費曼學習法在數(shù)學分析課程教學改革中的現(xiàn)狀及實踐研究

摘 要：數(shù)學分析是高校數(shù)學專業(yè)的一門專業(yè)基礎課程，它的教學效果對整個數(shù)學專業(yè)學習具有決定性影響。然而在現(xiàn)實的數(shù)學分析教學中，學生往往只是被動地學習，學習效果不佳。因此有必要對傳統(tǒng)教師以講授為主的學習方法進行改革。費曼學習法作為一種新型輸出式教學方法，已經(jīng)被廣泛應用到各理工類課程教學中，取得很好的教學效果。受此啟發(fā)，該文研究將費曼學習法應用于數(shù)學分析教學中。通過專訪和問卷調查相結合的方式，了解大學數(shù)學分析課程教學及學生學情現(xiàn)狀，即數(shù)學分析課堂上大多以講授法為主，學生參與感低，學習缺乏主動性，興趣泛泛。基于這一現(xiàn)狀，以“函數(shù)列極限交換定理”為例，具體來探討如何將費曼學習法應用于數(shù)學分析課堂教學中，充分發(fā)揮學生的自覺能動性，提高數(shù)學分析的學習效率。

關鍵詞：數(shù)學分析；費曼學習法；教學改革；極限交換；問卷調查；教學效果

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2024）32-0130-06

Abstract： Mathematical Analysis is a fundamental course for mathematics majors in universities， and its teaching effectiveness has a decisive impact on the learning of the entire mathematics major. However， in practical mathematical analysis teaching， students often only passively learn， resulting in poor learning outcomes. Therefore， it is necessary to reform the traditional teacher centered learning method. The Feynman learning method， as a new type of output based teaching method， has been widely applied in the teaching of various science and engineering courses， achieving good teaching results. Inspired by this， this article studies the application of Feynman learning method in mathematical analysis teaching. Through a combination of interviews and questionnaire surveys， we aim to understand the teaching and student learning situation of university mathematics analysis courses. Specifically， in mathematics analysis classes， teaching methods are mainly used， resulting in low student participation， lack of initiative in learning， and broad interests. Based on this situation， taking the "limit exchange theorem of function sequences" as an example， this article specifically explores how to apply Feynman learning method to mathematical analysis classroom teaching， fully tap into students' conscious initiative， and improve the learning efficiency of mathematical analysis.

Keywords： Mathematical Analysis; Feynman learning method; teaching reform; limit exchange; questionnaire survey; teaching effectiveness

基金項目：山西省高等學校教學改革創(chuàng)新項目“基于費曼學習法的數(shù)學分析課堂教學改革實踐與策略研究”（J20220471）；山西省留學人員科技活動擇優(yōu)資助項目“統(tǒng)一框架下的時間驅動型切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究”（20220023）

第一作者簡介：玉強（1979-），男，漢族，河北邯鄲人，博士，教授，碩士研究生導師。研究方向為非線性動力系統(tǒng)穩(wěn)定性。

數(shù)學分析是普通高等學校數(shù)學專業(yè)的一門重要基礎課，其內容十分抽象，且前后知識關聯(lián)性較大，如柯西收斂準則貫穿于整個知識體系，遍布在實數(shù)完備性、極限、積分和級數(shù)等方面。數(shù)學分析的學習對于提升學生的邏輯思維能力以及解決問題能力等方面有很大的幫助，并且在整個大學學習生涯占有很大的課時量，所以學好數(shù)學分析是極為重要的[1-4]。然而很多學生認為其晦澀難懂，特別是剛開始接觸數(shù)學分析的大學一年級新生，面對一些抽象的知識無從下手，這不僅會嚴重影響學生對于數(shù)學分析這門課的學習，也會大大削弱他們對后繼專業(yè)課程學習的激情與興趣。

對于數(shù)學分析的學習，多數(shù)高校選擇了傳統(tǒng)的教學方法，即以老師講授為主，常見的課堂畫面：教師滔滔不絕地講，學生死氣沉沉地聽。這種教學方法的優(yōu)點在于教師可以很快將所需知識傳授給學生，大大節(jié)約教學時間，但這種教學方法也有其局限性，那就是它僅僅對理解能力強、邏輯思維能力優(yōu)秀的學生有用，大多學生仍無法從中獲得更深的理解從而內化為自己的知識，這導致學生的課堂參與感弱，而且這種教學方式也比較單一，容易讓學生感到乏味，降低學習興致。一方面是數(shù)學分析課程的極端重要性，另一方面是低效的被動教學模式，這形成了當前該課程教學的最大矛盾之處。相關的專家和學者對數(shù)學分析課程進行教學改革的必要性已達成共識，主要將注意力和研究重點放在如何教改以便更好地提升教學效果上。文獻[5]從師資角度提出“一厚二強三優(yōu)”的課程建設理念；文獻[6]分析了數(shù)學分析課程分層教學問題；以線上線下混合式一流本科數(shù)學分析課程為對象，文獻[7]對該課程教學改革與創(chuàng)新進行有意的探索；文獻[8]探討了BOPPPS模式下數(shù)學分析課程的可行性及實踐；文獻[9]調研了財經(jīng)類院校數(shù)學分析課程學習中一些現(xiàn)狀，研究表明多數(shù)學生對該課程興趣泛泛、教學方式單一、缺乏學習主動性和學習效果差等問題。

一 數(shù)學分析教學及學生學習現(xiàn)狀調查

為了更好地了解師范類高校數(shù)學分析課程（以下簡稱“本課程”）教學與學生學習現(xiàn)狀，筆者利用微信小程序在相關班級開展匿名問卷調查[10]，最后收回有效問卷97份。分別針對學生學習態(tài)度（表1）、知識掌握情況（表2），數(shù)學分析課堂開展情況（表3）以及學生對本課程的建議（表4）展開調查，具體結果如下。

表1調查顯示，數(shù)學分析作為大學數(shù)學專業(yè)的必修課程之一，學生們的學習態(tài)度還是相對積極的。有40%以上的學生能做到上課專心聽講，課下認真復習課上所學知識，另有約40%學生少部分時間會出小差，基本做到上課耐心聽講，課下也會抽出一些時間用來復習。少部分（不到15%）的學生課上大部分時間都在做一些與本課程無關的事情，且課后基本不對課上的知識回顧與復習。由此可得出：大部分學生上課態(tài)度還是比較積極和端正的，但值得注意的是近一半的學生對本課程缺乏足夠的興趣。

表2調查顯示，不足四分之一同學能掌握知識點并靈活運用，超過40%的同學掌握了知識點的內容但不能合理的應用，超過五分之一的同學部分掌握知識點，近10%的同學甚至對知識點完全不掌握。關于測試成績，大部分學生成績集中在“75～90分”和“60～75分”分數(shù)段。由此可得出：目前學生對知識有一定掌握但存在不少問題。

表3調查顯示，教師在課堂上主要以“講授法+提問法”為主，課堂上只用“講授法”一種形式的占14.43%，“講授法+提問法”的課堂教學模式占比近一半，“講授法+自主學習法”的課堂模式約占三分之一，費曼學習法的課堂模式不足二十分之一。總體上課上學生參與度極低。由此可得出：目前學校的教學方法大多還是以“講授法+提問法”為主，學生的參與度低，學生容易產(chǎn)生依賴心理，抑制了學生學習的獨立性、主動性和創(chuàng)造性。

從以上數(shù)據(jù)可得出，同學們剛從中學過渡到大學，學習的自覺性還是挺高的，雖然很多同學對數(shù)學分析這門課程的興趣并沒有很大，但依舊在很認真地學習。盡管如此，學生們的成績卻并不很理想。主要有以下幾點原因：首先，中學知識與大學知識在內容上有很大的不同，中學知識比較形象易懂但大學知識就相對更加抽象，學生接受起來相對困難。其次，課堂上老師多以“講授法+提問法”為主，學生參與感較低，整堂課都在被動地學習，看似會了，但實際應用到題目中只是一知半解，沒有做題的思路。由此得出，當前最需要解決的是提高學生學習的興趣，增強學生的課堂參與感，更多關注“學生的學”。

二 費曼學習法

不同于傳統(tǒng)教學法的被動學習，由理查德·菲利普斯·費曼提出的費曼學習法更注重學生學習的主體地位，能充分激發(fā)他們學習的主動性和興趣，其在思考性及互動性方面有其獨特的價值，且這種學習方法符合學習金字塔原理[11]（圖1）。

費曼學習法[12]強調“以教促學”的學習方式，這種方法是讓學習者變成教學者，并且把要學習的知識教授給其他人，無論如何要讓其他人學會，從而達到自己熟練掌握的程度。這種學習方法可以增強學生的學習興趣，從而為之后的學習打下良好基礎。

費曼學習法的基本要求是，首先需要明確學習目標，精確定位學習內容，并且消化知識點；其次以小組為單位進行模擬教學，即學生以講授身份者講解知識點；接著在講解中更深層次理解知識點，并與講解前進行比較，查看是否有出入，進而鞏固知識點；最后將知識點的概念簡化，得出核心要點（圖2）。

三 費曼學習法在數(shù)學分析課程教學改革中的應用探究

函數(shù)列/項級數(shù)極限交換定理，也稱為極限交換定理，是數(shù)學分析中的一個重要定理。該定理指出，在函數(shù)列/項級數(shù)一致收斂的條件下，兩個獨立變量x與n在分別求極限時其求極限的順序可以交換。該定理在函數(shù)列/項級數(shù)性質的學習中扮演重要角色，它的證明具有一定的抽象性和典型性，其推導過程涉及對函數(shù)列/項級數(shù)的一致收斂性和解析性質（連續(xù)性、可積性、可微性）等概念的深入理解。例如，若各項都連續(xù)的函數(shù)列fn（x）在區(qū)間I上一致收斂，則其極限函數(shù)f（x）在I上也連續(xù)。這些推論進一步擴展了極限交換定理的應用范圍，使得在一致收斂的條件下，極限運算與積分運算的順序可以交換。根據(jù)以往傳統(tǒng)講授法教學經(jīng)驗，學生在該定理證明的理解和掌握方面存在較大誤區(qū)，教學效果常常事倍功半。這里探討用費曼學習法來進行該極限交換定理的教學，不僅發(fā)揮了學生的主導作用，而且在教學過程中，學生也能夠積極討論、發(fā)表意見，從而調動起來學生學習的主觀能動性。

優(yōu)質的課程學習可以提高數(shù)學分析的學習質量。結合學生掌握知識的現(xiàn)狀，基于費曼學習法的“極限交換定理”的課堂教學內容安排如下：①回顧ε-N、ε-δ、柯西收斂準則、函數(shù)列/項級數(shù)一致收斂等概念，確立目標；②分析該“極限交換定理”的條件和需要證明的結論，引導學生尋找條件與結論的差距，逐步引導學生搭建起兩者之間的橋梁；③學生分組討論后，各組組內及各組代表之間模擬教學，重復回顧、對比；④最終代表完成講授，教師點評總結，知識凝練、升華。

（一） 課前設計

1 基本情況

實踐班級為筆者任教的2021和2023級的數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)的兩個標準班級。實踐課題為函數(shù)列/項級數(shù)的極限交換定理的學習，重點是對定理的理解和證明方法、技巧的掌握。

2 實踐目標

基本目標：深刻理解極限交換定理，掌握該定理的推導過程，理解其對函數(shù)列/項級數(shù)的一致收斂性、連續(xù)性、可積性、可微性作用及意義。

能力目標：通過該定理的學習，更深入地理解函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性質及其對極限、積分、導數(shù)等數(shù)學運算的影響，體會其在數(shù)學分析中有著重要的應用。進一步擴展了解極限交換定理的應用范圍，以及在其他學科如物理學、工程學等領域中發(fā)揮的關鍵作用。

深層目標：增加學生對數(shù)學分析的學習興趣，激發(fā)學生的求知欲，為以后的數(shù)學學習打下良好的基礎。

3 分組合作

針對任教的2021級學生（共48人），根據(jù)疫情期間的客觀情況進行分組，主要以宿舍為單位分組，方便學生之間交流，每6人一組，共8組。

針對任教的2023級學生（共50人），主要根據(jù)學生成績，知識基礎、智力水平和心態(tài)心境等個體的不同，采取互補、均衡分組，方便組內團結協(xié)作，組內成員之間盡可能既有互相討論的基礎，又有相互補充的特長，從而促進個體成長和教學任務的達成，10人一組，共5組。老師根據(jù)教學大綱確定學習內容和目標后，指導和監(jiān)督小組學習過程，及時解決出現(xiàn)的問題。

（二） 課堂模擬實踐

證明如下極限交換定理。

定理：設函數(shù)列{fn}在（a，x0）∪（x0，b）上一致收斂于f（x），且對每個n， fn（x）=an，則an和 f（x）均存在且相等.

鑒于需要證明數(shù)列和函數(shù)極限存在問題，首先引導學生回顧，數(shù)列極限的ε-N、函數(shù)極限的ε-δ、柯西收斂準則等。

設{an}為數(shù)列，a為定數(shù).若對任給的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得當n>N時有an-a<ε，則稱數(shù)列{an}收斂于a，定數(shù)a稱為數(shù)列{an}的極限，并記作an=a.

設函數(shù)f在點x0的某個空心鄰域U0（x0；δ′）內有定義，A為定數(shù).若對任給的ε>0，存在正數(shù)δ（<δ′），使得當0<x-x0<δ時有f（x）-A<ε，則稱函數(shù)f當x趨于x0時以A為極限，記作 f（x）=A.

設函數(shù)f在U0（x0；δ′）上有定義. f（x）存在的充要條件是：任給ε>0，存在正數(shù)δ（<δ′），使得對任何x′，x″∈U0（x0；δ）有f（x′）-（x″）<ε.

證明思路（分兩步）：①先證an存在；②再設an=A，證明 f（x）=A即可。

先證an存在。

引導學生思考證明極限存在常用方法，主要包括定義法和柯西收斂準則等。

分析：本例中證明極限的存在性由于題目中沒有出現(xiàn)該數(shù)列極限可能的極限值，無法直接使用定義等來證明；因柯西收斂準則的優(yōu)點是僅依賴這個數(shù)列本身就可判斷數(shù)列收斂性，故需選用柯西收斂準則來證明它的存在性。

要證?ε>0，?N∈N+，p∈N+，n>N時，an-an+p<ε.引導學生思考：由于 fn（x）=an，則可考慮用fn（x）-fn+p（x）代替an-an+p.雖然近似代替會產(chǎn)生誤差，但當x→x0時，這個誤差趨于零， 故可用 fn（x）-fn+p（x）<ε來代替an-an+p<ε.這可以結合圖3直觀來獲得.

引導學生給出具體證明：由{fn}在（a，x0）∪（x0，b）上一致收斂，故?ε>0，?N∈N+，使得?x∈（a，x0）∪（x0，b），n>N，p∈N+，fn（x）-fn+p（x）<ε.就有fn（x）-fn+p（x）≤ε，從而有an-an+p≤ε，故由柯西準則可得an存在.

設an=A.接下來只需證明 f（x）=A即可.

分析：由于出現(xiàn)了極限值，故可以選用定義法來證明.要證 f（x）=A，即證?ε>0，存在正數(shù)δ（<δ′=min{x0-a，b-x0}），使得當0<x-x0<δ時有fn（x）-A<ε.

（引導學生思考）由于題目中對極限函數(shù)f（x）和A的信息較少，因此難以獲得f（x）-A的直接信息，考慮到{fn}一致收斂于f（x）和 fn（x）=an，則f（x）可以用fn（x）來近似代替，A可以用an來近似代替（當n足夠大時）. 產(chǎn)生的誤差分別為f（x）-fn（x）和A-an.從而給出f（x）-A的估計式：f（x）-A≤f（x）-fn（x）+fn（x）-an+an-A.這也可以結合圖3直觀來獲得.

引導學生給出具體證明：由于fn（x）一致收斂于f（x）及an收斂于A，因此對任意ε>0，存在正數(shù)N，當n>N時，對任意x∈（a，x0）∪（x0，b），

fn（x）-f（x）<和an-A<，

同時成立，特別取n=N+1，有

fN+1（x）-f（x）<，aN+1-A<。

又 fN+1（x）=aN+1，故存在δ>0，當0<x-x0<δ時，

fN+1（x）-aN+1<。

這樣，當x滿足0<x-x0<δ時，

f（x）-A≤ f（x）- fN+1（x）+ fN+1（x）-aN+1+ aN+1-A<++=ε，

即 f（x）=A.

引導學生總結：在掌握數(shù)學分析的基本概念等基礎上，對于定理及其抽象證明都有其內在的邏輯，一般總能通過數(shù)形結合來直觀理解定理的意義及獲得證明的思路。

四 教學改革成效

基于對山西師范大學2021級和2023級數(shù)學專業(yè)本科生的教改實踐，費曼學習法下的數(shù)學分析課堂改革成效顯著，獲得學生一致好評。教改課程出現(xiàn)了滿分成績，學生課堂參與度、學習積極性、期末優(yōu)良和及格率均明顯高于傳統(tǒng)授課班級。2021—2024年，任教課程在學生評教中始終名列前茅，個人總體教學評價排名位居學院前5%，其中2023—2024年度學院教學評價排名第一（1/75）。

針對2021級教改學生，由于已完成教學實驗，主要從后繼發(fā)展說明教改成效：指導教改班級學生在第14、15屆全國大學生數(shù)學競賽中多人次獲省一、二等獎；作為指導教師指導教改班級學生獲批2024年國家級大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃項目、2024年山西省首屆大學生職業(yè)規(guī)劃大賽二等獎、2024年山西省創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)大賽省優(yōu)秀獎、2024年山西師范大學未來教師素質大賽二等獎及單項獎和中國國際大學生創(chuàng)新大賽（2024）校賽一等獎（排名學校第一，已推薦省賽）。

針對2023級學生，由于仍是一年級新生且尚處于教改實驗中，只能從同級成績對比的角度來說明教改成效。作為最重要的專業(yè)基礎課，學校對數(shù)學分析的考核實行委托校外同類院校專家命題的教考分離政策，保證考試的保密性和教學評價的客觀性。以下以2023—2024學年第一學期數(shù)學專業(yè)四個平行班級期末考試成績來說明教改成效。從圖4、圖5及表5可以清晰看到執(zhí)行教改的03班的平均分和及格率均明顯高于對比班級。

五 結束語

本文基于教學經(jīng)驗和問卷調查探討了數(shù)學分析課程的教學現(xiàn)狀，分析了傳統(tǒng)講授教學法在數(shù)學分析教學中的優(yōu)缺點。簡要介紹了費曼學習法，并研究了基于該方法的數(shù)學分析課堂教學改革的可行性。最后以極限交換定理為例演示費曼學習法在數(shù)學分析課堂教學中的具體運用與策略實施。

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