核心素養導向背景下的高中立幾識圖用圖能力的培養研究

摘 要：作為高中數學知識體系重要分支的立體幾何的學習，學生普遍存在著識圖、用圖、作圖能力薄弱的問題.本文以近幾年高考題目為實例，結合平時教學情況，闡述了基于核心素養導向培養立幾識圖作圖能力的教學應對措施.

關鍵詞：核心素養；模型化；向量化；坐標化

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）24-0056-03

收稿日期：2024-05-25

作者簡介：蔡娜（1983—），女，碩士，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

新課程新教材背景下，“一核、四層、四翼”的高考評價體系，推動著高考命題的變革，由以往的能力立意向核心素養導向轉變.立體幾何作為高中數學知識體系的重要分支，學習過程主要體現了直觀想象、邏輯推理、數學運算等數學核心素養，也就是“想、證、算”的過程.

作為立體幾何學習最重要的環節之一，識圖和用圖能力主要體現了學生直觀想象的數學核心素養，對空間幾何體結構特征的基本認知，以及由常規幾何體變形出來的幾類圖形的轉化和處理能力.對于沒有圖形的題目，能考查學生的作圖能力；對于已知圖形的題目，位置和數量關系的研究則體現了學生識圖用圖的能力，即“無圖作圖”“有圖用圖”.這些更多地依賴于學生平時訓練建立起來的知識體系和常見的處理方法的掌握程度.但是學生在學習立體幾何的過程中總是力不從心，對一些基礎方法、基本模型的應用及變形無法靈活使用，以致不能很好地識圖、用圖.筆者從以下幾點，闡述能力培養的方式方法.

1 示范引導培養識圖方法

教師要注重對識圖方法的示范與引導，帶領學生循序漸進、有目的、有思考地從直觀到抽象，清晰完整地讀圖，并培養學生從圖中收集、分析和處理問題的能力^［1］.筆者以一道2023年高考真題為例，展示如下.

例1 （2023年北京高考第9題）坡屋頂是我國傳統建筑造型之一，蘊含著豐富的數學元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現造型之美．如圖1，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等腰三角形．若AB=25 m，BC=AD=10 m，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面ABCD的夾角的正切值均為√ˉ14/5，則該五面體的所有棱長之和為（ ）.

A.102 m B．112 m C．117 m D．125 m

題中的幾何體是一個非常規的幾何體，有別于學生認知范圍內常見的柱體、錐體、臺體，也就是一個全新的幾何體.考場上學生遇到新問題，容易慌亂，看不懂圖，也就無法進一步理解題意.立體幾何識圖、用圖的實質就是觀察并識別條件和圖中所要傳遞與表達的數學信息，并且合理使用與轉化.因此，教師在分析題目時，應該帶領學生先從認識圖形開始，比如可以設置問題：題中的“五面體”是由什么樣的平面圖形組成的？每一個面具有什么樣的幾何特征？常規的幾何特征要扣緊哪些？剖析認識完幾何題面的特征，接著就是如何找到題中的二面角，也就是如何用圖的問題.這樣，利用二面角的平面角的常規作圖方式，通過做面的垂線和交線的垂線，循序漸進地找到二面角的平面角.

類似這種非常規圖形的題目在近年的高考試題中層出不窮.筆者認為，平時教學時教師如果能“刻意”示范引導學生如何識圖，以及用各種途徑促進學生掌握數學識圖方法，促使學生用數學的眼光體驗、操作、感悟，長此以往，形成識圖習慣，就能提升學生識圖的能力，提高學生的幾何直觀想象的核心素養.

2 模型滲透培養用圖能力

例2 （2022年新高考全國Ⅱ卷第11題）如圖2，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB=ED=2FB，記三棱錐E-ACD，F-ABC，F-ACE的體積分別為V₁，V₂，V₃，則（ ）.

A.V₃=2V₂ B．V₃=V₁

C．V₃=V₁+V₂ D．2V₃=3V₁

本題在已有圖形下，考查學生求解三個錐體的體積，其問題關鍵在于如何快速正確地求出V₃.從方法上，我們可以用等體積法、割補法、向量法解決.然而，實際考查結果可以發現：等體積法中以誰為底面、以誰為高線是轉化的難點，而這正體現了學生立幾學習中證明線面垂直的弱點.如果學生能想到割補法，將非常規幾何體轉化成常規幾何體，那么平時養成的識圖作圖能力就顯得格外重要了.將該不規則幾何體補成常見的正方體，利用正方體的體積和其余部分四棱錐的體積，便可以達到求解V₃的目的.所以，本題很好地詮釋了知識為基、能力為重的命題理念，做適當的輔助線等是常考內容，也是數學的基本功，充分體現了學生用圖的能力，也就是核心素養導向的體現.當然，從應試角度，本題在幾何法束手無策的情況下，向量法不失為關鍵時刻救命得分的稻草.章建躍教授曾經說過，立體幾何課程改革中應強調解析幾何方法^［2］.

筆者還注意到，這道題的解法，其實都是求幾何體的表面積和體積時候常見的處理方法，而涉及的幾個錐體，也是平時的常規圖形.因此，我們平時還要給學生樹立“模型化”的意識，強化常見的幾類模型，除了常見的正方體、長方體、球體，還有如等腰共底的三棱錐、墻角模型、外接球模型等，都應該讓學生對它們的常見處理方式了然于胸，研究其典型的結構特征，深度挖掘蘊含的空間點、直線、平面之間的位置關系.包括新高考Ⅰ卷第9題、全國甲卷文科第9題、全國乙卷理科第7題，都是以基本圖形為依托，突出對學科基本概念、基本原理的考查，注重通性通法，淡化特殊技巧解題，強調對知識本源性方法的深入理解和綜合應用.筆者認為高三復習階段可以以《常見幾何體的體積》這樣的微專題來呈現比較適合，熟練模型、提煉方法、強化訓練、明確認知，而這些都將內化為學生解決某一類問題的核心競爭力，是考場上迅速找到入題點的基本功，可贏得寶貴的時間與分數.

3 合理思辨培養發散思維

即便有了識圖、用圖的基本功，也不意味著可以一勞永逸.因為數學的學習過程中，除了空間直觀想象，還有很重要的邏輯推理核心素養.

例3 如圖3，在長方體AC₁中，AD=AB=2，AA₁=1，E為D₁C₁的中點，平面ABD₁與平面B₁EC的交線為l，則下列結論正確的是（ ）.

A.直線BD₁∥l

B.平面BDD₁∥平面B₁EC

C.三棱錐A-BDD₁的外接球的表面積是9π

D.直線l與平面CC₁D₁D所成角的正弦值為2/3

這是一道交線不可見的問題.對于A選項的判斷，兩條路徑可走.要么找出交線是誰，要么找到與交線在位置上等價的可視化的直線.這就很好地體現了學生的思辨能力.選擇走第一條路徑的學生，需要找到兩個面的公共點，所以得把面延伸，這個過程滲透了作圖能力.

選擇第二條路徑的學生，需要證得與BD₁平行的直線，這個過程需要幾何定理支撐和嚴謹的邏輯性，滲透了用圖能力.而懂得兩條路徑都可行的，則是滲透了對數學問題本質的理解，具有扎實的數學功底和很強的思辨性.筆者相信，在教師們日積月累的教學過程中，只要不斷滲透數學思想與方法，不斷帶領學生思考與分析，從多種方法中比較、提煉，一定能促進學生養成邏輯推理和思辨論證.

4 核心素養培養創新能力

隨著這幾年高考改革，創新題型不斷涌現.例如立體幾何中的動態問題、多個學科交匯問題、以數學文化為背景的命題等，就是這幾年出現的創新試題.動態問題對學生來說始終是難題，既要學會動中找靜，又要識圖、想圖，還要會解圖、算圖.如2022年新高考全國Ⅰ卷第8題，以正四棱錐的外接球為背景，考查錐體和球的體積公式，以及利用導數研究函數的最值問題，體現了直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養，但是很容易被當作是單獨的立體幾何問題，采用特殊位置解決.忽視了分析函數的最大和最小值，是丟分的原因之一.另外，本題的畫圖和計算都較為麻煩，容易導致學生做題過程丟分.連續幾年的高考試題各卷幾乎都有一個類似小題，甚至是壓軸題.但學生在這類題的得分率幾乎都不高，普遍反映出對這類題目的幾個常見心態：（1）害怕閱讀，這類題的題目普遍偏長，文字量大；（2）不能提取有效信息，轉化成數學的圖形語言與符號語言；（3）計算慢或出錯率高.對于這類復雜而又創新的試題，確實對教師和學生都提出了比較高的要求.既要有扎實的基本功，又要有面對新題時的轉化與化歸能力、穩定的心態和卓越的探索精神.

5 結束語

高中立體幾何的學習是漫長而又充滿趣味的，對于立體幾何的空間直觀想象和邏輯推理兩大核心素養的訓練和培養，應該是一個長期的過程.教師的授課，既要注意引導示范，又要培養學生的思維方式.充分經歷由數學現象抽象到數學問題的過程，充分經歷運用知識與技能對抽象出的數學問題進行邏輯推理，從而獲取新知的思維過程.正如教育部考試中心任子朝在《高考試題創新設計的研究與實踐》中闡述的那樣，教師授課應當遵循教學規律，教授數學本質，發展數學能力，提升數學核心素養^［3］.

參考文獻：

［1］ 王英女.關于高中立體幾何教學中空間想象能力的培養［D］.大連：遼寧師范大學.2007：9-10.

［2］ 章建躍.必須關注教學內容的變革［J］.中小學數學（高中版），2010（06）：50.

［3］ 任子朝，趙軒.高考試題創新設計的研究與實踐［J］.中學數學教學參考，2019（07）：2.

［責任編輯：李 璟］