知行合一視野下，初中生數學思維品質的培養途徑

數學教育的核心目標在于培養學生的數學思考能力，這種能力深刻體現在學生的思維品質上。在數學教學中，教師要樹立知行合一的理念，深刻理解不同類型的習題所蘊含的知識點，靈活選取數學思想與方法，尋找培養學生思維深刻性、嚴謹性、發散性、批判性、靈活性、創造性的方法與途徑。良好的數學思維品質，為學生的終身發展奠定了基礎。

陶行知先生認為：知是行之始，行是知之成。即懂道理是做事的基礎，做事情、有所行動，是懂道理的結果。在新的課程理念下，數學教學改革和發展的總趨勢就是培養學生的思維能力。中國科學院動物學家楊平發出質疑：“現在，我們一不缺錢，二不缺儀器設備，三不缺勤奮努力，為什么到頭來原創性成果還比不過別人？”這個問題的根源是思維能力。而數學教育的核心追求是培養并提升學生的數學思維能力。

一、變式訓練有利于思維深刻性的培養

思維的深刻性就是在解決問題時能夠深入探究問題的核心所在，以及問題間錯綜復雜的聯系。在學習中，部分學生往往對所學知識淺嘗輒止，對練習題目缺乏深度理解，僅是機械模仿，未能觸及問題的本質，導致教材中的例題和習題的條件或結論改編一下，就不會做了。為了打破這種思維的惰性，教師需要著力培養學生思維的深刻性，鼓勵學生主動思考，學會從多角度、多層次去理解和分析問題。在教學實踐中，教師可以通過變換題目的條件、結論或形式，讓學生在解決這些問題的過程中，不斷深化對知識點的理解，鍛煉其思維的靈活性和深刻性。

浙教版八年級上冊數學第9頁作業題第3題：如圖1，AD是△ABC的中線，DE⊥AC，DF⊥AB，E，F分別是垂足，已知AB=2AC，求DE與DF的長度之比。

解：∵AD是△ABC的中線

∴S△ABC＝S△ABD＋S△ACD

∴DE·AC＝DF·AB

又∵AB=2AC

∴DE=2DF

∴DE與DF的長度之比為2∶1

本習題是學了三角形中線概念后的一個練習題，而實質上是考查了小學里學過的“等底等高三角形面積相等”這個知識點。為了強化這個知識點的落實，我把此題改編為：如圖2，在△ABC中，AB＝AC，點P是BC邊上任意一點，PF⊥AB于點F，PE⊥AC于點E，BD為△ABC的高線，BD＝8，求PF＋PE的值。

因為有了上述這個習題做鋪墊，大部分學生會利用“等底等高三角形面積相等”這個知識點做出以下的解法，學生思維的深刻性得到了提高。

解：連結PA

∵S△ABC＝S△APB＋S△APC

∴AC·BD＝AB·PF＋AC·PE

又∵AB＝AC，

∴BD＝PF＋PE

∴PF＋PE＝8

因此，教師需要具備敏銳的洞察力，能夠快速識別并聚焦于解決問題的關鍵要素，有效確定解題策略。同時，教師還應鼓勵學生挖掘潛藏于每一道習題背后的普遍規律與解題方法，并將這些規律、方法提煉出來，推廣應用于解決更廣泛的一類問題。因此，變式訓練有利于培養學生思維的深刻性。

二、分類討論訓練有利于思維嚴謹性的培養

思維的嚴謹性是數學最基本的特點，表現在要求學生解題時思考縝密，問題討論全面，即對問題的討論不重復、不遺漏，要求學生的解題過程做到一步一步、有根有據地進行推理，對數學結論的敘述既要精煉又要準確。

杭州市中考數學試卷第16題（如圖3）：折疊矩形紙片ABCD時，發現可以進行如下操作：①把△ADE翻折，點A落在DC邊上的點F處，折痕為DE，點E在AB邊上；②把紙片展開并鋪平；③把△CDG翻折，點C落在直線AE上的點H處，折痕為DG，點G在BC邊上，若AB=AD+2，EH=1，則AD=（ ）。

因為將△ADE翻折后，點H可能落在點E下方，也可能落在點E上方。而試卷上的圖就是圖3，所以學生解題時很容易落下一個答案。而有的學生考慮得很全面，因為C點的對稱點H在AB上，又因為EH=1，所以點H所落位置有兩種。通過這樣的分析，答案就不會有疏漏了。

有位學生解答：設AD=x，則AB=CD=x+2。

（1）當點H在點E的下方時，在Rt△ADH中，根據勾股定理知∵DH2=AD2+AH2

∴（x+2）2=x2（x+1）2

∴x=3

（2）當點H在點E的上方時，在Rt△ADH中，根據勾股定理知∵DH2=AD2+AH2

∴（x+2）2=x2+（x-1）2

∴x=3+2

綜上所述：AD=3+2或3。

對初中生來說，其抽象思維正處于形成和發展時期，思維的嚴謹性往往不易做到，常常會出現顧此失彼、丟三落四的情況。而分類討論的訓練有利于學生養成對數學問題進行自主探索與研究的習慣。思維的嚴謹性是在犯錯誤的經歷中獲得的。因此，在教學中教師要適時地、有針對性地組織學生進行分類討論訓練，從而科學且有效地引導學生進行思維活動，也可以利用學生解題時出現的漏解進行剖析，有利于培養學生思維的嚴謹性。

三、一題多解的訓練有利于思維發散性的培養

思維的發散性是一種善于從多個維度、多個層面、多條路徑去探索問題并尋求答案的思維特質。在數學教育領域里，為了培育學生這種寶貴的思維品質，教師要強化基礎知識的教學，幫助學生構建堅實且完整的認知框架。在解題實踐中，教師鼓勵學生敏銳捕捉題目中的關鍵信息，通過對比分析、聯想拓展等策略，倡導一題多解的探索精神，同時，引入一題多變的訓練模式，讓學生在變化中尋求不變，在不變中洞察變化。

浙教版八年級上冊數學第18頁例3，求證：三角形的三個內角的和等于180°。

已知：如圖4，∠A，∠B，∠C是△ABC的三個內角。

求證：∠A+∠B+∠C=180°。

教學時，教師先讓學生剪好一個任意的三角形，為了證明三個內角的和為180°，通過已有的知識，大家都知道平角為180°。然后引導學生將三角形的三個角撕下后拼在一起，使三個角的頂點和三條邊重合，看看能否拼成一個平角？學生有了動手實踐的經驗，證明方法自然水到渠成。

學生A的證明：如圖4所示，在△ABC中，過點A引l∥BC。

∵l∥BC

∴∠B=∠1，∠C=∠2（內錯角相等）

∵∠1+∠BAC+∠2=180°

∴∠A+∠B+∠C=180°

學生B的證明：

如圖5所示，延長BC到M，過點C作CN//AB。

∵CN//AB

∴∠A=∠ACN（兩直線平行，內錯角相等）

∠B=∠NCM（兩直線平行，同位角相等）

又∵∠ACN+∠NCM+∠ACB=180°（平角180°）

∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代換）

即∠A+∠B+∠C=180°

只要將∠A，∠B，∠C這三個角拼在一起就可以了。在教學時，教師應注重引導學生探索還有哪些解法，通過比較，選擇一種適合自己又便捷的解題方法。一題多解既能充分挖掘學生的潛能，又能培養學生思維的發散性。

四、辨析題的訓練有利于思維批判性的培養

思維的批判性，其核心在于敏銳地察覺問題，勇于質疑，并具備明辨是非的能力。為了培養學生的這種思維品質，教師在教學過程中巧妙地設計一些容易引發混淆的概念，引導學生進行深入的分析與辨別，通過對比和討論，幫助他們理清思路。教師還可以設置一些看似正確實則存在謬誤的判斷，以此激發學生的探究欲，促使他們主動思考、辨別真偽。值得注意的是，學生在獨立思考的過程中，難免會出現認知上的偏差或表面化的理解。面對這些問題，教師應保持開放和包容的態度，及時給予鼓勵、引導和啟發。

杭州市中考數學試卷第17題：計算6÷（-），方方同學的計算過程：原式=6÷（-）+6÷e6a966784e04027a1100a96003c814c6= -12+18=6。請你判斷方方的計算過程是否正確，若不正確，請你寫出正確的計算過程。

點評：本題主要檢驗了學生對有理數混合運算順序的掌握情況。我們在解決這類問題時，首先遵循的是運算的優先級，即先處理括號內的表達式，隨后，根據除法的運算法則來執行除法操作，學生正確的計算過程就水到渠成了。

原式=6÷（-）

=6÷（）

=6×（-6）

=-36

在教學中，教師要提倡讓學生在實際問題中去發現問題、提出問題，要敢于對現有結論進行質疑。

五、數形結合習題的訓練有利于思維靈活性的培養

思維的靈活性就是面對事物變化時能夠迅速適應，并靈活運用已掌握的知識和經驗，以探索出解決問題的新路徑和新方法。這種品質在課堂教學中尤為重要。因為，教師過分拘泥于解題模式的講授，往往會使學生陷入一種固定的思維模式，導致他們的思維變得僵化，缺乏變通。因此，在教學中，教師應當注重培養學生思維的靈活性，鼓勵他們勇于跳出固定的框架，敢于嘗試不同的方法和思路。

山東省濟南市數學中考題：如圖6，拋物線y＝－2x2＋8x－6與x軸交于點A，B，把拋物線在x軸及其上方的部分記為C1，將C1向右平移得到C2，C2與x軸交于點B，D，若直線y＝x＋m與C1，C2共有3個不同的交點，則m的取值范圍是（ ）

A．－2＜m＜ B．－3＜m＜－

C．－3＜m＜－2 D．－3＜m＜－

數形結合作為一種極具價值的數學思維方式，近年來在中考中占據了舉足輕重的地位，頻繁成為考查的焦點。解題時，要把問題的數量關系與空間形式結合起來，或者把數量關系轉化成圖形的性質問題，或者把圖形的性質轉化成數量關系問題，學生若用數形結合的思想，這個中考題就易解了。

如圖7，A（1，0），B（3，0），D（5，0）。l2的解析式為y＝－2（x2－8x＋15）（3≤x≤5）。當直線l1與l2僅有一個公共點時，方程組y=-2（x2-8x+15）y=x+m僅有一組解。所以一元二次方程－2（x2－8x＋15）＝x＋m有兩個相等的實數根，即方程2x2－15x＋30＋m＝0的判別式為0。由此求得m＝－。當直線l2經過點B時，將（3，0）代入y＝x＋m，求得m＝－3。所以－3＜m＜－，故選D。

因此，在教學中，教師往往會用到數形結合的思想，即化抽象為直觀，化直觀為精準，從而使問題得到解決，避免復雜的計算和推理，開放題的訓練有利于思維靈活性的培養。

六、開放題的訓練有利于思維創造性的培養

思維的創造性體現了一種勇于探索未知、敢于獨辟蹊徑的精神風貌，它促使學生積極主動地發掘新事物，提出獨到的見解。這種思維品質在思考過程中勇于突破框架，不斷追求最優的解決方案。

杭州市中考數學試卷第8題：如圖8，已知點P是矩形ABCD內一點（不含邊界），設∠PAD=θ1，∠PBA=θ2，∠PCB=θ3，∠PDC=θ4，若∠APB=80°，∠CPD=50°，則（ ）

A.（θ1+θ4）-（θ2+θ3）=30°

B.（θ2+θ4）-（θ1+θ3）=40°

C.（θ1+θ2）-（θ3+θ4）=70°

D.（θ1+θ2）-（θ3+θ4）=180°

本題考查的知識點：三角形內角和定理和矩形的性質。這類題型廣泛涵蓋了多個知識點，不僅考驗學生解題技巧的靈活性，更對他們分析復雜問題和運用所學知識解決實際問題的能力提出了高標準的要求。開放題的形式有三種，即條件開放、結論開放和解題過程開放。因此在教學中，教師要重視開放性的習題訓練，使學生能進行由正及反、由此及彼、舉一反三。這類問題的練習有助于學生創造性思維的培養。

數學思維中的多個關鍵品質是相互依存、相互促進的，它們共同構成了學生思維能力提升的基石。其中，嚴謹性和發散性作為思維訓練的基礎，而深刻性和批判性則是對這一過程的深化。在批判性思維的驅動下，思維的靈活性得以展現，它允許學生在面對復雜問題時靈活調整策略，尋找最佳路徑。最終，思維的創造性作為這些品質融合與升華的結晶，代表了數學思維的高級階段，引領學生在數學領域不斷突破，追求卓越。

楊振寧先生曾深刻指出，一個學生的卓越之處，并非僅僅體現在其優異的學業成績上，更為關鍵的是他們擁有非凡的思維方式。弗賴登塔爾則生動地比喻數學學習為一種實踐活動，強調這種學習如同學習游泳或騎自行車，單憑書本知識、教師講解或旁觀他人操作是遠遠不夠的，必須親自參與其中，通過實踐來掌握?，F代數學教育理論普遍認同，數學能力是個體順利完成各類數學活動不可或缺的基石，它是在數學活動過程中形成和發展起來的。數學能力有強弱之分，這種區分主要是通過數學思維品質來確定的。因此在數學教學中，教師應發揚教學民主，科學組織課堂教學，讓學生通過形式多樣化的數學活動，強化不同類型的習題訓練，不斷提高學生的思維品質。

（作者單位：杭州市余杭區仁和中學）

編輯：溫雪蓮