高考中的概率與統(tǒng)計問題例析

概率與統(tǒng)計作為數(shù)學的一個分支，在近些年的高考中占了很大的比重。概率板塊的重要知識點是計數(shù)原理與排列組合（二項式定理），隨機事件的概率，概率分布（二項分布、超幾何分布、正態(tài)分布）;統(tǒng)計板塊的重要知識點是統(tǒng)計圖表和成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析。本文選取2024年高考數(shù)學中概率與統(tǒng)計的部分真題與模擬題，并給出解法探析，希望對參加2025年高考的同學有所啟迪。

考點一、計數(shù)原理及概率

例1（2024年全國甲卷文科）某獨唱比賽的決賽階段共有甲、乙、丙、丁四人參加，每人出場一次，出場次序由隨機抽簽確定，則丙不是第一個出場，且甲或乙最后出場的概率是（）。

A.1/6B.1/4C.1/3D.1/2

解法一：四個人由隨機抽簽的方式確定出場順序，基本事件總共有A44=24（個）。

滿足丙不是第一個出場，且甲或乙最后出場的基本事件為：（甲，丙，丁，乙），（甲，丁，丙，乙），（丁，丙，甲，乙），（丁，甲，丙，乙），（乙，丙，丁，甲），（乙，丁，丙，甲），（丁，丙，乙，甲），（丁，乙，丙，甲），共有8個。

所以丙不是第一個出場，且甲或乙最后出場的概率為P=8/24=1/3。

解法二：四個人由隨機抽簽的方式確定出場順序，基本事件總共有A44=24（個）。

由于丙不在第一個出場，且甲或乙最后出場，所以丙只能是第二或第三個出場，有2種情況，第四個出場的是甲或乙，有2種情況，剩下的兩個人出場有A22=2（種）情況，由乘法原理得滿足丙不是第一個出場，且甲或乙最后出場的基本事件有2×2×2=8（個），所以所求概率為P=8/24=1/3。

故選C。

點評：對于排列組合問題，我們可以通過特殊元素優(yōu)先考慮安排，再結(jié)合加法原理和乘法原理進行解決，必要的時候要分情況討論，當然如果排列組合的基本事件個數(shù)不多，也可以用列舉法解決。

例2（2024年新課標全國Ⅱ卷）在圖1所示的4×4的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有______種選法;在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是______。

解析：每行和每列均恰有一個方格被選中，首先在第一行選一個數(shù)，有4種選擇方式;接下來在第二行中任取一個方格，但不能與第一行選取的方格同列，這樣有3種選擇方式;接著在第三行中任取一個方格，但不能與前面選取的兩個方格同列，這樣有2種選擇方式;最后在第四行中任取一個方格，但不能與前面選取的三個方格同列，這樣有1種選擇方式。由乘法原理知，選法共有4×3×2×1=24（種）。也可以依次考慮每一列的方格，方法和結(jié)論均相同。

因此第一個空的答案為24。

將第一列的每個數(shù)同時減去10，這樣無論最后選擇的是哪四個方格，這四個數(shù)的和都減少了10，同理，將第二列的每個數(shù)同時減去20，第三列的每個數(shù)同時減去30，第四列的每個數(shù)同時減去40。接下來，將第一行的每個數(shù)同時減去1，第二行的每個數(shù)同時減去2，第三行的每個數(shù)同時減去3，第四行的每個數(shù)同時減去4。這樣就轉(zhuǎn)化為在圖2所示的方格表中選擇四個方格，要求每行每列都恰有一個方格，且使得被選出的方格內(nèi)的數(shù)之和最大，然后將這個最大值加上10+20+30+40+1+2+3+4=110，即為答案。

點評：同學們在解決正態(tài)分布的問題時，需要抓住兩點：一是找準u±σ，u±2σ，u±3σ這六個數(shù)值;二是充分利用正態(tài)密度函數(shù)圖像的對稱性求解，如P（Xgt;u+σ）=P（Xlt;u-σ）。

考點四、統(tǒng)計（圖）表特征數(shù)據(jù)分析

例6（2024年新課標全國Ⅱ卷）某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理得表1：

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（）。

A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg

B.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%

C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間

D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間

解析：從頻數(shù)分布表可以看出，在100塊稻田中，畝產(chǎn)量低于1050kg的稻田有6+12+18=36（塊），畝產(chǎn)量不低于1050kg的稻田有100-36=64（塊），所以這100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)一定不小于1050kg，故選項A錯誤。

在100塊稻田中，畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田有6+12+18+30=66（塊），所以其所占比例為66%，故選項B錯誤。

極差為一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，從頻數(shù)分布表可以看出，在100塊稻田中，畝產(chǎn)量的最大值大于等于1150kg，小于1200kg，而畝產(chǎn)量的最小值大于等于900kg，小于950kg，所以這100塊稻田畝產(chǎn)量的極差的最小值大于1150-950=200（kg），極差的最大值小于1200-900=300（kg），即極差介于200kg至300kg之間，故選項C正確。

這100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值最小為1/100（900×6+950×12+1000×18+1050×30+1100×24+1150×10）=1042（kg），故選項D錯誤。

故選C。

點評：同學們在解答統(tǒng)計問題時，要會從頻數(shù)分布表（頻率分布直方圖）中提取數(shù)據(jù)信息，能計算特征數(shù)據(jù)，如平均數(shù)、中位數(shù)、極差、方差、標準差等，并利用樣本的規(guī)律估計總體的規(guī)律。

例7（2024年濟南模擬卷）已知隨機變量X～N（1，22），則D（2X+1）的值為______。

解析：因為X～N（1，22），所以D（X）=22=4，D（2X+1）=22D（X）=4×4=16。

故填16。

點評：對于二項分布X～N（u，σ2），其中σ2為二項分布的方差，即D（X）=σ2，而對于期望和方差有結(jié)論：E（aX+b）=aE（X）+b，D（aX+b）=a2D（X）。

考點五、成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析

例8（2024年蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研一卷）已知變量x，y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表2，對表中數(shù)據(jù)作分析，發(fā)現(xiàn)y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，利用最小二乘法，計算得到經(jīng)驗回歸方程為^y=0.8x+^a，據(jù)此模型預(yù)測，當x=10時，^y的值為______。

解析：由表2中的數(shù)據(jù)得x=7，y=5，所以5=0.8×7+^a，解得^a=-0.6，所以^y=0.8x-0.6。所以當x=10時，^y=0.8×10-0.6=7.4。

故填7.4。

點評：在線性相關(guān)關(guān)系中，經(jīng)驗回歸方程一定過樣本中心點（x，y），依此求出參數(shù)^a的值，從而可以預(yù)測x=10時^y的值。

雖然概率與統(tǒng)計板塊在近幾年的高考中經(jīng)常出題，但難度不大，在平時的復(fù)習中，只要重視基礎(chǔ)知識，如基本概念、基本邏輯關(guān)系，提高運算能力，就能正確解決概率與統(tǒng)計問題。

（責任編輯王福華）