數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)視域下的可視化作業(yè)設(shè)計(jì)探討

摘 要：在新課標(biāo)視域下，教師應(yīng)立足數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的內(nèi)涵，為學(xué)生設(shè)計(jì)可視化作業(yè)，使學(xué)生在可視化作業(yè)訓(xùn)練中經(jīng)歷“提取關(guān)鍵信息、建模解釋、解決問(wèn)題”的學(xué)習(xí)過(guò)程以及思維訓(xùn)練過(guò)程，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的提升.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；可視化作業(yè)；數(shù)學(xué)建模；核心素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G632

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1008-0333（2024）33-0008-03

收稿日期：2024-08-25

作者簡(jiǎn)介：符鷹（1988.4—），女， 湖南省邵陽(yáng)人，碩士，中學(xué)一級(jí)教師， 從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》聚焦新時(shí)代的人才培養(yǎng)目標(biāo)，基于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，確立了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課程教學(xué)目標(biāo).數(shù)學(xué)建模作為高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成，以現(xiàn)實(shí)生活中常見(jiàn)的問(wèn)題作為載體，從中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，并結(jié)合所學(xué)知識(shí)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.具體來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)建模的過(guò)程就是“實(shí)際問(wèn)題—建立數(shù)學(xué)模型—求解數(shù)學(xué)模型—解決實(shí)際問(wèn)題”.作業(yè)作為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)最佳切入點(diǎn).可視化作業(yè)主要依托文字、圖形等形式，將內(nèi)隱的思維呈現(xiàn)出來(lái)，使學(xué)生在可視化作業(yè)中錘煉解題思路，提升解題技巧，促進(jìn)高階思維發(fā)展，真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).鑒于此，筆者結(jié)合“三角函數(shù)”單元作業(yè)設(shè)計(jì)為例，針對(duì)數(shù)學(xué)建模視域下可視化作業(yè)的設(shè)計(jì)策略進(jìn)行了詳細(xì)的探究.

1 依托思維導(dǎo)圖，促進(jìn)作業(yè)設(shè)計(jì)思路可視化

在設(shè)計(jì)作業(yè)之前，必須對(duì)其進(jìn)行系統(tǒng)化思考和理性規(guī)劃.通常，教師在設(shè)計(jì)作業(yè)時(shí)，應(yīng)遵循這一思路展開(kāi)：思考作業(yè)所達(dá)成的總體目標(biāo)—分析作業(yè)設(shè)計(jì)要素（學(xué)情分析、課標(biāo)分析、實(shí)現(xiàn)目標(biāo)分析）—作業(yè)概況分析（作業(yè)數(shù)量、題目分布、作業(yè)形式）—具體作業(yè)設(shè)計(jì)—反思和完善.為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，教師可將上述作業(yè)設(shè)計(jì)思路繪制成思維導(dǎo)圖，使其直觀地呈現(xiàn)出來(lái).例如，在“三角函數(shù)”單元作業(yè)設(shè)計(jì)中，為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，教師在設(shè)計(jì)作業(yè)之前，就將“以‘三角函數(shù)’為載體，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)”作為作業(yè)設(shè)計(jì)總目標(biāo).接著，又遵循“作業(yè)要素分析”“作業(yè)概況分析”“具體作業(yè)設(shè)計(jì)”“反思與完善”的順序進(jìn)行規(guī)劃.

“作業(yè)要素分析”主要包含了“教學(xué)內(nèi)容和課程要求分析”“學(xué)情分析”“實(shí)現(xiàn)目標(biāo)策略”三個(gè)部分.首先，教學(xué)內(nèi)容和課程要求分析：三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型.對(duì)此，在最新版的課程標(biāo)準(zhǔn)中，明確提出了“能夠利用三角函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型”的要求，倡導(dǎo)教師在組織課堂教學(xué)時(shí)，能夠結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，為學(xué)生呈現(xiàn)實(shí)際問(wèn)題，使得學(xué)生在實(shí)際問(wèn)題情境中，通過(guò)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的方式，達(dá)成教學(xué)目標(biāo).鑒于此，教師在設(shè)計(jì)可視化作業(yè)時(shí)，應(yīng)科學(xué)選擇能夠讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模過(guò)程的問(wèn)題，使學(xué)生在作業(yè)中，學(xué)會(huì)選擇合適的數(shù)學(xué)模型、確定參數(shù)、建立模型、求解模型等，最終結(jié)合所學(xué)的知識(shí)，解決實(shí)際問(wèn)題.其次，學(xué)情分析：學(xué)生在學(xué)習(xí)“三角函數(shù)”之前，已經(jīng)通過(guò)學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等，形成了運(yùn)用函數(shù)模型解決簡(jiǎn)單問(wèn)題的技能，并在經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程后積累了一定的數(shù)學(xué)建模經(jīng)驗(yàn).本章節(jié)是運(yùn)用函數(shù)模型刻畫周期現(xiàn)象，并解決和周期現(xiàn)象相關(guān)的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，具有一定的難度.最后，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)策略建模素養(yǎng)視域下，教師在設(shè)計(jì)可視化作業(yè)時(shí)，應(yīng)關(guān)注三個(gè)目標(biāo)：

①對(duì)數(shù)學(xué)研究對(duì)象進(jìn)行抽象，為學(xué)生呈現(xiàn)問(wèn)題情境，使學(xué)生在熟悉的實(shí)際問(wèn)題中，將數(shù)學(xué)問(wèn)題抽象出來(lái)，并利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述出來(lái)；

②加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，指導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，在促進(jìn)知識(shí)遷移的同時(shí)，強(qiáng)化學(xué)生的建模意識(shí)；

③將數(shù)學(xué)建模的全部過(guò)程呈現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)收集、建立模型、改進(jìn)模型、解決問(wèn)題等過(guò)程.

“作業(yè)概況”主要包含了“作業(yè)數(shù)目與內(nèi)容分布”“作業(yè)形式與來(lái)源”“難度與學(xué)生完成時(shí)間”三個(gè)部分.其中，“作業(yè)數(shù)目與內(nèi)容分布”：鑒于本章節(jié)內(nèi)容，教師在設(shè)計(jì)作業(yè)時(shí)，應(yīng)聚焦學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，為學(xué)生布置了6道題目.在這6道題目中，4道題目涉及了刻畫周期現(xiàn)象，2道題目涉及了三角恒等變換；“作業(yè)形式與來(lái)源”：這6道題目以解答題為主，且三分之一的題目來(lái)源于各個(gè)版本教材，三分之二的題目則是改編題和原創(chuàng)題，只有1道題目屬于開(kāi)放性題目，旨在引領(lǐng)學(xué)生在作業(yè)中經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全部過(guò)程；“難度與學(xué)生完成時(shí)間”：鑒于學(xué)生的實(shí)際情況，教師將作業(yè)劃分為基礎(chǔ)題、提升題、拓展題三個(gè)部分，并將其比例控制在1∶3∶2，使得完成整個(gè)作業(yè)的時(shí)間控制在90分鐘之內(nèi).

2 基于思維過(guò)程，使作業(yè)設(shè)計(jì)過(guò)程形象可視

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)下，教師在設(shè)計(jì)可視化作業(yè)時(shí)，應(yīng)充分借助思維導(dǎo)圖，將作業(yè)設(shè)計(jì)過(guò)程呈現(xiàn)出來(lái)，使作業(yè)設(shè)計(jì)思路清晰可見(jiàn)^[1].對(duì)“三角函數(shù)”這一單元來(lái)說(shuō)，教師在設(shè)計(jì)可視化作業(yè)時(shí)，為學(xué)生設(shè)計(jì)了如下思維過(guò)程，見(jiàn)表1.

作業(yè)目標(biāo)：

①熟悉的實(shí)際情況中模仿任意角的刻畫過(guò)程，解決簡(jiǎn)單周期性問(wèn)題.

②運(yùn)用三角恒等變換知識(shí)解決測(cè)量問(wèn)題、最值問(wèn)題.

③能夠在關(guān)聯(lián)情境中抽象出周期問(wèn)題，并運(yùn)用三角函數(shù)進(jìn)行表達(dá).

④能夠理解模型中的參數(shù)意義，分析實(shí)際問(wèn)題，提出開(kāi)放性問(wèn)題解決方案.

⑤能夠在比較復(fù)雜的情景中，結(jié)合所學(xué)的知識(shí)，遷移所學(xué)方法，提出現(xiàn)實(shí)問(wèn)題解決方案，并通過(guò)收集數(shù)據(jù)、建立模型、改進(jìn)模型等過(guò)程，最終解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題.

作業(yè)題目：

題目1 今天是星期三，那么n天之后是星期幾？

題目2 如圖1所示，有AB，CD兩座建筑物，其高度分別為9 m、15 m，從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的張角∠CAD=45°，求AB，CD兩座建筑物底部之間的距離？

題目3 小區(qū)里有一個(gè)圓形噴泉，其半徑為10 m，挨著噴泉的是一個(gè)以噴泉為圓心的圓形跑道（其寬度忽略不計(jì)），小明的爸爸在距離噴泉中心25 m處的涼亭中休息，小明則以60 m/min的速度在圓形跑道中散步.如果想要知道t min時(shí)，小明和爸爸之間的距離，還需要增加什么條件？請(qǐng)根據(jù)所增加的條件，求出t min小明和爸爸之間的距離？

題目4 屋頂?shù)臄嗝娉实妊鰽BC，其中AB=BC，橫梁AC的長(zhǎng)度為定值2l，當(dāng)屋頂?shù)膬A斜角α為多少時(shí)，雨水從屋上流下來(lái)所需的時(shí)間最短？

題目5 有一對(duì)相互咬合轉(zhuǎn)動(dòng)的圓形齒輪，大齒輪、小齒輪的半徑分別為5 cm、3 cm，已知大齒輪轉(zhuǎn)1圈所需要的時(shí)間為2 min，從大齒輪上一點(diǎn)A和小齒輪上一點(diǎn)B第一次相遇開(kāi)始計(jì)時(shí).

（1）兩點(diǎn)第二次相遇所需要的時(shí)間為多少？

（2）兩點(diǎn)第一次相距最遠(yuǎn)時(shí)所需要的時(shí)間為多少？

（3）經(jīng)過(guò)20 min時(shí)，點(diǎn)B和大齒輪中心的距離為多少？

（4）經(jīng)過(guò)t min，A，B兩點(diǎn)之間的距離為多少？

題目6 天安門廣場(chǎng)的國(guó)旗，每天都伴隨著太陽(yáng)緩緩升起，伴隨著日落降下來(lái).結(jié)合相關(guān)統(tǒng)計(jì)資料，統(tǒng)計(jì)一年中的日出和日落時(shí)間.班級(jí)中有一位同學(xué)打算在“五一”假期到北京去看升旗儀式，他應(yīng)該在幾點(diǎn)鐘之前到達(dá)？

3 基于問(wèn)題鏈，對(duì)作業(yè)設(shè)計(jì)進(jìn)行可視化反思

作業(yè)設(shè)計(jì)是一項(xiàng)系統(tǒng)化的工程，不僅僅要具備明確的設(shè)計(jì)思路，還應(yīng)結(jié)合設(shè)計(jì)總體規(guī)劃，逐一分析設(shè)計(jì)出來(lái)的題目.另外，教師還應(yīng)結(jié)合學(xué)生的作業(yè)完成情況進(jìn)行反思，明確作業(yè)設(shè)計(jì)的優(yōu)勢(shì)和不足，并對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)和完善.具體來(lái)說(shuō)，教師在作業(yè)反思中，可充分利用問(wèn)題鏈這一方式，將作業(yè)反思思路清晰地呈現(xiàn)出來(lái).在“三角函數(shù)”單元作業(yè)設(shè)計(jì)中，為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，教師在設(shè)計(jì)完數(shù)學(xué)作業(yè)之后，就聚焦數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，圍繞所設(shè)計(jì)的6道作業(yè)題目，設(shè)計(jì)了一系列的反思問(wèn)題.

問(wèn)題1 通過(guò)這6道作業(yè)，是否達(dá)到了提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的目標(biāo)？是否從關(guān)聯(lián)的情景中設(shè)置數(shù)學(xué)作業(yè)？作業(yè)是否體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象、現(xiàn)實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)化的過(guò)程？作業(yè)是否提升了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題、運(yùn)用數(shù)學(xué)方法建構(gòu)數(shù)學(xué)模型和解決問(wèn)題的能力？作業(yè)是否培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的能力？

問(wèn)題2 作業(yè)設(shè)計(jì)是否能契合學(xué)生的實(shí)際情況？其難度是否合適？作業(yè)數(shù)量是否適中？作業(yè)對(duì)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的水平把握是否恰當(dāng)？

問(wèn)題3 需要對(duì)設(shè)計(jì)好的作業(yè)做出哪些改進(jìn)和完善？

通過(guò)問(wèn)題鏈的引領(lǐng)，作業(yè)反思過(guò)程能夠更加可視化，這可以促使教師在反思中進(jìn)行優(yōu)化和改進(jìn).如作業(yè)3和作業(yè)5還可以持續(xù)優(yōu)化，雖然兩道題目都是運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決周期現(xiàn)象問(wèn)題，但形式比較單一，基本上都是以圓周運(yùn)動(dòng)作為載體；作業(yè)6綜合性不夠強(qiáng)，學(xué)生無(wú)法很好地從中經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程.

如此一來(lái)，在問(wèn)題鏈的引領(lǐng)下，教師通過(guò)有效的反思、完善與改進(jìn)等，真正提升了課后作業(yè)設(shè)計(jì)質(zhì)量，使得學(xué)生在高質(zhì)量的作業(yè)中，逐漸提升了自身的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)^[2].

4 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，作業(yè)設(shè)計(jì)作為課堂教學(xué)活動(dòng)的重要組成，承擔(dān)著多重育人價(jià)值.核心素養(yǎng)下，設(shè)計(jì)可視化數(shù)學(xué)作業(yè)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，已經(jīng)成為高中數(shù)學(xué)教師研究的重點(diǎn).鑒于此，教師必須立足于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和可視化作業(yè)間的內(nèi)在聯(lián)系，通過(guò)思維導(dǎo)圖作好總體規(guī)劃設(shè)計(jì)，并將作業(yè)設(shè)計(jì)過(guò)程直觀地呈現(xiàn)出來(lái)，最終經(jīng)過(guò)問(wèn)題鏈的引導(dǎo)，在反思中不斷提升作業(yè)設(shè)計(jì)質(zhì)量，使學(xué)生在高質(zhì)量的課后作業(yè)中，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1] 華燕萍.指向數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的可視化作業(yè)的設(shè)計(jì)與實(shí)施探討[J].華夏教師，2021（16）：71-72.

[2] 張治才.培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的可視化作業(yè)設(shè)計(jì)：以“三角函數(shù)”單元為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2023（21）：11-13.

[責(zé)任編輯：李 璟]