化歸與轉化思想在解題中的應用

摘 要：化歸與轉化思想在高中數學中普遍使用，尤其是在求解一些經典的數學問題中，化歸與轉化思想往往是解決數學問題的第一道工序.文章從四個方面舉例分析化歸與轉化思想在解題中的應用.以提高學生的解題能力，發展學生的學科核心素養.

關鍵詞：高中數學；化歸與轉化思想；應用

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）31-0076-03

收稿日期：2024-08-05

作者簡介：

闞勝男（1997.8—），女，江蘇省南通人，本科，中學二級教師，從事高中數學教學研究.

化歸與轉化思想貫穿于整個高中數學之中，是應用最為廣泛的數學思想方法.究其原因是化歸與轉化思想能夠在各種類型的試題解答中都發揮效果，而且學生也能普遍接受和理解^[1].下面結合具體例題來談談化歸與轉化思想在高中數學解題中的應用.

1 化歸與轉化思想常用到的方法

方法1 直接轉化法.將復雜問題直接轉化為熟悉的問題，如在解三角形中，主要的轉化有角度的轉化、通過正弦定理、余弦定理實現邊角關系的轉化等.

方法2 換元法.通過換元，可將無理式變為有理式，將較復雜的函數、方程、不等式問題轉化為易于解決的問題.

方法3 數形結合法.將問題中數量關系轉化為圖形關系，或者將圖形關系轉化為數量關系，使問題變得簡單、直觀.

方法4 等價轉化法.將問題轉化為一個相對簡單且易于解決的等價命題，達到化歸的目的.

方法5 特殊化方法.將問題向特殊化形式轉化，并證明特殊化后的問題.

2 化歸與轉化思想的應用

2.1 補集思想

例1 中國空間站的主體結構包括天和核心實驗艙、問天實驗艙和夢天實驗艙，假設空間站要安排甲、乙等5名航天員開展實驗，三艙中每個艙至少一人至多二人，則甲乙不在同一實驗艙的種數有.

解析 5名航天員安排三艙，每個艙至少一人至多二人，共有C15C13C24=90種安排方法，若甲乙在同一實驗艙的種數有C13C13C12=18種，根據補集思想可知甲乙不在同一實驗艙的種數有90-18=72種.

點評 運用組合公式求出所有的情況和甲乙在同一實驗艙的情況，然后利用補集思想即可求解.

例2 已知函數f（x）=x-1.若f（a）+f（b）+f（c）=0，證明：a，b，c這三個數中至少有一個數不大于1.

證明 因為f（a）+f（b）+f（c）=0，

所以a+b+c=3.

假設a，b，c這三個數中沒有一個數不大于1，即每個數都大于1，即agt;1，bgt;1，cgt;1，則

agt;1，bgt;1，cgt;1.

所以a+b+cgt;3，這與a+b+c=3矛盾，假設不成立.

所以a，b，c這三個數中至少有一個數不大于1.

點評 考慮到正面分析比較復雜，用補集思想，從對立面思考.利用反證法，先假設原命題成立，推出矛盾，故假設不成立，于是問題得證^[2].

2.2 將多變量問題轉化為單變量問題

例3 若銳角△ABC的內角A，B，C所對的邊分

別為a，b，c，其外接圓的半徑為3，且acos（B-C）+acosA=23csinBcosA，則b2+a2b的取值范圍為.

解析 由acos（B-C）+acosA=23csinBcosA，

得acosBcosC+asinBsinC-a（cosBcosC-sinBsinC）=23csinBcosA.

即asinBsinC=3csinBcosA.

由正弦定理得sinAsinBsinC=3sinCsinBcosA.

顯然sinCgt;0，sinBgt;0，所以sinA=3cosA.

所以tanA=3.

因為A∈（0，π2），

所以A=π3.

因為△ABC外接圓的半徑為3，

所以asinA=bsinB=23.

所以a=3，b=23sinB.

所以b2+a2b=b+a2b=23sinB+332sinB=23（sinB+34sinB）.

因為△ABC為銳角三角形，

所以0lt;Blt;π2，0lt;2π3-Blt;π2.

解得π6lt;Blt;π2，即sinB∈（12，1）.

令f（x）=x+34x，x∈（12，1），根據對勾函數的性質可知函數f（x）=x+34x在（12，32）上單調遞減，在（32，1）上單調遞增，且f（12）=2，f（32）=3，

f（1）=74.

所以f（x）∈［3，2）.

即sinB+34sinB∈［3，2）.

所以23（sinB+34sinB）∈［6，43）.

即b2+a2b的取值范圍為［6，43）.

點評 由已知條件解出A，再運用正弦定理邊化角，將待求式子轉化為僅含角B的式子，最后構造函數，利用對勾函數的單調性求出所求式子的范圍.

2.3 函數與方程、不等式間的轉化

例4 已知函數f（x）=x2cos（πx）-2xcos（πx）+cos（πx），則方程f（x）=1在區間［-2，4］上的所有實根之和為（" ）.

A.0" B.3" C.6" D.12

解析 由題意得f（x）=x2cos（πx）-2xcos（πx）+

cos（πx）=（x-1）2cos（πx），

f（2-x）=（2-x-1）2cos［π（2-x）］=（1-x）2cos（2π-πx）=（x-1）2cos（πx）=f（x），

所以f（x）的圖象關于x=1對稱.

當x=1時，f（x）=0≠1；

當x≠1時，令f（x）=1可得

cos（πx）=1（x-1）2.

當x=2時，cos2π=1（2-1）2=1；

當x=4時，cos4π=1gt;1（4-1）2=19.

在同一直角坐標系中畫出y=cos（πx），y=1（x-1）2的圖象，如圖1所示.

由圖1可知y=cos（πx），y=1（x-1）2在（1，4］上有且僅有3個交點，所以所有的實根之和為3×2=6.故選C.

點評 先找到函數的對稱軸，然后將方程有根問題轉化為函數圖象交點問題，作出草圖，并分析圖象，利用數形結合可得到答案.

2.4 形體位置關系的轉化

例5 已知三棱錐P-ABC的底面ABC是邊長為2的正三角形，且PA=PB=PC，三棱錐P-ABC的內切球的表面積為S，若S∈［4π9，4π5］，則點P到平面ABC的距離的取值范圍為.

解析 設點P到平面ABC的距離為h，內切球半徑為r，則三棱錐P-ABC的表面積為3h2+13+3.

由等體積法，得13（3h2+13+3）r=13×3h.

即r=h3h2+1+1=13+1/h2+1/h.

當h增大時，r隨之增大.

設h的取值范圍為［m，n］，由S∈［4π9，4π5］，得r∈［13，55］.

所以當h=m時，r=13=13+1/m2+1/m；

當h=n時，r=55=13+1/n2+1/n，

解得m=1，n=5.

所以點P到平面ABC的距離的取值范圍為［1，5］.

點評 先設點P到平面ABC的距離為h，并用其表示出三棱錐P-ABC的表面積，然后通過等體積法轉化求解距離的取值范圍.

3 結束語

化歸與轉化思想在高中數學解題教學中的應用極為廣泛，在很多數學問題的解決中都會用到.學生如果能靈活進行問題轉化，復雜問題就會變得簡單，陌生問題就會變得熟悉，綜合問題也能夠得到有效的拆分^[3].這樣，就可以在無形之中提高學生的解題能力，發展學生的學科核心素養.

參考文獻：

［1］羅文軍.化歸與轉化思想在解題中的應用[J].廣東教育（高中版），2023（02）：20-27.

[2] 李鴻昌，曾吉相.調整法在不等式證明中的應用[J].數學通訊，2023（19）：50-53.

[3] 李鴻昌.一道新高考導數壓軸題的解法探究[J].高中數學教與學，2021（15）：22-23.

［責任編輯：李 璟］