“為深刻理解而教”的內(nèi)涵、價值與教學(xué)路徑重構(gòu)

［摘 要］ 數(shù)學(xué)深刻理解涉及深層次的認(rèn)知過程和知識應(yīng)用，指向結(jié)構(gòu)化理解以及更高的文化感悟與理解，具有真實性、可視化、可遷移、自調(diào)控等特征。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以通過關(guān)注情境、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)、有效遷移、充分反省、注重評價等教學(xué)路徑讓學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)內(nèi)容。

［關(guān)鍵詞］ 小學(xué)數(shù)學(xué)；深刻理解；情境；結(jié)構(gòu)；遷移

當(dāng)下，數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域涌現(xiàn)許多有研究價值的理念，如“深度學(xué)習(xí)”“學(xué)為中心”“結(jié)構(gòu)化教學(xué)”等，這些教育教學(xué)理念都和“深刻理解”有緊密的聯(lián)系。深刻理解的核心就是教師要為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展提供支點，支持學(xué)生進(jìn)行和諧、個性、快樂、有意義的學(xué)習(xí)。“數(shù)學(xué)深刻理解”的本質(zhì)是一個涉及知識獲取、應(yīng)用和深層次認(rèn)知過程的復(fù)雜現(xiàn)象，它不僅包括對數(shù)學(xué)事實、概念、原理和方法的理解，還涉及對數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)思想方法的探索和認(rèn)識。數(shù)學(xué)理解的過程是多層次、多維度的，學(xué)生需要通過不斷實踐和反思來深化與拓展。學(xué)生只有深刻理解學(xué)習(xí)內(nèi)容，才能掌握數(shù)學(xué)思想方法和提升解決問題的能力。“深刻理解”更加關(guān)注培養(yǎng)學(xué)生的理性精神和思維品質(zhì)，為數(shù)學(xué)教育教學(xué)提供一種全新的視角。

一、“數(shù)學(xué)深刻理解”的內(nèi)涵與特征剖析

1. 相關(guān)概念的解析

（1）“理解”的內(nèi)涵

在厘清什么是“數(shù)學(xué)深刻理解”之前要思考什么是“理解”。“理解”是一個多維度的通識概念，涉及心理學(xué)、教育學(xué)、哲學(xué)等多個領(lǐng)域。從心理學(xué)的角度來看，“理解”被看作是一種心理活動的過程，涉及對言語和行動意義的理解［１］；從教育學(xué)的角度看，“理解”是學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)和知識意義的建構(gòu)，它不僅指向?qū)W習(xí)結(jié)果，更是一種處于不斷迭代、發(fā)展的過程。有人將理解劃分為不同的層次，如了解、領(lǐng)會、掌握、熟練運(yùn)用等，認(rèn)為是否能進(jìn)行“遷移”是理解的表征。無論如何，“理解”要以可視化的表現(xiàn)作為評定標(biāo)準(zhǔn)。“理解”既有助于學(xué)生完善已有的知識結(jié)構(gòu)、認(rèn)知結(jié)構(gòu)、方法結(jié)構(gòu)和思維結(jié)構(gòu)，又便于建構(gòu)、同化新的學(xué)習(xí)對象，這是一個雙向促進(jìn)的良性循環(huán)的學(xué)習(xí)過程。

（2）“數(shù)學(xué)理解”的內(nèi)涵

“數(shù)學(xué)理解”的內(nèi)涵涉及知識的建構(gòu)、應(yīng)用和創(chuàng)新，它不僅是對數(shù)學(xué)知識的記憶和重復(fù)，更是一種深層次的認(rèn)知活動，涉及認(rèn)知過程與結(jié)果的相互融合。“數(shù)學(xué)理解”以數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)絡(luò)化和豐富聯(lián)系為本質(zhì)，以生成性和發(fā)展性為特征，以重新組織為形成機(jī)制，以自主活動為形成條件［２］。“數(shù)學(xué)理解”是一個不斷調(diào)整、分層次、非線性發(fā)展的過程，建立在學(xué)生已有的知識結(jié)構(gòu)和認(rèn)識結(jié)構(gòu)之上，學(xué)生將新獲取的外部信息主動與已有信息進(jìn)行不斷交互，從而形成構(gòu)建新知、獲取新經(jīng)驗的認(rèn)知活動。

“數(shù)學(xué)理解”包括對數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則等方面的全面性把握。數(shù)學(xué)概念具有抽象性，這是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征之一，這種抽象性不僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)概念的形成過程中，也體現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識的構(gòu)建和應(yīng)用中。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生站在結(jié)構(gòu)化、整體化、系統(tǒng)化的視角去構(gòu)建知識體系。這涉及數(shù)學(xué)理解過程的多樣性、抽象性、系統(tǒng)性，這種理解不僅是對數(shù)學(xué)符號的記憶，而且能夠深入數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，把握其內(nèi)在邏輯和應(yīng)用范圍。“數(shù)學(xué)理解”的多樣性不僅包括對數(shù)學(xué)概念、知識和技能的不同層次的理解，還包括教學(xué)方法和策略的多樣化，以及經(jīng)驗性理解、概念性理解和操作性理解。

（3）“數(shù)學(xué)深刻理解”的內(nèi)涵

事實上，“數(shù)學(xué)理解”涉及知識的層次性，包括零層次、常識性層次、邏輯性層次、觀念性層次等［３］。這些層次反映了數(shù)學(xué)理解的不同深度和廣度，從直觀理解到抽象理解，再到創(chuàng)新性理解，每個層次都要求學(xué)生在前一個層次的基礎(chǔ)上進(jìn)行深化和拓展。如圖1，理解性學(xué)習(xí)具有明顯的層級特征［４］。

數(shù)學(xué)課堂追求的是“深刻理解”。“數(shù)學(xué)深刻理解”是在淺層次理解的基礎(chǔ)上進(jìn)一步深化，它已經(jīng)超越了經(jīng)驗性理解和形式化理解。“數(shù)學(xué)深刻理解”涉及更深層次的認(rèn)知過程和知識應(yīng)用，指向結(jié)構(gòu)化理解以及更高的文化感悟與理解。“數(shù)學(xué)深刻理解”是學(xué)生在對數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則的接收、處理和記憶的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷橫向數(shù)學(xué)化與縱向數(shù)學(xué)化的過程，完成知識之間關(guān)聯(lián)的構(gòu)建以及跨學(xué)科的學(xué)習(xí)，這種全方位的學(xué)習(xí)過程有助于學(xué)生構(gòu)建更加全面和系統(tǒng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。因此，“數(shù)學(xué)深刻理解”是指學(xué)生在真實情境中通過問題解決體現(xiàn)知識網(wǎng)絡(luò)的社會建構(gòu)性、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)性和主體參與性，進(jìn)而形成批判性思考和創(chuàng)造性應(yīng)用［５］。數(shù)學(xué)不是一門靜態(tài)的學(xué)科，它的應(yīng)用是動態(tài)變化的。“深刻理解”的達(dá)成有助于學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去解決復(fù)雜情境中的實際問題，讓學(xué)生借助實踐和應(yīng)用進(jìn)一步加深對數(shù)學(xué)概念的理解。

2. “數(shù)學(xué)深刻理解”的特征

（1）真實性——以“真實情境”喚醒已有經(jīng)驗

“數(shù)學(xué)深刻理解”的特征之一是具備真實性的問題情境，“真實性”是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵要素之一。在實際教學(xué)情境中，部分學(xué)生只是在某個單元學(xué)習(xí)過程中才能學(xué)會相對應(yīng)的知識，一旦跳出單元或者學(xué)科的框架，這些知識則難以被激活，像這樣的知識被稱為“惰性知識”。“深刻理解”強(qiáng)調(diào)真實情境，是為了喚醒學(xué)生的“惰性知識”。教師通過開放性問題或情境模擬，讓學(xué)生在解決問題的過程中深入探索、理解和應(yīng)用知識點，引發(fā)學(xué)生對已有知識和新知識之間的關(guān)系進(jìn)行思考，從而促進(jìn)“深刻理解”的發(fā)生。“數(shù)學(xué)深刻理解”意味著學(xué)生能夠靈活運(yùn)用相關(guān)知識和活動經(jīng)驗、生活經(jīng)驗進(jìn)行遷移和應(yīng)用，“深刻理解”不僅是“知”，還要能“做”，“知行合一”才是真正的理解。

（2）可視化——以“認(rèn)知圖式”作為心理依托

學(xué)生在學(xué)習(xí)一個新的數(shù)學(xué)概念時，需要調(diào)動相關(guān)聯(lián)的已有知識和經(jīng)驗，借助圖式表征對新概念進(jìn)行拆解與重構(gòu)，進(jìn)而實現(xiàn)思維的可視化，展現(xiàn)不同學(xué)生所處的認(rèn)知水平。借助“認(rèn)知圖式”在一定程度上能讓學(xué)生避免知識學(xué)習(xí)的碎片化、零散化，如“思維導(dǎo)圖”幫助學(xué)生建立知識間的聯(lián)系和厘清知識脈絡(luò)，“數(shù)學(xué)深刻理解”往往通過應(yīng)用數(shù)學(xué)認(rèn)知圖式促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的深刻理解。

（3）可遷移——以“專家思維”解決實際問題

“高通路遷移”是指學(xué)生能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識從具體情境中抽象出來，并應(yīng)用于新的、未接觸過的情境中。這種遷移不是簡單的知識復(fù)制或重復(fù)，而是學(xué)生在“數(shù)學(xué)深刻理解”的基礎(chǔ)上進(jìn)行創(chuàng)新性的思考和應(yīng)用。“數(shù)學(xué)深刻理解”是否達(dá)成的表征之一就是觀察學(xué)生的學(xué)習(xí)過程是否能夠產(chǎn)生“高通路遷移”和形成專家型思維，是否能夠?qū)⒊橄蟮闹R具體化，創(chuàng)造性地利用所學(xué)知識解決新的問題。

（4）自調(diào)控——以“評價反思”優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)

“深刻理解”的數(shù)學(xué)課堂是能夠體現(xiàn)“教—學(xué)—評”一致性的新型課堂。“反饋”作為一個教育心理學(xué)的重要概念，是保障學(xué)生學(xué)習(xí)活動得以真正發(fā)生的重要手段。評價的出發(fā)點和落腳點是促進(jìn)學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展。這種“反饋性”體現(xiàn)在學(xué)生了解評價目標(biāo)、評價任務(wù)中自身表現(xiàn)與高水平表現(xiàn)之間的差距以及對于出現(xiàn)的差距進(jìn)行有效調(diào)控等。

其實，學(xué)生在完成評價任務(wù)的過程中已經(jīng)自主實現(xiàn)“可理解性”的學(xué)習(xí)，厘清數(shù)學(xué)知識的來龍去脈，逐步構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)。教師要以“數(shù)學(xué)深刻理解”為目標(biāo)，以評價為媒介，以數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升為追求，全面提升學(xué)生的元認(rèn)知水平，推動其理解過程逐步生動化、全面化、系統(tǒng)化，使學(xué)生的數(shù)學(xué)理解真實且深刻。

二、“數(shù)學(xué)深刻理解”的價值追尋

1. 學(xué)生高階思維發(fā)展的“生長點”

學(xué)生在對數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則等學(xué)習(xí)對象進(jìn)行初步感知、建立表象的過程中，其思維得到不同程度的發(fā)展，“數(shù)學(xué)深刻理解”格外關(guān)注高階思維形成的路徑。高階思維包含問題的發(fā)現(xiàn)與解決能力、創(chuàng)造性思維、批判性思維和元認(rèn)知能力等重要組成部分，“數(shù)學(xué)深刻理解”對于學(xué)生高階思維的培養(yǎng)具有重要意義。“問題”的發(fā)現(xiàn)、提出、探究與解決貫穿高階思維活動的全過程，問題解決的過程處處體現(xiàn)著思維的深刻性，這是高階思維不斷發(fā)展、完善的不竭動力。此外，幾乎所有的數(shù)學(xué)思想、方法都滲透在學(xué)生深刻理解的認(rèn)知過程之中，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅是知識與技能的習(xí)得，更是學(xué)科素養(yǎng)的提升與發(fā)展。

2. 學(xué)生理解學(xué)科大概念的“觸發(fā)點”

“大概念”是居于學(xué)科核心地位的具有統(tǒng)領(lǐng)性的概念，其提取過程伴隨著學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的深刻理解，因為只有深刻理解才能實現(xiàn)知識間的關(guān)聯(lián)與融通，才能實現(xiàn)認(rèn)知的建構(gòu)與優(yōu)化，在知識結(jié)構(gòu)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成過程中大概念才有可能從若干點狀的知識中被提煉出來。學(xué)科大概念具有一定的抽象性、概括性，因此圍繞大概念進(jìn)行學(xué)習(xí)會激發(fā)學(xué)生一系列的知識和經(jīng)驗，大概念的探究性習(xí)得的過程自然地伴隨著學(xué)科知識結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)絡(luò)化的過程。在這個過程中，學(xué)生對新知的理解以及新知和已有知識結(jié)構(gòu)進(jìn)行相互作用，不斷呈現(xiàn)為表征、圖示、同化、順應(yīng)和平衡的形態(tài)。

3. 學(xué)生核心素養(yǎng)形成的“延伸點”

淺層學(xué)習(xí)是指學(xué)生所習(xí)得的是“惰性知識”，它們不能在有關(guān)學(xué)科情境或者生活情境中被有效激活。在實際教學(xué)中，學(xué)生僅靠機(jī)械記憶所獲取的概念、定理等內(nèi)容大部分都屬于“惰性知識”，因為這些知識未能在學(xué)生的頭腦中進(jìn)行深層次加工。在“素養(yǎng)本位”的價值追求引領(lǐng)下，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深刻思考，開展深層學(xué)習(xí)。學(xué)生只有經(jīng)過深刻的數(shù)學(xué)思考過程，“惰性知識”才能被激活。創(chuàng)造性地應(yīng)用知識是素養(yǎng)形成的重要標(biāo)志，因此，“數(shù)學(xué)深刻理解”是核心素養(yǎng)培育的重要手段。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生深刻理解的路徑探尋

1. 關(guān)注情境，為學(xué)生深刻理解筑牢“四基”

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：注重發(fā)揮問題情境對學(xué)生主動參與教學(xué)活動的促進(jìn)作用，使學(xué)生在活動中逐步發(fā)展核心素養(yǎng)。近年來，創(chuàng)設(shè)問題情境得到越來越多教師的關(guān)注，問題情境能縮短學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗、生活經(jīng)驗與數(shù)學(xué)本身的距離。在實際教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)問題情境時教師常常聚焦于知識層面的認(rèn)識與理解，無法為促進(jìn)學(xué)生的自主建構(gòu)、達(dá)成數(shù)學(xué)理解搭建階梯。問題情境分為情境指向與問題指向兩種視角，其中情境指向觀照于學(xué)生的學(xué)習(xí)環(huán)境、心理環(huán)境以及課堂情境，問題指向則認(rèn)為問題情境更多是一種數(shù)學(xué)任務(wù)或者數(shù)學(xué)實作，“理解一個主題”就是利用這個主題進(jìn)行彈性實作［６］。

基于深刻理解的問題情境創(chuàng)設(shè)要將情境指向與問題指向進(jìn)行有機(jī)整合，既關(guān)注問題情境的“真實性”特征，通過問題情境將學(xué)生的數(shù)學(xué)知識與已有的數(shù)學(xué)知識、跨學(xué)科知識以及生活經(jīng)驗進(jìn)行鏈接關(guān)聯(lián)，又關(guān)注問題情境的“思考性”特征，通過完成數(shù)學(xué)任務(wù)與數(shù)學(xué)實作，形成對數(shù)學(xué)知識的深刻理解。

（1）沖突性思維情境激發(fā)學(xué)生深刻理解的內(nèi)在需求

英國學(xué)者巴雷爾認(rèn)為：“內(nèi)涵豐富、值得持續(xù)思考、富有教育意義、具有啟發(fā)性的問題情境才是最好的問題情境。”創(chuàng)設(shè)沖突性的情境能夠有效激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在需求。值得注意的是，教學(xué)情境中的“沖突”不是教師人為創(chuàng)設(shè)的“陷阱”，而是學(xué)生在已有認(rèn)知基礎(chǔ)上所產(chǎn)生的一種原始想法與真實迷思，教師引導(dǎo)學(xué)生直面真實困惑，放慢知識的構(gòu)建速度，能逐步突破思維困境。

比如在教學(xué)“異分母分?jǐn)?shù)的加減法”時，筆者為學(xué)生提供了正方形紙片、長方形紙片、線段圖以及空白紙片等多項素材計算■+■，部分學(xué)生受整數(shù)加法負(fù)遷移的影響，直接用分母加分母、分子加分子，得到了分?jǐn)?shù)的和是■。因此，教師可以借助圖形引發(fā)認(rèn)知沖突，讓學(xué)生感受分?jǐn)?shù)加法與整數(shù)加法的不同之處。教師不可回避學(xué)生的原始錯誤，要在沖突與辨析中引導(dǎo)學(xué)生逐步深入理解。

（2）層次性學(xué)習(xí)情境關(guān)注差異化表達(dá)

蘇聯(lián)心理學(xué)家維果茨基認(rèn)為學(xué)生的發(fā)展有兩種水平，一種是學(xué)生的已有水平，一種是學(xué)生可能的發(fā)展水平，兩者之間的差異就是最近發(fā)展區(qū)。研究者將情境分為準(zhǔn)現(xiàn)實情境、準(zhǔn)數(shù)學(xué)化情境和數(shù)學(xué)化情境三個層次，通過不同層次的情境引導(dǎo)不同水平的學(xué)生形成對問題的個性化理解，縮短學(xué)生達(dá)成深刻理解的“潛在距離”，從而實現(xiàn)數(shù)學(xué)的深刻理解。準(zhǔn)現(xiàn)實情境是通過對情境的描述或者示意圖、圖形等形式將現(xiàn)實生活中的情境呈現(xiàn)給學(xué)生；準(zhǔn)數(shù)學(xué)情境包含兩種不同范疇的元素，既有生活化的元素，又有數(shù)學(xué)化的元素。數(shù)學(xué)化的情境則是來源于數(shù)學(xué)內(nèi)部的抽象化情境。問題情境的層次性要求教師在情境的設(shè)計時應(yīng)關(guān)注不同層次學(xué)生的已有水平以及學(xué)生之間的“潛在距離”，通過不同層次的任務(wù)引導(dǎo)不同水平的學(xué)生實現(xiàn)“最近發(fā)展區(qū)”的跨越。

比如在教學(xué)“小數(shù)的初步認(rèn)識”時，在問題情境“如何表達(dá)對0.3元的理解”中，教師為學(xué)生提供了“小錦囊”，包含硬幣圖、長方形圖、線段圖等不同的素材供學(xué)生選擇，讓不同層次的學(xué)生都有自主選擇與表達(dá)的空間，在不同作品的對比與評價中實現(xiàn)對小數(shù)的深刻理解。

（3）有序性任務(wù)情境厘清知識生長序列

學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展與課堂運(yùn)行結(jié)構(gòu)息息相關(guān)，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該遵循數(shù)學(xué)學(xué)科自身的邏輯順序以及學(xué)生的心理程序，建立課堂教學(xué)的有效序列。數(shù)學(xué)知識的理解是一個螺旋上升的過程，在解決較為復(fù)雜的任務(wù)時，教師要將大情境分解為有序進(jìn)階的小情境，引導(dǎo)學(xué)生逐步形成對復(fù)雜任務(wù)的理解。

比如在教學(xué)“簡單的數(shù)據(jù)調(diào)查與分類整理”時，這是學(xué)生第一次完整經(jīng)歷數(shù)據(jù)的調(diào)查與分析全過程，如果教師直接安排學(xué)生調(diào)查并分析全班蛀牙情況，任務(wù)難度非常大。于是筆者引導(dǎo)學(xué)生在充分討論的基礎(chǔ)上制定調(diào)查分析方案，并將任務(wù)情境分解為“在小組中調(diào)查并記錄蛀牙情況→分類整理蛀牙情況→分析小組以及全班的蛀牙情況”三個序列性任務(wù)，使學(xué)生逐步在情境中經(jīng)歷完整的數(shù)據(jù)調(diào)查過程，形成初步的數(shù)據(jù)意識。

2. 關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，為學(xué)生深刻理解搭好支架

理解性學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者經(jīng)歷新學(xué)習(xí)內(nèi)容與已有經(jīng)驗進(jìn)行相互作用、反復(fù)建構(gòu)的過程。為促進(jìn)學(xué)生的深刻理解，教師要不斷引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的縱橫聯(lián)系，不斷建立個體知識結(jié)構(gòu)、認(rèn)知結(jié)構(gòu)與思維結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生跨越工具性理解，走進(jìn)關(guān)系性理解甚至進(jìn)入結(jié)構(gòu)性理解的維度［７］。

（1）單元視域下的結(jié)構(gòu)聚合

聚合是指一個模塊內(nèi)部各成分之間相關(guān)聯(lián)程度的度量。“單元”既指基于教材編排的自然單元，也指基于知識內(nèi)在關(guān)聯(lián)形成的重組單元；單元視域下的結(jié)構(gòu)聚合是指從縱向的角度審視單元知識之間的生成與論證關(guān)系，共同指向單元核心知識的建構(gòu)。單個概念的學(xué)習(xí)是學(xué)生心理上不斷組織的過程。隨著學(xué)生學(xué)習(xí)的深入與知識的增多，數(shù)學(xué)知識會不斷進(jìn)行新的組織，不斷形成內(nèi)部結(jié)構(gòu)的再組織與再加工。

比如在教學(xué)“乘法口訣”時，乘法概念的建構(gòu)是基于加法運(yùn)算的簡捷運(yùn)算，能使學(xué)生形成乘法與加法之間的初步關(guān)聯(lián)。隨著乘法口訣學(xué)習(xí)的不斷深入，學(xué)生除了建構(gòu)乘法與加法的聯(lián)系外，還需要建構(gòu)不同乘法算式之間的關(guān)聯(lián)，加深對乘法意義的理解。在復(fù)習(xí)課上，站在單元整體的角度，教師通過問題“由3×4能想到哪些算式”巧妙引導(dǎo)學(xué)生將乘法算式與加法算式、乘加算式、乘減算式進(jìn)行意義關(guān)聯(lián)，在關(guān)聯(lián)中進(jìn)一步明確乘法算式的意義，以及不同乘法算式的內(nèi)在結(jié)構(gòu)網(wǎng)。

（2）學(xué)科視域下的結(jié)構(gòu)耦合

耦合是指模塊之間相關(guān)聯(lián)程度的度量。從數(shù)學(xué)的角度來說，結(jié)構(gòu)耦合既指以“核心知識”統(tǒng)領(lǐng)的數(shù)學(xué)內(nèi)部知識之間的關(guān)聯(lián)，也指不同學(xué)科之間的關(guān)聯(lián)。格蘭特·威金斯等人從目標(biāo)與知識的角度將教學(xué)內(nèi)容劃分為三個層次：應(yīng)當(dāng)持久理解的課程內(nèi)容、著重指導(dǎo)和理解的內(nèi)容以及熟悉的內(nèi)容，其中持久理解的內(nèi)容處于課程的核心，有助于學(xué)生理解知識本質(zhì)的一致性、內(nèi)在關(guān)聯(lián)性以及邏輯的一致性，形成從1到N的增值效應(yīng)［８］。

以“小數(shù)的初步認(rèn)識”為例，數(shù)的認(rèn)識與運(yùn)算具有內(nèi)在一致性，小數(shù)是通過不斷細(xì)分得到的，小數(shù)的意義與整數(shù)的意義具有內(nèi)在統(tǒng)一性，小數(shù)、整數(shù)與十進(jìn)制分?jǐn)?shù)都是通過“計數(shù)單位”的累加得到的。因此在教學(xué)“小數(shù)的初步認(rèn)識”時，教師可以通過“數(shù)源于數(shù)”引導(dǎo)學(xué)生在計數(shù)器上感受整數(shù)中不同數(shù)位上計數(shù)單位的累加以及十進(jìn)制計數(shù)法的運(yùn)用，然后進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考“小數(shù)1.2在計數(shù)器上怎樣表示”，讓學(xué)生在關(guān)聯(lián)中創(chuàng)造出十分位，感受小數(shù)與整數(shù)計數(shù)方法的一致性與連續(xù)性。

3. 有效遷移，為學(xué)生深度理解自然進(jìn)階

基于圖式歸納的遷移范式理論認(rèn)為符號表征組成知識，每個符號對應(yīng)一個概念，遷移能力的基礎(chǔ)便是抽象符號的表征［９］。學(xué)生形成深度理解的一個重要標(biāo)志是將所學(xué)的知識遷移到新的情境中，尤其是在真實、復(fù)雜、開放性情境中綜合運(yùn)用知識解決問題的能力。

（1）激發(fā)遷移傾向

遷移效果受學(xué)生個人遷移傾向的影響。遷移傾向包含遷移意圖、遷移策略的運(yùn)用以及認(rèn)知加工的調(diào)控等方面。在教學(xué)中，教師要激發(fā)學(xué)生主動遷移的內(nèi)在動力，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)所學(xué)知識的潛在價值，以提升學(xué)生對于情境的敏感性，使其能夠迅速挖掘新情境與已有情境的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，主動創(chuàng)造新的情境運(yùn)用所學(xué)知識。比如在運(yùn)用有余數(shù)的除法解決問題時，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)真實情境運(yùn)用“加一法”“去尾法”解決實際問題，結(jié)合春游的經(jīng)歷思考“如果一張餐墊最多能坐6人，2名老師和42名學(xué)生最少要帶多少張餐墊”，讓學(xué)生在思考辨析中感受剩下的2個人也需要一張餐墊，并結(jié)合真實情境感受“加一法”的合理性以及有余數(shù)除法在生活中的價值，極大地激發(fā)學(xué)生自主遷移的熱情。

（2）提升遷移能力

研究表明，在培養(yǎng)學(xué)生遷移能力的過程中，兩個具體或者兩個抽象的材料都不利于學(xué)生遷移能力的提升，兩種形式有機(jī)結(jié)合則能夠促進(jìn)遷移效果的最大化。比如，教師可以先提供具體情境，再讓學(xué)生進(jìn)行抽象分析，或者同時提供具體與抽象兩種材料。學(xué)生通過多情境的對比能夠促進(jìn)深層次的結(jié)構(gòu)變得清晰，提升自身提取知識本質(zhì)、關(guān)注深層關(guān)聯(lián)的能力。

比如在教學(xué)“乘法分配律”時，教師可以設(shè)置“數(shù)”與“形”兩個不同的問題情境。第一個情境：在體育藝術(shù)節(jié)中，男生和女生都站了5行，男生每行站4人，女生每行站6人，隊伍中男生和女生一共多少人？第二個情境：計算長為3米、寬為2米的長方形苗圃和邊長為2米的正方形苗圃拼在一起的大長方形苗圃的面積。每個情境教師先鼓勵學(xué)生用兩種不同的算式進(jìn)行計算，并形成對乘法分配律的初步感知；然后讓學(xué)生觀察兩個等式的特征進(jìn)一步寫出其他的等式，并用自己的方式解釋等式成立的理由。有的學(xué)生通過計算的方法進(jìn)行驗證，有的學(xué)生通過創(chuàng)造情境進(jìn)行解釋，還有的學(xué)生通過乘法的意義進(jìn)行解釋，在多樣化的思維與表征中促進(jìn)對乘法分配律的理解。

（3）形成動態(tài)遷移

基于圖式歸納的遷移范式將遷移分為學(xué)習(xí)與運(yùn)用兩個階段，學(xué)習(xí)階段完成抽象結(jié)構(gòu)的認(rèn)知加工，運(yùn)用階段是對認(rèn)知圖式進(jìn)行提取利用與再組織的過程。因此，學(xué)生不僅在學(xué)習(xí)階段能夠建構(gòu)認(rèn)知圖式，在運(yùn)用階段的圖式歸納效果也不容忽視。研究表明，教師在運(yùn)用階段可以提供未解決的新問題或者讓學(xué)生自己提出一個新問題，都能夠提升動態(tài)遷移的有效性。

比如在教學(xué)“用字母表示數(shù)”時，筆者在新授課環(huán)節(jié)通過擺小棒和汽車行駛路程引導(dǎo)學(xué)生感知字母可以表示數(shù)量和數(shù)量關(guān)系，并在知識運(yùn)用環(huán)節(jié)設(shè)置一個問題：如果每本書的價格是4元，購買b本書的總價就是4×b元，你能創(chuàng)設(shè)一個情境表示“4×b”的含義嗎？學(xué)生在自主表達(dá)的過程中進(jìn)一步感知字母表示數(shù)的含義，發(fā)展學(xué)生的代數(shù)思維。

4. 促進(jìn)反省，為學(xué)生深刻理解持續(xù)蓄力

理解是信息或者要素組織的過程，深度理解則是心理上的再組織過程，反省思維就是一種結(jié)構(gòu)再組織過程。反省分為兩種不同的形式，一種是通過幾個結(jié)構(gòu)反省到更高水平的結(jié)構(gòu)，另一種是對原有結(jié)構(gòu)進(jìn)行反省后創(chuàng)造出一種新的結(jié)構(gòu)。

（1）預(yù)留反省時間

當(dāng)前的數(shù)學(xué)教育中，課堂環(huán)節(jié)被不同的任務(wù)填滿，課后作業(yè)負(fù)擔(dān)相對較重，學(xué)生的課后作業(yè)都是以“寫”為主，專門留給學(xué)生去“想”的時間幾乎沒有，這與深刻理解的理念相違背。因此，在“深刻理解”目標(biāo)的引領(lǐng)下，教師應(yīng)為學(xué)生在課堂以及課后預(yù)留反思自己思維的時間，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識重組，對已有知識結(jié)構(gòu)進(jìn)行再組織。比如在一節(jié)課的末尾，教師可以引導(dǎo)學(xué)生反思本節(jié)課理解難點在哪里，思維是如何進(jìn)行組織與突破的；在一單元結(jié)束、學(xué)期結(jié)束時讓學(xué)生進(jìn)行階段性反省，將反省的結(jié)果以文字、圖畫等形式表征出來。

（2）提供反省支架

在學(xué)習(xí)進(jìn)行過程中，隨著知識的增多，學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)會不斷進(jìn)行重新組織。傳統(tǒng)的觀點認(rèn)為學(xué)習(xí)中知識是按照時間的先后順序進(jìn)行不斷堆砌的，這種觀點忽視了實踐以及反省對學(xué)生知識學(xué)習(xí)的重要作用。事實上，通過知識結(jié)構(gòu)的再組織，學(xué)生的理解能夠達(dá)到更加廣闊、深刻的程度。學(xué)生在解決新問題時，通過再組織以全面的觀點去審視情境中的各部分因素，形成新的解決問題的路徑，將已有結(jié)構(gòu)建構(gòu)成新的組織結(jié)構(gòu)。在教學(xué)中，教師可以為學(xué)生提供一些反省支架，借助任務(wù)驅(qū)動學(xué)生進(jìn)行深刻反省。

比如在教學(xué)平面圖形的面積公式時，平行四邊形、三角形、梯形的面積公式都是通過轉(zhuǎn)化的方法推導(dǎo)得到的，這時學(xué)生對面積之間的聯(lián)系是單向度關(guān)聯(lián)，認(rèn)為平行四邊形面積只與平行四邊形和三角形有關(guān)，因此在本單元結(jié)束時，教師可以設(shè)置一項反省作業(yè)：讓學(xué)生在方格紙上畫一個梯形，并表示出梯形的面積，然后引導(dǎo)學(xué)生思考：如果移動梯形的一個頂點，可能變成什么圖形？通過移動你發(fā)現(xiàn)了梯形面積公式與其他圖形面積公式有什么關(guān)聯(lián)？這項反省作業(yè)通過點的移動能夠幫助學(xué)生構(gòu)建平面圖形之間的深層次關(guān)聯(lián)和完善思維結(jié)構(gòu)。

5. 過程性評價，為學(xué)生深刻理解循證

評價反饋要與教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)情境與教學(xué)活動相一致，評價與反饋的目標(biāo)不是為了甄別與區(qū)分學(xué)生之間的等級，而是通過師生信息流的反饋過程促進(jìn)學(xué)生的深刻理解。

（1）依據(jù)深刻理解的內(nèi)容確定評價的對象

基于威金斯等人的理論，教學(xué)內(nèi)容應(yīng)關(guān)注持久理解的課程內(nèi)容，因此教師在進(jìn)行評價時要突破傳統(tǒng)以知識點為主的評價內(nèi)容，考查學(xué)生對核心內(nèi)容的理解。比如教學(xué)分?jǐn)?shù)加減法時，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考整數(shù)加減法時要“末位對齊”、小數(shù)加減法要“小數(shù)點對齊”、異分母分?jǐn)?shù)加減法要先“通分”在算理上有什么相同點？并舉例說明。新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)要讓學(xué)生感受運(yùn)算的“一致性”，整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的加減法的內(nèi)在關(guān)聯(lián)為相同的計數(shù)單位或者分?jǐn)?shù)單位相加減，從算理的角度溝通不同類型的數(shù)在運(yùn)算上的內(nèi)在一致性，促進(jìn)學(xué)生對知識的深刻理解。

（2）依據(jù)深刻理解的模型確定評價的形式

理解性學(xué)習(xí)的層級發(fā)展分為經(jīng)驗性理解、形式化理解、結(jié)構(gòu)化理解與文化感悟與理解，將“真正的理解”劃分為解釋、闡釋、應(yīng)用、具有洞察力、移情以及自我認(rèn)識六個不同的維度。由此可見，教師在進(jìn)行評價時要通過多元評價來促進(jìn)學(xué)生理解層級的不斷躍遷［９］。據(jù)學(xué)者研究，評價應(yīng)該分為正規(guī)評價與非正規(guī)評價，非正規(guī)評價包含在課堂中觀察學(xué)生的表現(xiàn)，以及通過課堂討論來觀察學(xué)生的理解程度。在課堂討論中，教師可以通過“具體說說你的想法，還有誰有新的想法”等問題引導(dǎo)學(xué)生開展積累型對話；還可以開展?fàn)幷撔蛯υ挘ㄟ^生生之間的質(zhì)疑與爭論，實現(xiàn)不同方法的碰撞與辨析，推動概念理解的深入。在反思評價階段，教師要引導(dǎo)學(xué)生圍繞課堂收獲中的增值性表現(xiàn)進(jìn)行深入交流。正規(guī)評價包含單元評價和期末評價，這些評價可以監(jiān)測學(xué)生在不同情境下綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決實際問題的能力。

（3）依據(jù)深刻理解的層級確定評價的層級

學(xué)生在使用概念的層級包括復(fù)制、聯(lián)系和分析，復(fù)制層級涉及的知識是陳述性知識以及程序性知識，可以通過填空題、選擇題等形式進(jìn)行評價；聯(lián)系層級考查的是信息的整合；分析層級涉及較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)思維，包括解釋、剖析和歸納概括，考查學(xué)生在真實開放的情境中選擇合適的策略解決問題。

基于以上三種不同的理解層次，筆者在教學(xué)“正比例和反比例”時，設(shè)計了評價練習(xí)。

復(fù)制層級：如果x=，那么x和y成（ ）比例；如果=，那么x和y成（ ）比例。

聯(lián)系層級：在-1=4π中A與B是否成正比例？幾位同學(xué)的說法你贊同哪一種？說說理由。（1）明明：A和B不成正比例，因為這道減法算式看不出它們的比值；（2）歡歡：A和B不成正比例，這里π也是一個未知量；（3）小夕：A和B成正比例，可以通過計算得到它們的比值是一定的。

分析層級：王叔叔的老家在黃山市，南京市到黃山市大約相距300千米，某日油價為8.5元/升，電費為1.2元/千瓦·時，每升汽油和每千瓦·時電對應(yīng)的二氧化碳排放量（如表1），請從費用和環(huán)保的角度綜合進(jìn)行分析：如果你是王叔叔，出行時會選擇新能源車還是燃油車，說說你的理由。

深刻理解是新課標(biāo)視域下的內(nèi)在呼喚，是學(xué)生減負(fù)增效的有效路徑。在教學(xué)實踐中，教師要綜合運(yùn)用多種策略促進(jìn)學(xué)生的深刻理解，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和實踐應(yīng)用能力。

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