對一道競賽題的多視角探究

摘 要：同角三角函數的基本關系揭示了sinθ，cosθ，tanθ之間的基本關系，知一求二.若已知三角函數之間的關系式，求其他的三角函數問題，可以利用平方關系或者商的關系等價變形求解，也可以根據式子的結構特征構造幾何圖形求解.解答過程滲透函數與方程、轉化與化歸、數形結合的思想方法，考查數學運算、數學建模、邏輯推理、數據分析等核心素養.

關鍵詞：基本關系；等價變形；知識整合；幾何直觀

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）34-0022-04

收稿日期：2024-09-05

作者簡介：李波（1991—），男，四川省儀隴人，中學一級教師，從事中學數學教學研究.

2016年江蘇省高中生數學競賽試題是一道已知三角函數之間的關系式，求其他的三角函數問題.筆者仔細研讀，根據已知條件、代數結構及三角恒等變換公式，從“代數”與“幾何”兩大方向給出了10種解法，考查了同角三角函數基本關系、三角恒等變換、解三角形、直線與方程、數列等知識，以達到發散思維，構建知識結構的作用.

1 題目呈現

題目 已知1sinθ+1cosθ=3512，θ∈（0，π2），求tanθ.2 解法探究

2.1 消元思想

解法1 因為（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ，

所以sinθcosθ=（sinθ+cosθ）2-12.

由1sinθ+1cosθ=sinθ+cosθsinθcosθ，知

12（sinθ+cosθ）=35sinθcosθ.

所以12（sinθ+cosθ）=35·（sinθ+cosθ）2-12.

解得sinθ+cosθ=75.

又sin2θ+cos2θ=1，易知

sinθ=35，cosθ=45或sinθ=45，cosθ=35.

所以tanθ=34或tanθ=43.

解法2 令t=sinθ+cosθ，t∈（1，2］，由1sinθ+1cosθ=sinθ+cosθsinθcosθ，知sinθcosθ=1235t.

因為（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ，

所以t2=1+2×1235t.

整理，得35t2-24t-35=0，

解得t=75或t=-75（舍）.

即sinθ+cosθ=75.

以下同解法1.

解法3 由題知（1sinθ+1cosθ）2=（3512）2，即

1sin2θ+1cos2θ+2sinθcosθ=（3512）2.

整理，得（1sinθcosθ）2+2sinθcosθ-（3512）2=0，

解得sinθcosθ=1225.

因為sinθcosθ=

sinθcosθsin2θ+cos2θ=tanθ1+tan2θ=1225，

所以tanθ=34或tanθ=43.

本題隱藏了一個重要的信息sin2x+cos2x=1，該等式的左邊為2次，右邊為常數1，為此可以考慮“1”代換.但等式1sinθ+1cosθ=3512左邊分子為0次，分母為1次，如果直接“1”代換，不能保證得到齊次式，因此，在“1”代換之前，考慮先平方.

2.2 “1”為代換

解法4 由題知（1sinθ+1cosθ）2（sin2θ+cos2θ）=（3512）2，即

（1sin2θ+1cos2θ+2sinθcosθ）（sin2θ+cos2θ）=（3512）2.

展開，得

（tanθ+1tanθ）2+2（tanθ+1tanθ）-（3512）2=1，

解得tanθ+1tanθ=2512.

易知tanθ=34或tanθ=43.

評析" “1”在中學數學中有很重要的應用，sin2θ+cos2θ=1主要是方便對式子變形，而其他等于1的整式或分式主要是為使用均值不等式創造條件.本題充分利用結論 sin2θ+cos2θ=1來實現已知sinθ，cosθ關系，向未知tanθ的轉化.

2.3 萬能公式

解法5 由萬能公式知

sinθ=2t1+t2，cosθ=1-t21+t2，

其中t=tanθ2∈（0，1），θ∈（0，π2）.則1+t22t+1+t21-t2=1.

整理，得6t4-47t3+23t-6=0.

由6的因子為1，2，3，6，t∈（0，1），所以上述方程的根可能為16，13，12，23，易知13，12是上述方程的根，由帶余除法定理，得

6t4-47t3+23t-6=（t-12）（t-13）（t-7-712）（t-7+712）.

由t∈（0，1）知，僅13，12是上述方程的根，即tanθ2=13，12.

所以tanθ=34或tanθ=43.

2.4 等差數列

解法6 由1sinθ+1cosθ=3512，知1sinθ，3524，1cosθ為等差數列.

可設1sinθ=3524-d，1cosθ=3524+d，則

sinθ=135/24-d，cosθ=135/24+d.

因為θ∈（0，π2），

所以sinθ，cosθ∈（0，1）.

易知d∈（-1124，1124）.

由sin2θ+cos2θ=1，知

1（35/24+d）2+1（35/24-d）2.

整理，得d4-3 602576d2+1 225576×73576=0.

分解因式，得

（d2-25576）（d2-3 577576）=0.

因為d∈（-1124，1124），所以d=±524.

易知sinθ=35，cosθ=45或sinθ=45，cosθ=35.

所以tanθ=34或tanθ=43.

2.5 分式換元為整式

解法7 設x=1sinθ，y=1cosθ，則1x2+1y2=1.

即x2+y2=x2y2.

由x+y=3512，x2+y2=x2y2，得

（xy）2+2xy-（3512）2=0，

解得xy=2512［1］.

即1sinθcosθ=2512.

因為sinθcosθ=sinθcosθsin2θ+cos2θ=tanθ1+tan2θ=1225，

所以tanθ=34或tanθ=43.

評析 換元法是高中數學解題中的一種重要方法，換元的方法多種多樣，千差萬別，目的是將復雜的問題簡單化

、抽象的問題形象化、分式問題整式化、無理問題有理化，這需要我們具備較強的觀察能力、邏輯思維能力、聯想能力.本題通過巧妙的換元、適當的化簡，實現分式問題整式化.

2.6 構造直角三角形，利用內切圓的性質

如圖1，在△ABC中，內切圓半徑r=2Sa+b+c.

圖1 內切圓半徑與邊的關系

特別地，當△ABC為直角三角形時，AF=AC-CE=AC-r；BF=BC-CD=BC-r，所以AB=AF+BF=AC-r+BC-r=a+b-2r，

解得r=12（a+b-c）.

解法8" 如圖2所示，構造Rt△ABC，CA⊥CB，CH⊥AB，記CH=1，∠BAC=θ，由圖2知AC=1sinθ，BC=1cosθ，AB=1sinθcosθ.

圖2 解法8的示意圖

則r=12（1sinθ+1cosθ-1sinθcosθ）

=12（3512-1sinθcosθ）.

又△ABC的面積

S=12·1sinθ·1cosθ=12sinθcosθ，

r=2SAC+BC+AB=1/（sinθcosθ）35/12+1/（sinθcosθ），

即12（3512-1sinθcosθ）=1/（sinθcosθ）35/12+1/（sinθcosθ）.

整理，得（1sinθcosθ）2+2sinθcosθ-（3512）2=0.

以下同解法3.

評析" 充分利用三角函數的定義構造直角三角形，實現代數問題幾何化，形象直觀，同時也很好地體現了數形結合的思想.

2.7 構造直角三角形，利用切割法

解法9 因為1sinθ+1cosθ=3512，θ∈（0，π2），所以構造直線方程1sinθy-1cosθx-3512=0，易知該直線過定點（-1，1），如圖3，根據等面積法，由圖易知，

圖3 解法9的示意圖

S△AOB=S△ACD+S△BCE+S矩形OECD.

即12×3512sinθ×3512cosθ=12×1×tanθ+12×

1×1tanθ+1×1.

整理，得（3512）2（sinθcosθ）2-2sinθcosθ-1=0，

解得sinθcosθ=1225.

因為sinθcosθ=sinθcosθsin2θ+cos2θ=tanθ1+tan2θ=1225，

所以tanθ=34或tanθ=43.

2.8 構造直線，巧用射影定理

解法10" 如圖4所示，構造直線ysinθ+xcosθ=0，則點C（1，1）到該直線的距離

|CD|=|1/sinθ+1/cosθ|1/sin2θ+1/cos2θ=3512sinθcosθ.

由圖4知|BF|=tanθ，|BC|=tanθ+1，

|BD|=|BC|·sinθ=sin2θ+sinθcosθcosθ.

同理可得|AD|=cos2θ+sinθcosθsinθ.

在△ABC中運用射影定理，有

|CD|2=|AD|·|BD|.

代入上式，得

（3512sinθcosθ）2=cos2θ+sinθcosθsinθ·sin2θ+sinθcosθcosθ.

整理，得

（3512sinθcosθ）2=1+2sinθcosθ，

解得sinθcosθ=1225.

以下同解法3.

評析 根據1sinθ+1cosθ=3512形式上的特點，很容易聯想到構造過定點的直線，或者運用點到直線的距離公式來尋找幾何關系解決問題.不少代數問題都有幾何背景.挖掘這些幾何特征，“以形助數”能讓問題的解決更直觀簡捷，也體現了命題人“多一點想，少一點算”的指導思想.

3 結束語

數學解題歷程是一項富有挑戰性的過程，因為艱辛，所以難忘.一題多解，不僅可以豐富學生的解題視野，增強處理數學問題的能力，同時也可以進一步構建學生已有的知識體系.以上10種解法，涉及數列、直線、多項式、函數與方程、三角形、方程組等諸多知識，用到了構造、換元等重要方法，滲透了數形結合、函數與方程等核心思想.

參考文獻：

［1］李波.立足教材探新解，優化認知提素養[J].數理化解題研究，2024（13）：25-30.

［責任編輯：李 璟］