核心素養(yǎng)背景下基于“符號(hào)意識(shí)”培養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)探索

［摘 要］ 文章以“用字母表示數(shù)”的教學(xué)為例，分別從“回顧舊知，初步感知符號(hào)”“滲透數(shù)學(xué)文化，提升符號(hào)意識(shí)”“解決實(shí)際問(wèn)題，增強(qiáng)符號(hào)意識(shí)”三個(gè)方面開展教學(xué)分析與思考，讓學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)符號(hào)的內(nèi)涵。

［關(guān)鍵詞］ 符號(hào)意識(shí)；教學(xué)；字母表示數(shù)

符號(hào)被廣泛地應(yīng)用于表示數(shù)學(xué)概念、定理，是表達(dá)數(shù)學(xué)知識(shí)、進(jìn)行數(shù)學(xué)邏輯推理與運(yùn)算的工具。實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，核心素養(yǎng)背景下培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，對(duì)提升和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理能力與運(yùn)算素養(yǎng)具有重要價(jià)值。“用字母表示數(shù)”屬于典型的符號(hào)應(yīng)用，教師引導(dǎo)學(xué)生感知符號(hào)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，對(duì)提升學(xué)生學(xué)力具有深遠(yuǎn)的意義。

一、教學(xué)簡(jiǎn)錄

1. 回顧舊知，初步感知符號(hào)

師：在日常生活中我們常常遇到用字母表示的事物，誰(shuí)來(lái)舉例說(shuō)一說(shuō)？

一石激起千層浪，學(xué)生的回答異常豐富，如麥當(dāng)勞的M，肯德基的KFC等。從實(shí)例出發(fā)，教師引導(dǎo)學(xué)生理解這些字母是對(duì)事物的縮寫，這種字母縮寫廣泛應(yīng)用在數(shù)學(xué)學(xué)科中，如厘米用cm表示，米用m表示。

師：字母縮寫有什么作用？

生1：讓事物變得更加便捷、醒目、清晰。

師：不錯(cuò)，這種字母符號(hào)傳遞了一種數(shù)學(xué)美。我們生活中到處都存在繁與簡(jiǎn)的問(wèn)題，字母縮寫就是化繁為簡(jiǎn)的過(guò)程。現(xiàn)在請(qǐng)大家回顧一下所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)中，用字母表示數(shù)的知識(shí)有哪些？

生2：如用AB表示一條線段，用OB表示一根射線，用△ABC表示一個(gè)三角形等。

生3：還可以用字母來(lái)表示一些計(jì)算公式，如a×b=b×a表示乘法交換律。

師：不錯(cuò)，現(xiàn)在我們就借助a×b=b×a來(lái)探索，哪位同學(xué)用文字來(lái)描述一下乘法交換律？比較文字語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言，說(shuō)說(shuō)你的發(fā)現(xiàn)。

生4：（文字語(yǔ)言描述略）從兩種不同的描述中發(fā)現(xiàn)字母a、b分別表示無(wú)數(shù)個(gè)數(shù)。

師：如果分別給字母a、b賦予明確的值，可寫出多少個(gè)等式？

學(xué)生自主書寫，如2×3=3×2，3×5=5×3……可寫出來(lái)的等式有無(wú)數(shù)個(gè)。

師：寫出來(lái)的等式如2×3=3×2與a×b=b×a的區(qū)別是什么？

生5：前一個(gè)式子明確表達(dá)兩個(gè)數(shù)交換位置后相乘，后一個(gè)式子中的字母表示任意兩個(gè)數(shù)交換位置后相乘。字母代表的公式具有廣泛性特征，兩者的共同點(diǎn)在于等號(hào)左右的積是一樣的。

師：不錯(cuò)，由此我們可以確定式子2×3=3×2與式子a×b=b×a之間的關(guān)系為特殊與一般的關(guān)系。根據(jù)這種關(guān)系可以發(fā)現(xiàn)字母表示數(shù)存在哪些優(yōu)點(diǎn)？

生6：用字母表示數(shù)，就有把無(wú)數(shù)個(gè)數(shù)打包在一起的感覺(jué)，提取更方便。

生7：字母表示的式子能代表大量具體數(shù)字的等式，由此可見該式具備一般性特征。

生8：這就像咱們班所有學(xué)生是五（3）班的學(xué)生一樣，更加簡(jiǎn)便、實(shí)用。

生9：我認(rèn)為這些字母起到一個(gè)總概括的作用。

師：大家說(shuō)得都有道理。事實(shí)上，這不僅是一種總概括，更具備“符號(hào)簡(jiǎn)單，道理深刻”的作用，屬于一種別樣的數(shù)學(xué)美。現(xiàn)在我們一起來(lái)思考：長(zhǎng)方形的面積公式用字母怎么表示呢？

生10：需要將明確的數(shù)據(jù)更換成字母，借助字母所表達(dá)的長(zhǎng)方形面積可稱為“公式”。如a、b、S分別表示長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬與面積，那么S=a·b為長(zhǎng)方形的面積公式。

師：可否將長(zhǎng)方形的面積公式表達(dá)為☆=○×□，其中☆、○、□分別表示長(zhǎng)方形的面積、長(zhǎng)與寬呢？

生11：看起來(lái)也行，但感覺(jué)還是用字母來(lái)表示更簡(jiǎn)捷、合理一些。

師：不錯(cuò)，用S=a·b來(lái)表示長(zhǎng)方形面積公式，更清晰、簡(jiǎn)捷，這是一種通用性的表示方法，具有普遍意義。

師生共同小結(jié)：用字母表示數(shù)體現(xiàn)了特殊到一般的思想，將可替代的數(shù)用字母來(lái)描述是揭示公式或規(guī)律的過(guò)程，這是“代數(shù)”內(nèi)容。應(yīng)用一些符號(hào)（包含字母）來(lái)替代數(shù)，讓一些數(shù)學(xué)公式、定理等變得更容易理解與掌握。

師：通過(guò)以上探索，誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)自己的收獲？

生12：我學(xué)會(huì)了怎樣用字母來(lái)表示數(shù)。

生13：我掌握了數(shù)學(xué)符號(hào)的表示方法。

師：數(shù)學(xué)研究者習(xí)慣把問(wèn)題中的數(shù)用字母來(lái)表示，在我們漫長(zhǎng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生涯中，將遇到很多用字母表示數(shù)的情況。

設(shè)計(jì)意圖：課前，學(xué)生或多或少接觸過(guò)一些字母表示數(shù)的情況，這就為學(xué)生的學(xué)習(xí)奠定了一定的基礎(chǔ)。教師從學(xué)情出發(fā)，以回顧舊知的方式激發(fā)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，讓學(xué)生在特殊與一般的轉(zhuǎn)化背景下充分體驗(yàn)符號(hào)的概括性，感知符號(hào)在數(shù)學(xué)學(xué)科中的重要性與實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，為樹立良好的符號(hào)意識(shí)夯實(shí)基礎(chǔ)。此環(huán)節(jié)教師以學(xué)生的認(rèn)知作為起點(diǎn)開展交流，促使符號(hào)意識(shí)植根于學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，為優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)作鋪墊。

2. 滲透數(shù)學(xué)文化，提升符號(hào)意識(shí)

師：歷史上什么時(shí)期出現(xiàn)了用字母表示數(shù)？為什么想到用這種方法？請(qǐng)大家觀看用字母表示數(shù)的歷史。

（微視頻展示）

第一次飛躍：歷史上最早出現(xiàn)類似于一只羊、兩個(gè)人等具體的數(shù)量，用“量”表示。隨著人類文明的進(jìn)步，由“量”抽象出相應(yīng)的“數(shù)”，類似于1、2、3等。“量”具有具體性，而“數(shù)”則具有抽象性。

第二次飛躍：抽象而來(lái)的“數(shù)”不能滿足人們?nèi)找嬖鲩L(zhǎng)的生活需求，如本節(jié)課所探索的乘法交換律就無(wú)法用幾個(gè)數(shù)來(lái)表達(dá)，由此促成了第二次抽象——用字母表示數(shù)。

師：歷史告訴我們，數(shù)學(xué)符號(hào)的普及需要經(jīng)歷一個(gè)漫長(zhǎng)且艱難的過(guò)程，需要經(jīng)過(guò)歲月的洗禮與改良，這是人類智慧的表現(xiàn)，每一個(gè)數(shù)學(xué)公式或符號(hào)都凝聚著數(shù)學(xué)家的精神。

設(shè)計(jì)意圖：隨著信息技術(shù)的發(fā)展，微視頻在課堂中的應(yīng)用已經(jīng)廣泛普及。教師將關(guān)于用字母表示數(shù)的史料借助微視頻的方式展示，不僅提高了教學(xué)效率，還有效激發(fā)了學(xué)生的興趣，讓課堂充滿文化底蘊(yùn)，使學(xué)生從中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化，發(fā)展核心素養(yǎng)。學(xué)生充分感知生活實(shí)際的需要催生用字母表示數(shù)，由此明確本節(jié)課知識(shí)的必要性與重要性，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力。

3. 解決實(shí)際問(wèn)題，增強(qiáng)符號(hào)意識(shí)

問(wèn)題：小明在1歲時(shí)，他的媽媽的年齡是31，根據(jù)實(shí)際情況填寫表1，用式子表示。

學(xué)生很快填寫完成這張表格，然后教師要求學(xué)生用一個(gè)簡(jiǎn)單的式子來(lái)表示小明媽媽在小明任意年齡的具體年齡。

基于乘法交換率的啟發(fā)，大部分學(xué)生都想到用字母來(lái)表示小明的年齡，由此獲得小明媽媽年齡的式子，如a+30，n+30，x+30等。

師：為什么會(huì)想到用不同的字母來(lái)表示小明的年齡？

生14：因?yàn)槔靡粋€(gè)字母可表示小明的任意年齡，這樣就能便捷地描述小明媽媽的年齡，如果用具體的數(shù)來(lái)描述非常煩瑣。

師：非常好！用n+30與用21+30來(lái)表示小明媽媽的年齡的區(qū)別在哪里？

生15：21+30需計(jì)算出明確的結(jié)論，只能表示一個(gè)年齡；而n+30本身就屬于結(jié)論，可表示很多個(gè)年齡。

師：很好，如果從運(yùn)算的角度來(lái)分析，從中能發(fā)現(xiàn)什么特別的地方嗎？

生16：字母一方面代表了數(shù)，另一方面還能與數(shù)進(jìn)行運(yùn)算。正因?yàn)樽帜妇邆溥\(yùn)算功能，由此可獲得數(shù)學(xué)符號(hào)所表達(dá)的式子。

師：總結(jié)得很到位，關(guān)于小明媽媽的年齡為n+30這個(gè)結(jié)論，其中n有范圍嗎？n的取值可以為300嗎？

在這個(gè)問(wèn)題的提醒下，學(xué)生很快意識(shí)到用字母表示數(shù)，字母會(huì)因?yàn)楸硎镜膬?nèi)容不一樣，取值范圍也有區(qū)別。通過(guò)對(duì)表1的觀察與思考，學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)小明的年齡越大，他的媽媽的年齡也隨之增大，即媽媽的年齡隨著小明年齡的增加而增加。

隨著年齡問(wèn)題的解決，教師引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探索新的問(wèn)題：如表2所示，貨船以36km/h的速度由甲地開往乙地，請(qǐng)將表格填寫完整。

學(xué)生正確填寫表格，并學(xué)會(huì)用含有字母的式子來(lái)表示相應(yīng)的數(shù)。教師引導(dǎo)學(xué)生明確用字母表示數(shù)屬于一種規(guī)范的系統(tǒng)，具有一定的約定性與形式性。為了增強(qiáng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，筆者提出新的問(wèn)題。

問(wèn)題1：以上路程問(wèn)題中什么條件是變化的，什么條件是恒定不變的？

學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上開展合作交流，明確路程是變化的，貨船所行駛的速度是恒定不變的。由此引出常量與變量的定義，讓學(xué)生明確字母可用來(lái)分別表示常量與變量。

問(wèn)題2：分析以上兩個(gè)問(wèn)題中n+30與36t的特點(diǎn)。

學(xué)生一致表示這兩個(gè)式子都是由“字母符號(hào)、運(yùn)算符號(hào)以及數(shù)字”三者構(gòu)成的數(shù)學(xué)式子。這種含有字母的式子具有簡(jiǎn)潔明了的特點(diǎn)，如果這兩個(gè)問(wèn)題用文字語(yǔ)言描述會(huì)非常煩瑣。

師：小明和媽媽年齡關(guān)系問(wèn)題中，存在什么隱含的數(shù)量關(guān)系嗎？

生16：隱含信息為“媽媽年齡=小明年齡+30”，簡(jiǎn)而言之就是n+30，由此看出用字母來(lái)表示其中的數(shù)量關(guān)系更簡(jiǎn)潔明了，這屬于化繁為簡(jiǎn)的過(guò)程。

師：綜上，用含有字母的式子來(lái)描述問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，會(huì)讓問(wèn)題變得更加簡(jiǎn)單。同時(shí)，字母除了表示數(shù)之外，還能與數(shù)同時(shí)參與到運(yùn)算中來(lái)，此為符號(hào)重要作用之一，也彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科特色。事實(shí)證明，符號(hào)的應(yīng)用是進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)與思考的主要形式之一。

設(shè)計(jì)意圖：以上問(wèn)題意在發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，讓學(xué)生在實(shí)際問(wèn)題的解決中深刻感知用字母表示數(shù)的實(shí)際價(jià)值，體會(huì)符號(hào)是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、計(jì)算的重要工具。事實(shí)上，用字母表示數(shù)的價(jià)值還體現(xiàn)在可與數(shù)一起運(yùn)算上，這是促進(jìn)學(xué)生符號(hào)意識(shí)發(fā)展的關(guān)鍵。

二、幾點(diǎn)思考

1. 關(guān)注符號(hào)背景，滲透數(shù)學(xué)文化

教材將數(shù)學(xué)符號(hào)直接展示給學(xué)生，教師應(yīng)具有符號(hào)意識(shí)，否則無(wú)法向?qū)W生滲透符號(hào)意識(shí)。每一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)都有它的歷史背景與深刻意義，教師要引導(dǎo)學(xué)生感知符號(hào)的內(nèi)涵與深意。

本節(jié)課，教師在課前就搜集并整理了符號(hào)相關(guān)的史料，課堂上借助微視頻的方式向?qū)W生展示相關(guān)內(nèi)容，一方面成功激起學(xué)生的興趣，另一方面讓學(xué)生做到“知其然且知其所以然”，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

2. 注重應(yīng)用探索，培育符號(hào)意識(shí)

數(shù)學(xué)符號(hào)的形成與發(fā)展都源自生活實(shí)際的需要，教師借助生活實(shí)際問(wèn)題引發(fā)學(xué)生的探索，不僅能增強(qiáng)課堂教學(xué)效果，還能發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。學(xué)生在“化繁為簡(jiǎn)”的基礎(chǔ)上用“普適性”的符號(hào)描述一些數(shù)學(xué)數(shù)量或運(yùn)算，讓原本復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。本節(jié)課，教師借助年齡問(wèn)題與路程問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生開展探索，促使學(xué)生自主萌生用符號(hào)解決問(wèn)題的想法，由此提高教學(xué)成效。

總之，學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的發(fā)展離不開生活實(shí)際的驅(qū)動(dòng)。因此，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平，引導(dǎo)學(xué)生基于生活實(shí)際感知符號(hào)應(yīng)用的廣泛性與便捷性，從而自主產(chǎn)生良好的符號(hào)意識(shí)，提高解題能力，發(fā)展核心素養(yǎng)。