后仍然成立，那么應(yīng)有[3×][-1=][-3，3×-2=-6，3×-3=-9].

這里所謂的“特殊的歸納形式”，是指基于“正數(shù) × 非負數(shù)”的四個式子，歸納出當式子左邊的乘數(shù)逐次遞減1時，對應(yīng)的式子右邊的積逐次遞減3的規(guī)律，然后按照這種歸納出的規(guī)律，推導(dǎo)得到“正數(shù) × 負數(shù)”的規(guī)律. 弗賴登塔爾認為，該方法要通過計算與推斷來檢驗，是一種自然的方法，雖然它不是形式歸納，但蘊含著真正的數(shù)學(xué)，并將其稱為“歸納外推法”. 如何理解此處的歸納外推法呢？其大意就是使用歸納的方式，根據(jù)過去和現(xiàn)在的發(fā)展趨勢推斷未來的一類方法. 具體體現(xiàn)為基于“正數(shù) × 非負數(shù)”的式子歸納出的規(guī)律，并按照這種規(guī)律（或趨勢）推斷出“正數(shù) × 負數(shù)”的規(guī)律.

進一步地，在通過上述方法得到一些有理數(shù)乘法的具體例子之后，新教材使用了我們常見的歸納法，即從具體的有理數(shù)乘法式子中歸納出具有普適性的有理數(shù)乘法法則，這正是從特殊到一般地推理（即歸納推理）的體現(xiàn).

二、代數(shù)式的運算與變形

《標準》在“代數(shù)式”的內(nèi)容要求中，明確提出了“了解代數(shù)推理”的新要求，并給出了關(guān)于如何進行代數(shù)推理的案例66. 關(guān)于代數(shù)推理內(nèi)涵的界定，不同研究者給出的界定方式并不完全一致，一些研究者甚至參考了國外研究中與代數(shù)推理（Algebraic Reasoning）相關(guān)的論述. 對此，本文不一一贅述.《〈義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）〉解讀》中明確指出，代數(shù)推理側(cè)重數(shù)與式的運算、變形. 這也正是《標準》中體現(xiàn)代數(shù)推理的案例66所展現(xiàn)的要義.

為了體現(xiàn)《標準》理念下的代數(shù)推理教學(xué)，新教材七年級上冊第四章“整式的加減”中設(shè)計了數(shù)學(xué)活動“自然數(shù)被3整除的規(guī)律”，如圖2所示.

在該數(shù)學(xué)活動中，先明確指出了學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)知曉的規(guī)律“如果一個自然數(shù)的所有數(shù)位上的數(shù)字之和能被3整除，那么這個自然數(shù)就能被3整除”，再以兩位數(shù)的情形進行介紹，然后引導(dǎo)學(xué)生用類似的方法逐步研究更多數(shù)位的情形. 以兩位數(shù)被3整除的推導(dǎo)過程為例，若一個兩位數(shù)的十位、個位上的數(shù)字分別為[a，b]，記這個數(shù)為[ab]，則[ab=10a+b=9a+a+][b=9a+a+b]. 此處對于[10a+b]的變形，就是體現(xiàn)了代數(shù)推理的關(guān)鍵. 但如何能想到將[10a]拆分為[9a]和[a]呢？其原因在于考慮到規(guī)律中指出的“自然數(shù)的所有數(shù)位上的數(shù)字之和能被3整除”，那么就有必要構(gòu)造出式子[a+b]，這樣就自然而然地想到了要將[10a]拆分為[9a]和[a]. 而將式子變形為[9a+a+b]后，又發(fā)現(xiàn)[9a]能被3整除，這時候使用“如果兩個數(shù)都能被3整除，那么這兩個數(shù)的和能被3整除”就能完成證明了. 最后這一步是基于乘法關(guān)于加法的分配律推導(dǎo)得出的，其中蘊含著數(shù)的運算規(guī)律.

總的來說，完成這個數(shù)學(xué)活動離不開對代數(shù)式的運算與變形，體現(xiàn)出對學(xué)生代數(shù)推理能力的較高要求.

三、解方程的過程

新教材七年級上冊第五章為“一元一次方程”，涉及抽象能力、推理能力、模型觀念等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 其中，解方程的過程是直接指向?qū)W生推理能力發(fā)展的重要載體. 解一元一次方程時，需要對等式進行一系列的變形，最終將其轉(zhuǎn)化為“[x=m]”的形式，這一等式的變形過程，即代數(shù)推理的過程. 在進行等式變形的過程中，必須保證變形前后等式的解是相同的，其理論基礎(chǔ)便是同解理論. 但考慮到初中生的經(jīng)驗基礎(chǔ)與認知水平，無法在教材中引入同解理論，這就需要為每一步的等式變形確定一些可靠的依據(jù)，包括新教材中提及的基本事實、等式的性質(zhì)、運算律等.

初中階段開展代數(shù)推理教學(xué)時，需要確定一些基本的代數(shù)推理出發(fā)點. 實際上，由于多數(shù)初中代數(shù)內(nèi)容可以視為小學(xué)算術(shù)內(nèi)容的一般化，所以初中代數(shù)中的大多數(shù)概念都與數(shù)的性質(zhì)及運算規(guī)則有關(guān). 因此，初中階段開展代數(shù)推理教學(xué)的一個可行的出發(fā)點就是數(shù)與式的性質(zhì)、運算與關(guān)系等. 在利用解方程培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)推理的過程中，等式的性質(zhì)與運算律，即為適合于初中生的代數(shù)推理的出發(fā)點. 關(guān)于常見的解一元一次方程的步驟及合并同類項與去括號，屬于對等式的運算律的應(yīng)用；而移項與去分母（化系數(shù)為1），屬于對等式的性質(zhì)的應(yīng)用.

相較于2012年人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》教材，新教材在介紹等式的性質(zhì)與運算律的基礎(chǔ)上，還增加了兩個關(guān)于等式的基本事實（如圖3），以確保解方程的理論基礎(chǔ)更加完整. 第一個是相等關(guān)系的對稱性，第二個是相等關(guān)系的傳遞性. 例如，在解只有等式右邊含未知數(shù)的方程時，就可以根據(jù)相等關(guān)系的對稱性，直接將等式兩邊交換位置，而不必再進行移項、系數(shù)化為1等煩瑣操作；至于相等關(guān)系的傳遞性，其重要作用是為解方程組中的代入法提供理論支撐.

有了基本事實、等式的性質(zhì)、運算律這些代數(shù)推理的出發(fā)點，也就具備了等式變形的依據(jù). 在化歸思想的作用下，以將方程轉(zhuǎn)化為“[x=m]”的形式為最終目標，學(xué)生解方程的每一步（等式變形）也就有理可依、有據(jù)可循了. 在這個過程中，學(xué)生代數(shù)推理的發(fā)展也就水到渠成了.

四、教學(xué)建議

對新教材七年級上冊有理數(shù)乘法法則的推導(dǎo)、代數(shù)式的運算與變形、解方程的過程的分析，有助于我們了解如何通過“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域發(fā)展學(xué)生的推理能力，并且其中蘊含的經(jīng)驗在整個初中階段都是適用的. 具體而言，提出如下教學(xué)建議.

1. 兼顧歸納推理和演繹推理兩種思維模式

推理具有不同類型，歸納推理與演繹推理是其中適用性最廣的兩類. 通過本文提出的發(fā)展學(xué)生推理能力的三條途徑可知，有理數(shù)乘法法則的推導(dǎo)屬于歸納推理，代數(shù)式的運算與變形、解方程的過程則涉及演繹推理. 由此可知，在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，教學(xué)時需要兼顧演繹推理和歸納推理兩種思維模式.

歸納推理主要是在具體情境下，通過觀察和分析研究對象，提取共性特征，得出一般性規(guī)律或結(jié)論的思維方式；演繹推理則是幫助人們從已知條件出發(fā)，通過邏輯推導(dǎo)得出新的結(jié)論，這一過程強調(diào)邏輯的嚴密性. 歸納推理強調(diào)從特殊到一般，演繹推理強調(diào)從一般到特殊. 它們在學(xué)生學(xué)習(xí)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域知識的過程中都具有重要作用，應(yīng)該兼顧兩者. 當然，兼顧歸納推理和演繹推理，并非一定在不同知識的學(xué)習(xí)中分別使用兩種推理，還可以將兩種推理有機結(jié)合起來. 以數(shù)學(xué)活動“自然數(shù)被3整除的規(guī)律”的教學(xué)為例，就可以先引導(dǎo)學(xué)生回顧小學(xué)階段如何通過歸納推理得到該規(guī)律，再利用演繹推理對其進行嚴格化證明，從而使學(xué)生完整地經(jīng)歷“通過歸納推理得出猜想—通過演繹推理證明猜想”的認識事物的重要途徑. 這種在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域綜合使用歸納推理和演繹推理的教學(xué)模式，能夠同時發(fā)揮兩種思維模式的優(yōu)勢，為提升學(xué)生兩種推理能力的發(fā)展提供了良好契機.

2. 通過強化運算規(guī)則和學(xué)習(xí)經(jīng)驗的教學(xué)發(fā)展代數(shù)推理

代數(shù)推理是本輪數(shù)學(xué)課程改革的重點與難點. 為了更好地落實這一目標，要注重從運算規(guī)則與學(xué)習(xí)經(jīng)驗兩個方面強化教學(xué).

首先，要通過加強運算規(guī)則的教學(xué)，幫助學(xué)生筑牢代數(shù)推理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ). 運算規(guī)則不僅可以簡化數(shù)學(xué)運算的過程，而且能夠幫助學(xué)生形成邏輯思維能力. 通過詳盡講解運算規(guī)則（如交換律、結(jié)合律、分配律、等式的性質(zhì)等），并通過在各種具體問題（如證明自然數(shù)被3整除的規(guī)律、解方程）的求解過程中展示其應(yīng)用，向?qū)W生強調(diào)運算規(guī)則的重要地位與作用，將有助于學(xué)生更好地理解與應(yīng)用代數(shù)規(guī)則，從而為其代數(shù)推理能力的形成提供有效的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).

其次，要多利用舉例子的方式，為學(xué)生提供充足的代數(shù)推理經(jīng)驗，降低學(xué)生對代數(shù)推理理解的難度. 由于代數(shù)推理往往表現(xiàn)為形式化的符號變形，具有較高的抽象性，因此學(xué)生不易理解代數(shù)推理的過程與意義. 此時，要抓住學(xué)生對事物的認知規(guī)律，考慮由此及彼的方式，通過舉例子幫助學(xué)生更好地理解代數(shù)推理的合理性，降低學(xué)生學(xué)習(xí)的難度. 例如，新教材中的數(shù)學(xué)活動“自然數(shù)被3整除的規(guī)律”，就先為學(xué)生提供了兩位數(shù)的研究模式，學(xué)生的首要任務(wù)是理解并模仿兩位數(shù)的研究模式，從而在完成更多數(shù)位的研究時，便可以“依葫蘆畫瓢”，這就降低了學(xué)生在這一活動中的代數(shù)推理難度. 又如，在進行解方程的教學(xué)時，要尤為關(guān)注教材中例題的教學(xué)，其典型性與代表性將幫助學(xué)生有效提高代數(shù)推理能力.

參考文獻：

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作者簡介：李健（1988— ），男，編輯，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究.