初中數(shù)學教學中數(shù)形結合思想的運用

數(shù)學作為初中階段的核心課程，其抽象性和邏輯性往往成為學生學習的難點，而數(shù)形結合思想作為數(shù)學學科特有的思維方式如同一座橋梁巧妙地連接了抽象的數(shù)學理論與直觀的圖形世界。隨著學生認知能力的逐步提升，初中數(shù)學課程不再僅僅局限于簡單的數(shù)字運算與公式推導，而是向更深層次的概念理解和應用拓展發(fā)展，數(shù)形結合思想在其中具有不可替代的作用。

蘇科版初中數(shù)學教材將數(shù)形結合思想作為貫穿始終的重要教學理念，從基礎知識鋪墊開始逐步滲透這一思想方法，通過直觀圖形與抽象數(shù)學語言的有機結合，從引入階段的初步感受到發(fā)展階段的深入應用，再到深化階段的綜合提升，層層遞進，逐步深化學生對數(shù)形結合思想的理解和應用能力，系統(tǒng)地構建了數(shù)形結合思想的教學體系。

數(shù)形結合，顧名思義即將數(shù)學中的“數(shù)”與“形”緊密結合，通過圖形的直觀展示來闡釋抽象的數(shù)學概念或者利用數(shù)學運算來揭示圖形背后的數(shù)量關系。這種方法不僅能夠激發(fā)學生的學習興趣，還能有效降低學習難度，幫助學生構建牢固的數(shù)學知識體系。特別是在蘇科版初中數(shù)學教材中數(shù)形結合思想貫穿始終，從有理數(shù)的加減乘除到幾何圖形的性質探索無一不體現(xiàn)著這一思想。

一、在初中數(shù)學教學中應用數(shù)形結合思想的實踐思路

（一）概念教學中的直觀呈現(xiàn)

在初中數(shù)學教學中，數(shù)形結合思想在概念教學中具有顯著的優(yōu)勢，其通過圖形與數(shù)字的結合將抽象的概念直觀化，從而幫助學生更好地理解和掌握。例如，在函數(shù)概念教學中，教師就利用數(shù)形結合思想引導學生觀察石子落水所形成的一系列以落水點為圓心的同心圓波紋。學生觀察發(fā)現(xiàn)圓心位置固定但波紋的半徑在不斷向外擴展，同時覆蓋的面積也在逐漸增大。教師進一步引導學生明確這些變化中的變量半徑r（從圓心到波紋邊緣的距離）和面積S（波紋所覆蓋的區(qū)域）都在變化。接著，教師提出關鍵問題：“如果我們用S來表示面積，用r來表示半徑，那么你們認為S和r之間可能存在怎樣的關系呢？”為了幫助學生直觀地理解S和r之間的關系，教師利用數(shù)形結合的思想進行解析，首先讓學生繼續(xù)觀察湖面上的同心圓并指出：“隨著半徑r的增大，每一個新的同心圓都包含了之前所有的圓，因此面積S也在不斷增加。”然后教師在黑板上繪制出幾個不同半徑的圓，并標注出相應的面積，引導學生觀察這些圖形和標注并提問：“你們發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？”

學生通過觀察很容易就能發(fā)現(xiàn)面積S隨著半徑r的增大而增大，通過這樣的方式引出函數(shù)的概念：“這種‘一個量隨著另一個量的變化而變化’的關系正是數(shù)學中非常重要的函數(shù)概念。在這里，面積S就是半徑r的函數(shù)，我們可以記作S=f（r）。”將抽象的函數(shù)概念直觀地為學生展現(xiàn)出來，降低了學生對其的理解難度。為了進一步加深學生對函數(shù)關系的理解，教師利用教學輔助工具繪制出S關于r的函數(shù)圖象并解釋圖象上每一點所代表的含義。通過這樣的數(shù)形結合教學，學生不僅能夠直觀地看到函數(shù)關系的變化趨勢，還能深刻地理解函數(shù)的本質和重要性。

（二）解題過程中的圖形輔助

解題無疑是檢驗學生知識掌握程度與思維能力的重要方式。然而面對復雜難懂的數(shù)學問題，尤其是那些抽象難解的題目，學生往往感到力不從心，此時數(shù)形結合思想的優(yōu)勢就顯現(xiàn)出來了。首先，圖形具有直觀性，能夠幫助學生快速地把握問題的關鍵信息，揭示數(shù)學問題的內在規(guī)律，減少因理解偏差而導致的錯誤。其次，圖形能夠幫助學生將復雜的數(shù)量關系簡化為直觀的圖形關系，從而降低解題難度。最后，通過數(shù)形結合，學生可以更深入地理解數(shù)學概念和原理，提高數(shù)學素養(yǎng)和思維能力。

1.以形解數(shù)

在以形解數(shù)的教學策略中，教師巧妙地跨越了數(shù)學抽象概念與學生直觀理解之間的鴻溝，圖形的直觀性可以將復雜抽象的代數(shù)語言轉化為易于學生接受和掌握的視覺幾何直觀。圖形作為數(shù)學表達的一種重要形式，以視覺的方式直接展現(xiàn)數(shù)學對象的空間結構、位置關系及動態(tài)變化，這些往往是代數(shù)表達式難以直接傳達的。在以形解數(shù)的過程中，圖形成了一個強有力的工具，幫助學生將抽象的數(shù)學概念具象化，從而更容易被理解和記憶。

例如，在一次函數(shù)與圖象的教學中，教師以貼近學生生活的實例——“小李騎自行車上學的情景”為引子成功引入抽象的一次函數(shù)概念。教師首先通過描述小李每分鐘騎行200米前往1千米外的學校激發(fā)學生興趣并引導他們思考騎行時間與距離之間的關系，隨后引導學生將這一實際問題轉化為數(shù)學模型，即在平面直角坐標系上繪制一次函數(shù)y=-200x+1000的圖象。通過確定關鍵點（如起點和終點）、繪制直線，學生直觀地看到了時間（x）與距離（y）之間的動態(tài)變化關系。在圖象繪制完成后，學生深入觀察圖象，通過討論直線的增減性、斜率及截距等特征幫助學生理解一次函數(shù)的性質。這種直觀的教學方式讓學生深刻體會到數(shù)形結合的力量，即圖形能夠直觀展示數(shù)學關系的本質。為了進一步鞏固所學知識，教師設計了一系列實際問題，如計算小李騎行特定時間后的剩余距離或確定到達特定距離所需的時間，此時學生就可以利用已繪制的一次函數(shù)圖象迅速而準確地找到答案，體驗以形解數(shù)的便捷與高效。這一過程不僅加深了學生對一次函數(shù)概念及其性質的理解，還培養(yǎng)了他們的數(shù)學思維和解決問題的能力。

2.以數(shù)解形

以數(shù)解形是一種重要的數(shù)學解題方法，它強調通過數(shù)值計算和分析來揭示和解決圖形問題中的規(guī)律和性質。這種方法不僅幫助學生深入理解函數(shù)圖象與代數(shù)表達式之間的內在聯(lián)系，還培養(yǎng)了他們的邏輯思維和問題解決能力。

在解決一次函數(shù)問題時，學生可能會遇到形如y=kx+b（其中k為斜率，b為截距）的代數(shù)表達式。通過計算斜率k的正負，學生可以直接判斷函數(shù)圖象的增減性：當k>0時，圖象為增函數(shù)，從左至右上升（如圖1）。

當k＜0時，圖象為減函數(shù)從左至右下降，此外截距b決定了圖象與y軸的交點位置，即當x=0時，y=b（如圖2）。

這些基本的數(shù)值分析為學生繪制和理解函數(shù)圖象提供了直接依據(jù)。在解決涉及兩個一次函數(shù)圖象交點的問題時就可以利用數(shù)值計算求解圖象交點。例如，給定兩個一次函數(shù)y1=k1x+b1和y2=k2x+b2，求它們的交點坐標。由于交點處兩個函數(shù)的y值相等，學生可以將這兩個方程設置為等式來求解x和y。聯(lián)立這兩個方程，即解方程組y1=k1x+b1y2=k2x+b2，得到x和y的數(shù)值解，從而確定交點的坐標（如圖3）。

這種方法避免了直接觀察圖形可能帶來的誤差，確保結果的準確性。分析函數(shù)圖象上的特殊點，一次函數(shù)圖象上除了與坐標軸的交點外，還可能存在其他具有特殊意義的點，如最大值點（對于減函數(shù)）或最小值點（對于增函數(shù)，但一次函數(shù)在實數(shù)范圍內通常無最值）。雖然一次函數(shù)本身不直接涉及這些點，但學生可以通過計算特定條件下的函數(shù)值來間接理解這些概念。例如，在解決實際問題時可能需要找到滿足特定條件（如距離、成本等）的x值，進而通過函數(shù)表達式求出對應的y值，這些點就是函數(shù)圖象上的特殊點。

在解題過程中，學生還應將數(shù)值計算結果與圖形直觀性相結合，通過繪制函數(shù)圖象，學生可以直觀地驗證自己的計算結果是否正確，同時加深對函數(shù)性質的理解。例如，在求解交點問題后，學生可以在坐標系上標出交點坐標，觀察其是否確實位于兩個函數(shù)圖象的交點上。這種結合不僅提高了學生的解題能力，還培養(yǎng)了他們的幾何直觀和空間想象能力。

二、在初中數(shù)學教學中數(shù)形結合思想的實踐方法

（一）明確數(shù)形結合思想的重要性

數(shù)形結合思想在初中數(shù)學教學中占有重要地位，它要求學生能夠將抽象的數(shù)學概念與直觀的圖形相結合，通過圖形的輔助來理解數(shù)學問題的本質，從而提高解題能力和數(shù)學思維能力。因此，教師要在日常教學中明確數(shù)形結合思想的重要性，首要任務是深刻領悟其在數(shù)學教育中的核心價值——數(shù)形結合。它不僅是數(shù)學中的一項基本工具，更是搭建抽象概念與直觀理解、理論知識與實際應用之間不可或缺的橋梁。利用這一思想，復雜的數(shù)學問題得以簡化為直觀的圖形表達，幫助學生直擊問題核心，顯著提升解題效率與準確性。更重要的是，數(shù)形結合教學能夠激發(fā)學生的數(shù)學興趣，培養(yǎng)他們的空間想象與邏輯思維能力，促使他們學會從多角度審視問題，為創(chuàng)新思維的培養(yǎng)奠定堅實基礎。

在日常教學中，教師應積極融入數(shù)形結合思想，依據(jù)數(shù)形結合思想精心設計教學活動，讓學生親身體驗其獨特魅力，從而深刻認識到其重要性并在學習過程中自然而然地運用這一強大的思想方法。

（二）深入挖掘教材資源

蘇科版初中數(shù)學教材中蘊含著豐富的數(shù)形結合思想內容，函數(shù)部分尤為凸顯數(shù)形結合思想的精髓。因此，教師應主動挖掘這些資源，將數(shù)與形有機結合的知識點進行串聯(lián)，以便于學生更好地在教學中滲透數(shù)形結合思想。如將函數(shù)解析式與直觀圖象緊密結合，形成一個完整的、系統(tǒng)化的知識體系。

從生活中的實例出發(fā)（以形解數(shù)中提到的石子落水與同心圓）引入函數(shù)概念，讓學生初步感受“一個量隨另一個量變化”的直觀現(xiàn)象，利用坐標系繪制對應的函數(shù)圖象，讓學生直觀感受數(shù)與形的對應關系。

在講解函數(shù)性質時，結合解析式與圖象特征深化理解，利用信息技術動態(tài)演示（如幾何畫板動態(tài)展示函數(shù)圖象隨參數(shù)變化的過程），增強直觀感受。教師鼓勵學生將實際問題抽象為函數(shù)模型，通過圖象分析輔助解題，培養(yǎng)學生的圖象意識和數(shù)形結合能力。

設計探究性問題與跨學科應用，如“探索不同參數(shù)對函數(shù)圖象的影響”“設計滿足特定條件的函數(shù)模型”“經(jīng)濟學的供需關系”等，進一步激發(fā)學生的興趣和創(chuàng)新能力，使數(shù)形結合思想在函數(shù)教學中得到全面而深入的滲透。

（三）注重解題方法的指導

為了深化學生對數(shù)形結合思想的理解與應用，在教學時，教師可以采取一系列策略來引導學生畫圖解題并深入分析數(shù)與形之間的微妙關系。以函數(shù)為例，當面對一個復雜的函數(shù)問題時，教師首先鼓勵學生不急于列出數(shù)學表達式，而是先靜下心來根據(jù)題目描述畫出相應的函數(shù)圖象或草圖。

比如，在解決一個關于二次函數(shù)最值的問題時，學生可以先根據(jù)給定的二次函數(shù)表達式利用對稱軸公式和頂點坐標公式在坐標系中大致描繪出函數(shù)的圖象輪廓。這個過程不僅幫助學生直觀地理解了函數(shù)的開口方向、對稱軸位置以及頂點坐標等關鍵信息，還為他們后續(xù)列出并求解數(shù)學表達式提供了有力的支持。

在解題過程中，教師引導學生深入分析數(shù)與形之間的內在聯(lián)系，以解不等式組為例，雖然這看似與函數(shù)無直接關聯(lián)，但數(shù)軸作為數(shù)與形結合的典范工具在此處發(fā)揮了重要作用，指導學生將不等式組的每一個不等式都轉化為數(shù)軸上的一個區(qū)間，并用不同的顏色或標記來表示。隨后通過觀察這些區(qū)間在數(shù)軸上的位置關系，學生可以直觀地得出解集的交集或并集。這種將不等式轉化為圖形的方法不僅簡化了問題，還讓學生深刻體會到數(shù)與形之間相互轉化的魅力。

在函數(shù)教學中類似的應用不勝枚舉，比如，在求解函數(shù)零點或交點問題時，學生可以通過繪制函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸的交點來確定零點的位置。在探討函數(shù)增減性時，學生可以通過觀察函數(shù)圖象在不同區(qū)間的變化趨勢來得出結論。這些過程都充分展示了數(shù)形結合思想在函數(shù)教學中的重要性和實用性。

綜上所述，通過引導學生畫圖解題和深入分析數(shù)與形的關系，教師可以有效地幫助學生掌握數(shù)形結合這一重要的數(shù)學思想方法，提高他們的解題能力和數(shù)學素養(yǎng)。

（四）強化練習與反饋

為了深入鞏固學生在數(shù)形結合思想方面的理解和應用能力，我們可以設計一系列針對性的練習題并結合及時的反饋與指導機制以及學生間的互動交流來全面提升他們的學習效果。

例如，假設學校計劃在一個長方形的空地上建造一個花壇，花壇的形狀設計為拋物線型（即二次函數(shù)圖象的一部分）。已知花壇的底部寬度為8米且花壇的最高點距離地面3米，該最高點正好位于花壇底部的中點上方，學校想要知道在距離花壇底部邊緣2米處的地方花壇的高度是多少？首先建立函數(shù)模型，即假設花壇底部平行于x軸，且其中心點位于y軸的上方3米處（即y=3），花壇的底部兩端點可以視為拋物線與x軸的交點，其x坐標分別為-4米和4米（因為寬度為8米且中心對稱），由此我們可以設拋物線的頂點式為y=a（x-0）2+3，其中a是待求的系數(shù)，利用給定的點（如x+4，y=0）代入方程求解a，其次求解系數(shù)a，代入點（4，0），得y=a（x-0）2+3，得a=-，因此花壇的拋物線方程為y=-x2+3，代入x=2，得y=（米）。

（五）培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)

數(shù)形結合思想在培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)，特別是提高學生數(shù)學思維能力和激發(fā)學生學習興趣方面具有重要作用。在日常教學中，教師可以依據(jù)數(shù)形結合思想使抽象的數(shù)學概念變得直觀生動。

例如，在函數(shù)教學中教師就可以設計一系列與函數(shù)相關的探索性任務，從簡單到復雜逐步深入設計教學任務，強化動手實踐環(huán)節(jié)，并注重思維引導和啟發(fā)，即通過設立問題來引導學生思考：“為什么這個函數(shù)圖象是這樣的形狀？”“你能從圖象中看出哪些函數(shù)性質？”等激發(fā)學生的好奇心和求知欲，促使他們主動探究，鼓勵學生根據(jù)圖象進行猜想，并嘗試通過數(shù)學推導或實驗來驗證這些猜想，培養(yǎng)學生的猜想能力和驗證能力，提高他們的數(shù)學思維水平。

教師要時刻關注學生的學習情況，了解他們對數(shù)形結合思想的掌握程度以及存在的問題，針對不同學生的學習需求和能力水平提供個性化的指導和幫助，并根據(jù)學生的學習反饋和教學效果及時反思自己的教學策略和方法，根據(jù)需要進行調整和優(yōu)化，幫助學生更好地理解和掌握數(shù)形結合思想。

三、總結

數(shù)形結合思想在初中數(shù)學教學中具有不可替代的重要性，系統(tǒng)地應用數(shù)形結合思想可以幫助學生更好地理解和掌握數(shù)學概念，降低學習難度，激發(fā)學習興趣并培養(yǎng)他們的數(shù)學素養(yǎng)和思維能力。因此，教師應通過明確重要性、挖掘教材資源、解題方法指導、強化練習與反饋等方式積極融數(shù)形結合思想于日常教學中，為學生的數(shù)學學習提供有力支持，并在未來的教學中繼續(xù)深化數(shù)形結合思想的應用，探索更多創(chuàng)新教學方法以適應學生多樣化的學習需求。

（作者單位：南京師范大學附屬中學丁家莊初級中學）

編輯：溫雪蓮