例談枚舉法在概率統計中的應用

枚舉法，也稱為窮舉法、列舉法，其實就是逐一列舉問題所有可能的情況進行分析。這種方法通常適用于問題具有明確條件，且需要尋找唯一解的情況。通過逐個嘗試所有可能的解決方案，直到找到符合條件的最優解（但符合要求的最優解情形不一定僅有一種）。在計算機的算法領域內，枚舉法常常用于解決排列組合、最短路徑等問題。例如，在解決所謂的八皇后問題時，可以利用窮舉法（枚舉法），通過嘗試所有可能的棋盤布局找到滿足條件的布局。不過在高考數學試卷中，枚舉法更適合于處理具體情況不是特別多（絕大多數情況下不會超過20種）的情形。下面我們利用枚舉法求解2024年兩道高考數學試題。

例1（2024年新高考Ⅰ卷，第14題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲卡片上分別標有數字1，3，5，7，乙卡片上分別標有數字2，4，6，8，兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數字的大小，數字大的人得1分，數字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）。則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為______。

解析：如何建立這道題的解題模型呢？我們不妨這樣假設：把乙卡片上分別標有的數字2，4，6，8理解為椅子的序號，而把甲卡片上分別標有的數字1，3，5，7理解為要坐上椅子的人的編號（某種情況下四人坐定后，其中某個人的編號如果大于所坐椅子序號，則此人得1分，反之此人得0分，此時四人得分總和即為這種情況下甲的總得分），很顯然，坐上椅子的不同坐法共有4！=24（種），具體枚舉如表1（帶圓圈的數字表示椅子編號，左側帶括號的數字表示入座的方式序號）：