2025年高考之計數原理考點解讀

計數問題是重要的數學問題，包括兩個計數原理、排列與組合、二項式定理等知識內容。通過對計數原理的學習，我們能夠初步解決現實生活中簡單的計數問題。兩個計數原理是人們在大量實踐經驗的基礎上歸納出來的基本規律，也是進一步研究排列與組合問題的基礎。排列與組合是高考命題的熱點，試題靈活且難度不大，多以選填題的形式出現。排列與組合內容也常與概率、離散型隨機變量的分布列等知識綜合命題，多在解答題中出現。二項式定理也是高考中的常考常新內容，多以選填題的形式出現，試題難度中檔，主要考查二項展開式中的特定項、二項式系數和、二項式系數及二項式定理的應用等。

考點1.對兩個計數原理及其綜合應用的考查

例1在如圖1所示的方格中，用4種不同的顏色做涂色游戲，要求相鄰區域的顏色不同，每個區域只能涂一種顏色。

①若區域A，B，C，D涂2種顏色，區域E，F，G，H涂另外2種顏色，則有______種不同涂法;

②若區域A，B，C，D涂4種顏色（A，B，C，D涂的顏色互不相同），區域E，F，G，H也涂這4種顏色（E，F，G，H涂的顏色互不相同），則有______種不同涂法。

分析：①利用分步計數原理可求不同的涂法;②先涂A，B，C，D，再就F，G的涂色情況分類計算即可。

解：①先涂A，B，C，D，有C24×A22=12（種），再涂E，F，G，H，有A22=2（種），故不同的涂法共有12×2=24（種）。故填24。

②先涂A，B，C，D，共有A44=24（種）。若F，G所涂顏色為A，B所涂顏色，則有A22×A22=4（種）涂法;若F，G所涂顏色為C，D所涂顏色，則有1種涂法;若F，G所涂顏色為A，C所涂顏色，則有1種涂法;若F，G所涂顏色為A，D所涂顏色，則有1種涂法;若F，G所涂顏色為B，C所涂顏色，則有1種涂法;若F，G所涂顏色為B，D所涂顏色，則有1種涂法。綜上可得，不同的涂法共有24×（4+5）=216（種）。故填216。

考點解讀：分類加法計數原理與分步乘法計數原理是解決排列組合問題的基礎，并貫穿其始終。在綜合應用兩個原理解決問題時應注意：（1）一般是先分類再分步，在分步時可能又會用到分類加法計數原理;（2）對于較復雜的兩個原理的綜合應用問題，可恰當地列出示意圖或表格，使問題形象化、直觀化。

考點2.對排列組合及其綜合應用的考查

例2（1）象棋作為一種古老的傳統棋類益智游戲，具有深遠的意義和價值。棋盤中有紅黑兩方陣營，將、車、馬、炮、兵等均為象棋中的棋子，現將3個紅色的“將”“車”“馬”棋子與2個黑色的“將”“車”棋子排成一列，則同色棋子不相鄰的排列方法共有（）。

A.120種B.24種C.36種D.12種

（2）某校田徑隊有十名隊員，分別記為A，B，C，D，E，F，G，H，J，K，為完成某訓練任務，現將十名隊員分成甲、乙兩隊。其中將A，B，C，D，E五人排成一行形成甲隊，要求A與B相鄰，C在D的左邊，剩下的五位同學排成一行形成乙隊，要求F與G不相鄰，則不同的排列方法共有（）。

A.432種B.864種

C.1728種D.2592種

分析：（1）先排紅色棋子，再將黑色棋子插空進行求解。（2）首先計算甲隊的排列總數，分別用捆綁法和除序法;然后利用插空法計算乙隊的排列總數;最后利用計數原理計算總的排列方法數即可。