數與形的相互交融

【摘要】高中數學解題思想眾多，其中數形結合思想絕對留有濃墨重彩的一筆.本文聚焦函數問題中數形結合思想的應用，從高考真題中探索數形結合思想在函數問題中的關鍵作用與重要性，以形助數，感受數與形相互交融之美.

【關鍵詞】數形結合；高中數學；函數；解題方法

華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微.”可見數形結合思想在數學學習中的重要性.數形結合的獨特作用，在解決函數問題時有點睛之效.

數形結合思想在函數教學中的應用有許多，下面針對兩種重點類型的函數問題進行剖析，總結數形結合在函數問題中的應用方法[1].

1抽象函數求解問題中的數形結合

例已知函數f（x）及其導函數f′（x）的定義域均為R，記g（x）=f′（x）.若f3/2－2x，g（2+x）均為偶函數，則（）

（A）f（0）=0.（B）g－1/2=0.

（C）f（－1）=f（4）.（D）g（－1）=g（2）.

問題分析本題中并未詳細給出函數式，面對這種題目，第一反應是可以利用代數式進行代換，可是在代換過程中極易發生錯誤，造成連鎖反應.此時，數形結合的作用開始凸顯[2].

通過審題可以發現關于f（x）的條件有兩個：一個是g（x）為其導函數，另一個則是f3/2－2x為偶函數.同樣關于g（x）也有兩個條件.根據偶函數的性質f（x）=f（－x）將兩個關于偶函數的條件化簡，畫出滿足條件的圖象得出有關函數f（x）的進一步條件進行求解.

在畫圖時一定要注意圖象只是輔助觀察性質的一種工具，并不代表這個未知函數圖象就一定是我們所嘗試畫出的圖象.

解答f3/2－2x為偶函數，根據偶函數性質，可寫出一個關于它的條件f3/2－2x=f3/2+2x，再根據新得出的條件嘗試畫出一個滿足題意的圖象，如圖1.

可以看到這個圖象是滿足我們推出的條件的，而這樣的圖象也并不是唯一的.但動手操作后可以發現它們皆有一個共同點，f（x）的圖象關于x=3/2對稱.有了前一個條件的處理經驗，同樣關于g（x），有g（2+x）=g（2－x），經過處理后得出g（x）的圖象關于x=2對稱.

但是還有一個條件并未用到，g（x）為f（x）的導函數.針對未知函數，假設導函數圖象如圖2所示，根據導函數性質反推原函數.

由導函數性質可知，f′（x）gt;0，f（x）單調遞增，但是導函數數值與原函數遞增速度有關，畫出原函數，如圖3所示.觀察圖象發現原函數f（x）關于x=2中心對稱.

至此，我們得出關于f（x）的兩個條件，嘗試畫出符合條件的一個圖象，如圖4所示.但圖4只是代表符合規律的一種圖象，并不是具體的圖象.

可以看到圖象呈規律性變化，是一個周期函數.

由圖可知f（0）=f（2），但具體的數值并不能確定.所以（A）選項錯誤.

題中函數f（x）及其導函數f′（x）的定義域均為R，即要求函數在定義域內處處可導，我們嘗試的圖象滿足題意，而f′（x）代表的是在此處函數的切線斜率，看圖可知，函數在x=－1/2處可導，且斜率為0，即g（－1/2）=0，（B）選項正確.

由原函數圖象可得周期為2，f（4）=f（2），f（－1）=f（1），而f（2）和f（1）關于x=3/2對稱，所以f（－1）=f（4），（C）選項正確.

（D）選項中g（－1）=g（2），所代表的幾何意義就是在兩處的切線斜率相同，觀察圖形，很明顯，x=2時斜率大于0，x=－1時斜率小于0，二者不相等，故（D）選項錯誤.

2結語

在數學世界里，數與形密不可分.面對復雜抽象的函數問題，我們可以采用數形結合的方式進行解題，直觀有效地得出答案.數形結合只是我們解題時的輔助工具，面對不同的題目，具體情況具體分析：抽象函數觀察性質與規律，具體函數觀察圖象數值等.

參考文獻：

[1]尤曉綿.談數形結合在高中數學中的應用技巧[J].數學學習與研究，2021（28）：26-27.

[2]劉來.數形結合思想在高中函數中的應用[J].高考，2021（14）：19-20.