抓“數的身份”學定律本質，助推學生運算能力提升

［摘 要］ 運算律是培養學生運算能力的一個重要環節。研究者通過緊抓“數的身份”，讓學生學習有整體的交換律；辨析“數的身份”，讓學生學習講道理的交換律；顯化“數的身份”，讓學生學習可視化的交換律，最終助推學生運算能力的提升。

［關鍵詞］ 數的身份；運算律；運算能力

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：數的運算重點在于理解算理、掌握算法，……經歷算理和算法的探索過程，……感悟數的運算以及運算之間的關系，體會數的運算本質上的一致性，形成運算能力，運算律是理解算理、掌握算法的重要依據。

然而，學生對數在各種算式中的名稱（以下簡稱“數的身份”）以及運算律的掌握不理想，究其原因，筆者認為運算律的教學中存在一些問題：一是內容分散，教材將交換律按運算方法分散編排在加法與乘法運算中，使學生對交換律的理解缺乏整體感受；二是算理不清晰，在教學時部分教師只是注重交換律的提煉，忽略了對其進行算理探究，使得學生不知道兩個數可以交換位置的算理，也不知道怎樣的兩個數才可以交換位置，讓學生在后續的練習中無法對算式進行正確轉換。為計算簡便，部分學生主觀地、隨意地改變數的位置，將不能合并的兩個數進行湊整，導致做錯題目（如圖1）；三是學練不匹配，教材提供的例題只涉及典型題，而學生在做題時要面對各式各樣的變式題，因此他們無法將課堂上學到的模型遷移、轉化到各種變式練習中，使得學習到的類型與做題的類型嚴重不匹配（表1）。上述問題導致學生對運算律的理解不深入，思維結構混亂。

一、緊抓“數的身份”，讓學生學習有整體的交換律

從教材中的練習和學生后續的練習中可以看出，學生僅在加法與乘法中學習兩種常規類型的交換律遠遠不夠。從后測數據中能看出，學生能將所學的常規交換律類型遷移應用到其他變式中的寥寥無幾。通過十多年的實踐，筆者認為不能將交換律教學局限在加法與乘法運算中，應該對交換律的應用環境進行全盤梳理，提煉出能應用交換律的各類題型，讓學生知曉和理解交換律在各種運算中的具體表現，進而通過對比提煉出交換律的內在本質。

1. 緊抓“數的身份”，在連減連除中發現交換律

在進行交換律教學時，教師可以先將加法交換律與乘法交換律合并在一起來認識交換律現象與概念；然后，利用交換律對連加、連乘算式進行各種變式練習，體驗交換律的初步應用；最后，由連加、連乘延伸到連減、連除，讓學生發現在連減、連除運算中存在交換律。

教學片段：探索減法與除法中的交換律

在學習加法交換律后，學生通過探究活動，發現乘法中也有交換律，減法和除法不適用交換律。

（1）探索連加、連乘算式中的交換律

①在連加算式中學習交換律。

出示連加算式：27+35+73。

師：你們能利用交換律交換它們的位置嗎？有幾種方法？

②學生舉例驗證，得出連加算式交換律的字母式。

三個數連加：a+b+c=a+c+b=b+a+c=b+c+a=c+a+b=c+b+a。

③學習連乘算式中的交換律。

三個數連乘：a×b×c=a×c×b=b×a×b=b×c×a=c×a×b=c×b×a。

（2）發現連減、連除中的交換律

①探索連減中的交換律。

師：在連減或連除算式中有交換律嗎？你們能通過舉例來說明嗎？

生1：我通過舉例發現在三個數連減的減法算式中有交換律。我的例子是：9-4-3=2，9-3-4=2，所以9-4-3=9-3-4。

師：我們剛才的結論是減法沒有交換律，生1說減法中有交換律，并舉了例子，大家怎么看？

生2：算式中3和4的身份都是減數，根據我們剛才的發現，身份相同的兩個數可以交換位置。

生3：剛才我們研究的減法算式只有兩個數，兩個數的身份不同，不能交換位置；連減算式至少是三個數，算式后兩個數的身份相同，身份相同可以交換位置，我們就可以交換4和3的位置。

生4：第一個數的身份是被減數，算式中沒有其他數的身份與它相同，所以它得在原位不動；第二個數與第三個數的身份相同，因此它們兩個數的位置可以交換。

生5：在兩個數的減法算式中沒有交換律，在三個或三個數以上的減法算式中有交換律。

生6：我覺得生1的發現是對的。還可以這樣想，我一共有9元錢，買鋼筆花去4元，買鉛筆花去3元，在付錢的時候可以先付鋼筆的錢再付鉛筆的錢，也可以先付鉛筆的錢再付鋼筆的錢，即：9-4-3=9-3-4。

②總結連減算式中的交換律。

③學習除法交換律。

2. 緊抓“數的身份”，在減除性質中發現交換律

人教版教材將“五大定律”“二大性質”統一到加法與乘法兩大運算中，淡化了減法性質與除法性質的教學。在處理這部分教材時，部分教師將其單獨拎出來教學（因為很重要）；部分教師將這塊內容當成多樣化解法來處理。筆者認為可以按運算律來推進（如表2），將性質部分內容（a-b-c=a-c-b）歸并到交換律中，讓學生在連減、連除中發現交換律，使交換律內容更豐富，進而讓學生對交換律的體驗更深刻。

3. 緊抓“數的身份”，在同級運算中發現交換律

根據多年的教學實踐，筆者認為交換律不僅存在于加法與乘法運算中，在連加、連減、連乘、連除、加減、乘除等運算中同樣存在交換律。在課堂教學時，教師要對交換律的內容進行調整、擴展、完善與填充（如表3），讓學生在各種運算中嘗試與應用交換律，體會交換律在各種運算中的存在情況，最終通過對比數位置變化后的身份，提煉出交換律的內在本質和應用環境，學習有整體的交換律。

二、辨析“數的身份”，讓學生學習講道理的交換律

在學完交換律之后，部分學生雖然會做題，但不明白算式中這些數的位置為什么可以交換、具備什么條件的兩個數可以交換位置以及在什么運算中可以使用交換律。這說明學生在學習交換律時只是學到了交換律外在的“形”——數據位置的交換，沒有學到交換律內在的“神”——這些數據能這樣移動的本質原因。

“數的身份”強調數在各種運算中的角色，“數的身份”決定算式中哪些數可以交換位置而不會改變結果，“數的身份”為學生理解交換律的本質提供了依據。因此，教師可以依托四則運算中“數的身份”引導學生解決學習交換律時遇到的問題。

1. 兩個數為什么可以交換位置

在教學交換律時，教師通過舉例讓學生發現交換加法中兩個數的位置進行計算，結果不變。學生雖然看到兩個數交換了位置，但是并不明白這兩個數為什么可以交換位置。教師要引導學生給算式中每個數附上身份，讓學生理解兩個數的位置雖然發生了變化，但“數的身份”并沒有發生變化。這是學生理解交換律的前提，也是交換律的內在本質：交換兩個數的位置時，要確保這兩個數的身份沒有發生變化。

2. 怎樣的兩個數可以交換位置

當學生明白了交換律的前提后，教師要進一步幫助學生去探索怎樣的兩個數可以交換位置。教師以“數的身份”為抓手，通過交換兩個數的位置，辨析它的身份有沒有發生變化，從而明白身份相同的兩個數可以交換位置。比如：a-b-c=a-c-b中b和c的身份都是減數，交換它們的位置后，b和c的身份保持不變。加數與減數可以交換位置，因數與除數也可以交換位置。比如，a+b-c=a-c+b，在原有算式中b和c的身份雖然不同，但在交換它們兩者的位置之后，b仍然是加數，c也還是減數，沒有改變這兩個數原有的身份，這樣的兩個數也可以交換位置。

教學片段：探索身份相同的兩個數可以交換位置

師：怎樣的兩個數可以交換位置？

生1：我覺得要交換兩個數的位置首先要考慮這兩個數的身份。

生2：在加法算式中交換兩個數的位置，這兩個數的身份還是加數。因此，我認為相同身份的兩個數才可以交換位置。

生3：加法中有交換律是因為交換兩個數的位置，這兩個數的身份并沒有發生改變。因此，我覺得交換位置后數的身份不發生變化，這樣的兩個數就可以交換位置。

生4：我懂了，在減法中沒有交換律是因為交換兩個數的位置后，這兩個數的身份變了。

生5：我明白了只有身份相同的兩個數才可以交換它們的位置。當兩個數的身份不相同時它們的位置是不能交換的。

師（小結）：加法算式和乘法算式中的兩個數能交換位置，是因為這兩個數的身份相同。因此，身份相同的兩個數能交換它們的位置。

3. 什么樣的算式存在著交換律

在兩個數的運算中只有加法算式和乘法算式存在交換律，將算式拓展到三個數時，在連加、連減、連乘、連除等運算中都存在交換律（如表4）。三個數的運算一共有16種運算方式（沒有括號），教師要繼續引導學生探討在剩下的12種運算中是否還存在交換律。

三、顯化“數的身份”，讓學生學習可視化的交換律

1. 學習時顯化“數的身份”，了解學生學習交換律的進程

在學習交換律時，教師要求學生將“數的身份”寫出來，這樣既可以讓學生明白每個數在各個算式中的身份，又為后續利用交換律交換算式中的數提供了直觀的依據。通過顯化“數的身份”，教師可以清楚地看到每個學生學習交換律的進程。

2. 做題時顯化“數的身份”，清楚學生掌握交換律的水平

在做題時，教師要求學生寫出算式中每個數的身份（如圖2），不僅為后續的做題提供了依據，而且檢查了學生對交換律的掌握情況，使學生不用他人評價就能知道自己對交換律的掌握程度。

3. 訂正時顯化“數的身份”，拉長學生學習交換律的周期

訂正錯題時，教師要引導學生先寫出“數的身份”，讓“數的身份”成為對題目中數據位置變化的抓手，并通過“數的身份”的書寫讓學生建立正確的思維秩序。教師要引導學生在做題時關注算式中每個數的身份，“數的身份”顯化了，才能真正突破學生的思維盲區，讓學生經歷從不會到會的過程。

經過多年的教學實踐，筆者欣喜地發現，學生以“數的身份”為切入點學習交換律，對交換律的理解會更加完整和深入。通過細致辨析“數的身份”，學生能夠洞察交換律的內在本質。教師借助“數的身份”這一有力抓手，讓學生的學習和訂正過程變得有章可循；通過凸顯“數的身份”，使學習內容更加模塊化，為學生學會學習提供了有效的載體；遷移“數的身份”的概念，為學生后續學習結合律等數學概念作鋪墊，使學生能夠順利實現知識的遷移與應用。總之，教師以“數的身份”為抓手引導學生學習交換律，不僅能提升學習效果，也能為發展學生數學素養奠定堅實的基礎。