立足“意義形成”?培養空間觀念

【摘 要】新課標將“圖形與幾何”領域調整為“圖形的認識與測量”和“圖形的位置與運動”兩大主題，更加突出學科內容的本質特征，凸顯知識內容間的聯系。文章基于兒童學習力的培養研究，立足“意義形成”，從宏觀角度把握一致性，有層次有序列地作實踐探究，體現出整體性、關聯性和遞進性，幫助學生形成知識的結構體系，從本質屬性上深度理解圖形的意義，發展高階思維，培育核心素養。

【關鍵詞】結構體系 意義形成 空間觀念

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）強調，課程內容的組織“重點是對內容進行結構化整合，探索發展學生核心素養的路徑”。在這一理念引領下，教師的教學活動，就需要在整體視域下構建有聯系的知識群，促進學生核心素養的發展。

新課標將“圖形與幾何”領域從原來分布在兩個學段的四大主題“圖形的認識”“測量”“圖形的運動”“圖形與位置”整合為貫穿三個學段的“圖形的認識與測量”和“圖形的位置與運動”兩大主題。這一變化，更加突出學科內容的本質特征，凸顯知識內容間的聯系。本文基于兒童學習力的培養研究，立足“意義形成”，選擇“圖形的認識與測量”主題，從宏觀角度把握一致性，有層次有序列地作實踐探究。

一、立足“意義形成”，在多維聯結中建構圖形概念

“意義形成”是指學習者以借助自身經驗完成的心理聯結為基礎，主動聯系孤立事件，通過將所學內容和已有知識之間建立聯系，創建最近發展區，構造有意義的學習，是一項以過程為中心的策略。學生在每個年級接觸到的知識，在后續的進階過程中，會對原有的知識進行完善和再造，形成螺旋狀的穩固知識結構，從而更好地架構起知識的學習支架。

圖形的意義形成主要是對圖形的抽象，每個抽象的過程，都不應是個孤立的事件，而應是點、線、面、體彼此聯結的過程。 歐幾里得《幾何原本》有這樣一段描述：點是沒有部分的，線只有長度沒有寬度，面只有長度和寬度，直線是它上面的點一樣平放的線，平面是它上面的線一樣平放的面……有了這個前提，圖形的特征才有了其“自己的特質”，而這份特質通常需要從“點、線、面、體”不同的維度去考查幾何圖形。

比如，三角形有三個基本要素——三個頂點、三條邊、三個角，而這三個要素之間是有著不可分割的關聯性。三條邊即三條線段，這三條線段以首尾相接的形式圍成了三角形（圖1）。于是，學生自然而然會產生疑問：每條線段有兩個端點，為什么三角形只有三個頂點？這是個有價值的真問題，并且在學生能力范圍內，通過調動已有的知識經驗能夠解釋清楚的問題：因為首尾相接了，所以前一條線段的尾和后一條線段的首重疊在一起，兩個端點變成了一個頂點，其他兩處同樣如此（圖2）。在這里，點和線的交織，用直觀生動的方式加以解讀，三角形的圖式就更加清晰明了，三個關鍵要素以舊的身份，借助新的方式形成新的圖形，從而完成抽象過程，建構圖形概念。

當學生對三角形是由三條線段首尾相接圍成的圖形形成心智圖像并能通過畫一畫表示出來后，教師還需要進一步引導學生加深對其本質屬性的認識。于是便可設計問題：連接任意三點都能畫出三角形嗎？學生通過不斷嘗試和探究，發現只有選擇不同一直線上的三個點，才能畫出三角形，否則即便做到了首尾相接，三條線段重合了，也無法圍成三角形。這是由點到線再到面對三角形本質屬性的再認識。

二、立足度量本質，在測量的一致性中深化認知

“圖形的認識”和“測量”的內容在很多情況下是關聯在一起的，將它們整合為一個主題，作為整體來學習，有助于學生認識圖形及其大小，整體把握圖形的特征。“量感”作為圖形的屬性之一，成為認識圖形的重要部分。所以，在研究線、面、體圖形特征時，教師應將度量融入其中，立足整體性原則，保持一致性，感悟數學度量方法，從而展開教學，幫助學生形成量感和推理意識，發展幾何直觀。

在“圖形與幾何”領域，一維的線到二維的面再到三維的體，其度量的本質是一致的，即用小單位去量大單位，最終用一個確定的數來表述度量的結果，體現運動的不變性、可加性和可測性。

（一）整體感知可測性

在第一學段，圍繞線段，對長度進行度量；第二學段，圍繞平面圖形，對面積進行度量；第三學段，圍繞立體圖形，對體積進行度量。

長度的測量，其需求的產生最早源于遠古時代的生產生活需要，從用身體的某一部分量到用物體量，及至后來發展到用繩子來測量。古人的度量經驗，有一個淳樸的共性：小長度量大長度。隨著社會的進步，度量的工具逐漸優化，但其本質依然是小長度量大長度，只不過小長度通過累加逐漸轉化為直尺上的刻度。所以，對于度量的“種子課”，教師在教學中可以放慢腳步，從古人的測量中尋找度量的意義和價值，理解直尺的由來，以及“用直尺來量線段長度的本質始終是小長度量大長度”。

面積的度量源自古時候土地的丈量。因為有了長度的度量經驗，所以在教學中可以創設比較土地大小的情境，從周長測量的過程中去尋找靈感：周長可以用直尺來量，大長度用小長度量，那面積呢？大面積可以用小面積來量，并在三角形、長方形、正方形、圓形等小圖形中尋找、比對：能夠不留空隙地正好鋪滿大圖形，并且為了便于切分和測量，選擇橫向縱向單位長度一致的小正方形。同樣，體積的度量，可以將長度、面積的測量視角伸向立體空間，自行想象以長、寬、高三個維度單位長度一致的小正方體作為度量標準。

（二）整體感知可加性

度量具有可加性。新課標在第二學段增加了尺規作圖的相關內容，提出“經歷用直尺和圓規將三角形三條邊畫到一條直線上的過程”，從而直觀感受三角形的周長，知道什么是三角形的周長，感知線段長度的可加性。所以，在教學“認識面積”一課，用單位小面積去測量大長方形的面積時，教師不僅要讓學生在獨立的事件中去感知這一特性，更要將學生置身于有關聯的場景中。

首先回顧尺規作圖的過程，把三角形三條邊首尾相接后形成一條新的線段的過程再現出來，明確這就是三角形的周長，直觀呈現周長是由三條線段累加起來的長度。而在用小正方形測量面積時，同樣需要讓學生明白：若干個小正方形的面積合起來就是長方形的面積，長方形的面積里面包含了若干個小正方形的面積。將兩個事件聯系起來，便于學生從整體視角感知圖形面積和周長一樣，具有可加性，線和面的聯系更為密切。同樣，到第三學段學習立體圖形時，可以聯系周長、面積的可加性來感悟體積的可加性。

（三）整體感知運動不變性

在度量平面圖形面積的過程中，往往會遇到不滿整格的情況，比如平行四邊形、梯形等，這時候往往需要通過剪拼或者平移等方式，把不滿一格的部分轉化成整格，而在轉化過程中，需要讓學生感知到：形狀變了，面的大小沒有發生變化。而這樣的處理同樣可以放在整體視角下：上述尺規作圖的過程，把原來首尾相接圍起來的三條線段搬到了一條直線上，在這個搬動的過程中，線段的位置變了，但是長度不變。從長度到面積再到體積，將運動不變性作為整體視角下的特性來研究，學生的邏輯體系建構更具完整性，同樣也有利于其空間觀念和思維品質的發展。

當每一個維度的圖形從度量的角度被統一起來時，那么學生對圖形的認識并不僅僅停留在特征相貌上，而是上升到了度量屬性的高度，從而實現質的飛躍。

三、立足運動變化，在整體視角下發展空間觀念

從動態幾何的視角分析，點動成線，線動成面，面動成體，幾何要素之間緊密關聯，彼此交織。比如，面存在于體上，換個角度，線的無限密鋪就形成了面。反過來，一個面的某一條邊沿就是一條線，兩條線相交在一個點上，體中有面、面上有線、線上有點，立足動態變化的視角，方能用辯證的思維來識別整體、部分之間彼此轉化、彼此包容的關系，從而發展推理能力。

在教學“認識面積”一課時，教師可以從兩個角度來引導學生形成“面”的認識。

首先創設任務情境：勞動實踐基地的幾塊菜地需要重新規劃，根據烹飪社團“對蔬菜需求量從大到小分別是青菜、土豆、番茄、大蒜”這一組信息，提出驅動任務：這幾塊菜地怎么分配合理？根據學生的分配方案，引出“面有多大”這一核心問題，也提出新的任務：比畫地的大小。在學生的比畫中，有用點到點的某條線來表示的，也有用手指一周邊線來表示的，還有用指尖不停圈圈點點來表示的。一周邊線自然是個很好的資源，通過提問：青菜只是種在這一周上嗎？（圖3）通過真實的種菜圖，學生恍然大悟：青菜不只是種在一周上，還要種在里面呢！（圖4）繼而引發新的思考：怎么把里面也表示出來？其實剛才有學生用手指努力地圈圈點點，就是在試圖把里面都指出來，這時候引出“摸”的動作，學生就能有種線動成面的感悟。

圖3" " " " " " " " " " " " " " " " " " " "圖4

面與體的關聯性，還可以創設如下學習過程：出示幾個立體圖形，想一想，這些圖形上有面嗎？把你喜歡的面想辦法“留下來”！這時候，學生會用筆沿著立體圖形的邊線去描，也會用印泥印下來。這個過程，就是把立體圖形上的面轉到了平面的視角，實現由體到面的抽象。

有了這樣兩個環節，線動成面、體中有面就能成為立足兒童視角的真實動態過程。同樣，面動成體也應該有這樣鮮活的解讀。一致性反映的就是數學的本質，實現的基本路徑就是“數學化”。

綜上所述，立足點線面體的一致性、度量的一致性、意義形成的一致性展開關于“圖形與幾何”的教學，便于幫助學生形成知識的結構體系，從本質屬性上深度理解圖形的意義，發展高階思維，培育核心素養。

【參考文獻】

[1]史寧中，曹一鳴.義務教育數學課程標準（2022年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]曹一鳴.新版課程標準解析與教學指導（小學數學）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.