初中數(shù)學逆向思維訓練與學生解題策略多樣性研究

摘 要：教師在初中數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的逆向思維能力，能拓展學生的解題思路，增強學生的問題解決能力，提升學生解題策略的多樣性。闡述了逆向思維訓練對提升學生解題策略多樣性的意義，從逆向設(shè)問、加強對定義和概念的逆用、逆向分析解題思路、引入反證法等方面探討了初中數(shù)學教學中培養(yǎng)學生逆向思維的策略，以供參考。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學；逆向思維；解題策略多樣性

作者簡介：董喜源（1976—），男，甘肅省酒泉市阿克塞哈薩克族自治縣中學。

逆向思維能力是指從反面或?qū)α⒚娉霭l(fā)，對問題進行深入思考并尋找解決方案的能力，其核心在于突破傳統(tǒng)正向思維的束縛，從不同角度審視問題，發(fā)現(xiàn)新的解題思路和方法［1］。受應試教育理念影響，不少學生思維固化，缺乏靈活性和創(chuàng)新性。逆向思維能力的培養(yǎng)能夠讓學生從不同的角度審視問題，實現(xiàn)思維的拓展與延伸，提高學生的解題效率與準確性［2］。因此，初中數(shù)學教師研究逆向思維訓練策略，對促進學生的綜合能力發(fā)展和提升學生解題策略的多樣性具有重要意義。

一、逆向思維訓練對提升學生解題策略多樣性的意義

逆向思維訓練對提升學生解題策略多樣性具有以下幾個方面的意義。（1）增強解題靈活性。逆向思維訓練能幫助學生突破傳統(tǒng)正向思維的局限，讓學生學會從不同角度對問題進行深入探究，靈活運用知識，進而增強學生的解題能力，提升他們的思維變通性和創(chuàng)新性。（2）拓展解題思路。在逆向思維訓練中，學生需要運用逆向推理、反證等技巧來解決問題，這有利于學生突破常規(guī)思維框架的限制，找到新的解題策略［3］，增強學習信心和學習動力。（3）提高解題效率。逆向思維訓練能夠幫助學生快速找到問題的關(guān)鍵點，進而提高學生的解題效率。（4）深入理解知識。逆向思維訓練能幫助學生更好地理解數(shù)學概念和公式，加深學生對數(shù)學知識的理解。

二、初中數(shù)學教學中培養(yǎng)學生逆向思維的策略

（一）逆向設(shè)問，打破思維定式

教師在講解新知識或例題時，可以根據(jù)教學內(nèi)容和學生的實際情況，設(shè)置一些具有逆向思維特點的問題，引導學生進行逆向思考。這些問題要具有一定的挑戰(zhàn)性和啟發(fā)性，以引導學生從不同的角度思考問題。教師也可以鼓勵學生自己提出逆向問題并解答。這種方式不僅可以鍛煉學生的逆向思維能力，還可以培養(yǎng)他們的自主學習能力和創(chuàng)新能力。通過逆向設(shè)問，打破學生的思維定式，培養(yǎng)學生的逆向思維意識，能讓學生從不同的角度審視數(shù)學概念，更深刻地理解數(shù)學概念的內(nèi)涵。

以“求解二元一次方程組”一課的教學為例，本課的主要教學目標是讓學生學會運用代入消元法和加減消元法求解二元一次方程組。在本課教學中，教師便可以運用逆向設(shè)問的方法。比如，在講解加減消元法時，教師可以直接給出方程組的解，讓學生結(jié)合方程組的解，嘗試自己設(shè)計可以使用加減消元法求解的二元一次方程組。首先，教師可以向?qū)W生提出“如何設(shè)計方程組中的系數(shù)才能使其符合加減消元法的運用條件？”等問題，并留出充足的時間讓學生嘗試構(gòu)建方程組，分享構(gòu)建思路。之后，教師可以點評學生的構(gòu)建結(jié)果，并分析其在構(gòu)建方程組的過程中應用逆向思維的情況。這一教學過程能使學生逐漸形成逆向思維意識，加深學生對加減消元法的理解。在逆向設(shè)問后，教師可以鼓勵學生自己設(shè)計具有逆向思維特點的問題，同時讓學生相互交換問題并解答。基礎(chǔ)的逆向問題一般是給定方程組的解，讓別人構(gòu)建相應的二元一次方程組；更高層次的逆向問題可以要求別人構(gòu)建包含特定系數(shù)或特定項的方程組。這樣的教學能讓學生反復思考解方程組的過程和方法，加深學生對知識的理解，鍛煉學生的逆向思維能力。

（二）加強對定義和概念的逆用

在講解數(shù)學概念時，教師不僅要讓學生理解其含義，還要通過舉例、對比等方式引導學生進行逆向探究。同時，教師要在明確逆命題的概念的基礎(chǔ)上，引導學生探討相應數(shù)學命題的逆命題是否成立并嘗試說明理由。教師可以提供適當?shù)闹笇Ш椭С郑瑤椭鷮W生克服探討過程中的困難。在探討結(jié)束后，教師應引導學生對逆命題的探討過程進行總結(jié)歸納，明確哪些逆命題成立、哪些逆命題不成立，并探究相應的原因，這有助于學生形成系統(tǒng)的知識體系。通過逆向理解和逆命題探討，學生可以更好地理解數(shù)學概念的本質(zhì)和內(nèi)涵。

例如，在“平行線的判定”一課的教學中，教師要讓學生學會根據(jù)給定的條件判定兩條直線是否平行，并學會逆向運用相應的知識。首先，教師要清晰闡述平行線的判定定理，通過圖示、實例和練習等，讓學生掌握并應用這些定理。隨后，教師要引導學生思考這些定理的逆向情況。比如，教師可提問：“如果兩條直線平行，那么相應的同位角一定相等嗎？”或者給出逆命題“如果兩條直線平行，則相應的同位角相等”讓學生驗證，以此讓學生理解平行線性質(zhì)與判定定理之間的內(nèi)在聯(lián)系。接著，教師可展示一些具體的幾何圖形或?qū)嶋H問題，并將學生分成多個小組，讓每個小組負責一個逆向問題或逆命題的探究，鼓勵學生運用所學知識探討逆命題是否成立。在這個過程中，教師可以提供一些必要的提示和引導，但要讓學生自主完成探討過程。最后，教師要讓各組派代表分享探究成果或未解決的問題，鼓勵學生積極表達不同的想法或思路，以此加深學生對相關(guān)知識的理解。在學生分享結(jié)束后，教師要總結(jié)逆命題探討的過程和結(jié)果，并對學生遇到的問題進行有針對性的解答。同時，教師要引導學生反思探討過程中的思維方法和技巧，以提高他們的邏輯思維和批判性思維能力。在這樣的教學中，學生不僅能掌握相關(guān)知識，還能學會逆向思考的方法，鍛煉邏輯推理能力。

（三）逆向分析解題思路

在解題過程中，教師可引導學生采用分析法進行逆向思考，即從題目要求的結(jié)果出發(fā)，逆向推導需要滿足的條件或已知信息［4］。教師要先讓學生明確題目的最終要求，并讓學生由此出發(fā)，逆向推導相應的前置條件或步驟，然后讓學生將得出的條件或步驟細化，直到所有條件都能與已知的數(shù)學知識或題目給出的信息相匹配。在推導過程中，學生要不斷驗證每一步的合理性，并根據(jù)需要進行調(diào)整。

例如，在“平行四邊形的判定”一課的教學中，教師可引入典型例題：在四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC，求證四邊形ABCD是平行四邊形。教師可借助這一例題向?qū)W生展示運用分析法解題的過程，讓學生學會在解題時使用逆向思維。在此基礎(chǔ)上，教師可設(shè)計一系列由易到難的練習題，讓學生在實踐中不斷運用分析法，以此加深學生對平行四邊形判定條件的理解，提升學生的逆向思維能力。

為了培養(yǎng)學生的逆向思維，教師還可以鼓勵學生在解題過程中進行逆向聯(lián)想，將復雜的問題分解成若干個相互關(guān)聯(lián)但較為簡單的子問題。具體來說，學生要先從題目中提取關(guān)鍵信息或未知量，然后嘗試將這些關(guān)鍵信息或未知量與已知的數(shù)學定理、公式或模型聯(lián)系起來，同時通過逆向聯(lián)想，將復雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題或?qū)⑽粗哭D(zhuǎn)化為已知信息，最后利用已知的數(shù)學知識和方法解決轉(zhuǎn)化后的問題。例如，有這樣一個問題：在四邊形ABCD中，∠A=∠C，AB∥CD，AB=CD，求證四邊形ABCD是矩形。在講解這一題時，教師便可展示如何運用逆向聯(lián)想的方法解題，以此讓學生明確運用逆向聯(lián)想方法解題的整個過程。之后，教師可設(shè)計一些相似的題目或難度更高的題目，讓學生嘗試用逆向聯(lián)想的方法解答，并分享解答思路和解題過程。在學生充分掌握該解題方法后，教師便可以讓其將此方法應用到其他數(shù)學領(lǐng)域或?qū)嶋H生活中，如探究其他幾何圖形的性質(zhì)、解決復雜的代數(shù)問題等，以此培養(yǎng)學生的綜合素養(yǎng)和創(chuàng)新能力。

（四）引入反證法，加強實踐應用

反證法是一種重要的數(shù)學證明方法，也是培養(yǎng)學生逆向思維的有效手段。教師可以通過講解反證法的原理和應用實例，幫助學生掌握反證法的使用技巧。教師要幫助學生明確反證法的概念及應用步驟等，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計具體的數(shù)學問題，引導學生嘗試使用反證法來解答問題。

反證法要求學生從反面思考問題，有助于培養(yǎng)學生的逆向思維能力和批判性思維能力，能讓他們學會從多個角度審視問題。反證法能夠幫助學生解決一些直接證明較為困難的問題，提高他們的解題能力。通過運用反證法，學生能夠更深入地理解數(shù)學概念和定理之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而加深對數(shù)學知識的理解。反證法的應用需要學生進行嚴密的邏輯推理和論證，不僅能鍛煉學生的邏輯推理能力，還能提高學生論證過程的嚴謹性。

例如，在“二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”一課的教學中，在講授完二次函數(shù)的基本形式、開口方向、對稱軸、頂點等基本知識點后，教師可以選擇一個較難直接證明但適合用反證法處理的性質(zhì)作為教學切入點，進行與反證法有關(guān)的教學，如二次函數(shù)的對稱性質(zhì)、二次函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性等。教師要先從理論層面說明反證法的應用步驟，讓學生明確整個反證過程，為學生有效應用反證法奠定基礎(chǔ)。應用反證法的具體步驟如下：（1）確定論題，即明確需要證明的結(jié)論；（2）反設(shè)，即假設(shè)原論題結(jié)論的反面成立；（3）歸謬，即基于反設(shè)和已知條件，逐步推出一個錯誤或自相矛盾的結(jié)論；（4）得出結(jié)論，即根據(jù)前面的結(jié)果，得出原論題的結(jié)論正確。在明確應用反證法的具體步驟后，教師可結(jié)合具體實例對該方法的應用過程進行演示。比如，在證明“二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象關(guān)于其對稱軸x=-b/2a對稱”時，使用反證法解題的過程如下：首先，確定該例題的論題是“二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象關(guān)于其對稱軸對稱”。其次，對論題進行反設(shè)，假設(shè)二次函數(shù)的圖象不關(guān)于其對稱軸對稱。最后，任取圖象上關(guān)于對稱軸對稱的兩點P（m，n）和P1（2×（-b/2a）-m，n）（如果m不等于-b/2a，則這兩點確實是對稱的；如果m等于-b/2a，則可選擇稍偏離的點）。根據(jù)二次函數(shù)的定義，點P（m，n）在圖象上意味著n=am2+bm+c。假設(shè)圖象不關(guān)于對稱軸對稱，則點P1的縱坐標不應為n。但根據(jù)對稱性，如果圖象真的關(guān)于對稱軸x=-b/2a對稱，那么P1也應在圖象上，且其縱坐標也應為n。這里產(chǎn)生了矛盾：一方面假設(shè)圖象不關(guān)于對稱軸對稱，另一方面對稱點P1的縱坐標應與P相同。由此可以得出結(jié)論：假設(shè)不成立，二次函數(shù)的圖象關(guān)于其對稱軸對稱。反證結(jié)束后，教師可引導學生對關(guān)鍵步驟和邏輯關(guān)系進行討論，并鼓勵學生在后續(xù)的學習中嘗試使用反證法解決復雜問題。在這樣的教學中，學生不僅能夠加深對二次函數(shù)對稱性質(zhì)的理解，還能掌握反證法這一重要的證明方法，提升數(shù)學思維能力和邏輯推理能力。

三、總結(jié)

教師在初中數(shù)學教學中鍛煉學生的逆向思維，能有效培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，提升學生解題策略的多樣性，增強其解決數(shù)學問題的能力。在初中數(shù)學教學中，教師可通過逆向設(shè)問、加強對定義和概念的逆用、逆向分析解題思路以及引入反證法等方式，有效培養(yǎng)學生的逆向思維。在今后的研究中，初中數(shù)學教師要不斷探索能有效培養(yǎng)學生的逆向思維的教學策略，以提高學生的邏輯思維能力，拓展學生的解題思路，增強學生的知識應用能力。

［參考文獻］

張喆寧.初中數(shù)學教學中學生逆向思維能力的培養(yǎng)探究［J］.數(shù)理天地（初中版），2024（14）：109-111.

宋海琴.逆向思維在初中數(shù)學解題中的應用［J］.數(shù)理天地（初中版），2024（13）：44-45.

施瑞.逆向思維在初中數(shù)學解題教學中的應用思考［J］.試題與研究，2024（15）：55-57.

張光輝.逆向思維在初中數(shù)學教學中的訓練策略［J］.家長，2024（6）：34-36.