流體力學場論知識的教學銜接探索

摘要：流體力學的相關課程是理工院校力學、航空航天、機械等相關專業的核心課程，其中要運用到數學中場論相關的基礎知識。然而，高等數學中場論教學注重的是邏輯性及嚴謹性，這與流體力學更注重物理意義不同，學生在學習流體力學遇到場論相關符號時，往往難以理解其物理本質。針對高等數學與流體力學中場論知識的銜接問題，本文以流體力學用到的梯度、散度、旋度等為例，探討了場論知識銜接的簡單化、形象化與啟發化教學方法及其具體應用方式。

關鍵詞：流體力學；場論；知識銜接；教學方法；形象思維

中圖分類號：G642.0文獻標識碼：A

ExplorationofTeachingConnectionofFieldTheoryinFluidMechanics

LuWeiyu1*XiangXin2HongShuli3

1.SchoolofPhysicalandMathematicalSciences，NanjingTechUniversityJiangsuNanjing 211816；

2.SchoolofAircraftEngineering，NanchangHangkongUniversityJiangxiNanchang330063；

3.CollegeofMechanicalandAutomotiveEngineering，NingboUniversityofTechnologyZhejiangNingbo315211

Abstract：Therelatedcoursesoffluidmechanicsarethecorecoursesofmechanics，aerospace，machineryandotherrelatedmajorsinscienceandengineeringcolleges，inwhichthebasicknowledgerelatedtofieldtheoryinmathematicsshouldbeapplied.However，theteachingoffieldtheoryinadvancedmathematicsfocusesmostlyonlogicandpreciseness，whichisdifferentfromtheemphasisoffluidmechanicsonphysicalmeaning.Whenstudentsencountersymbolsrelatedtofieldtheoryinfluidmechanics，theyoftenhavedifficultyunderstandingitsphysicalessence.Aimingattheconnectionoffieldtheoryknowledgebetweenadvancedmathematicsandfluidmechanics，thispapertakesgradient，divergence，curlasexamplestoexplorethesimplification，visualizationandenlightenmentteachingmethodsoffieldtheoryknowledgeconnectionandtheirspecificapplicationmethods.

Keywords：Fluidmechanics；Fieldtheory；Knowledgeconnection；Teachingmethods；Imaginarythinking

流體力學相關課程是理工院校力學、航空航天、機械等相關專業的核心課程。在這些課程的教學中，不可避免地涉及場論相關的知識，該知識是高等數學中場論知識的延續。但由于場論知識在高等數學教學中并非重點。目前在高等數學教學中，和場論相關的教學課時和內容較少，且在教學中，其與力學或物理學的聯系較為松散，相關例題也較少。此外，高數教學注重邏輯性和嚴謹性，主要運用學生抽象性思維，配圖及形象化表達較為稀少，使學生對場論物理意義的理解變得較為困難。

通常，理工科學生在大一學習高等數學，而流體力學的相關課程則往往安排在大三甚至大四學習，這相隔的一年甚至以上時間使同學們對場論知識產生了遺忘。這樣，如果在沒有對場論知識進行銜接教學的前提下直接教授以場論符號表達流體力學方程、公式，會使大部分學生產生學習障礙，甚至影響以此為基礎的后續學習。因此，本文針對高等數學與流體力學場論知識的銜接問題展開了探討。

一、高等數學場論教學的特點

（一）場論的內涵

目前，“場論”這一詞匯主要有數學、物理學和語言學上的含義。作為數學上的概念，“場論”即探討某種物理量（場）在空間分布和變化規律的理論［1］。而在物理學和語言學上，“場論”前通常添加定語，如經典場論、量子場論、語義場論，其中，物理上的場論與數學上的場論具有密切關聯性。例如，電磁場理論［2］涉及的麥克斯韋方程組就是用數學的場論符號表達，其他的量子場論［3］、廣義相對論性引力場論［4］等還涉及更深層次的數學知識。

本文所述“場論”特指數學中的場論概念，即有關梯度、散度、旋度運算的理論，其主要應用對象為經典力學，包括流體力學在內。

（二）“場論”知識在高等數學教材中的地位及分布

場論知識在高等數學教學中并非重點。以高等教育出版社出版的《高等數學（上冊）》教材為例［5］，場論知識僅出現在第三章第五節的第三小結（3.5.3場論——梯度、散度、旋度）中，該部分內容總共僅有9頁，且非教學重點。而以科學出版社出版的《高等數學（下冊）》為例［6］，梯度、散度、旋度則分別分布在8.6.2（梯度）、10.6.2（通量與散度）、10.7.2（環量與旋度）這三小節中，這三個概念分別與方向導數、高斯公式與通量、斯托克斯公式與環量這些概念相聯系，在邏輯上更為合理，但沒有以“場論”這一統一概念出現。

（三）高等數學重嚴謹、輕物理的特點

高等數學對場論的教學主要由定義、定理及其證明構成，這樣保證了數學思維的嚴謹性。此外，教材中的例子很少，尤其是與自然科學，如電磁學、流體力學相關的例題。相對而言，一些國外的教材案例更為翔實，更適合自學（例如CallahanJ.J.編寫的AdvanceCalculus［7］，其中例題和示意圖較多）。

以高等教育出版社出版的《高等數學（上冊）》［5］教材為例，在定義3.5.6中給出了無源場嚴格的數學定義。但是，即使學生對無源場的數學表達完全理解，還是很難建立該數學表達與實際矢量的空間分布或物理狀態間的關聯性。此外，教材對于這些重要的定義或定理沒有配圖。盡管示意圖表達的一般是特殊情況，不具有普適性，但對于抽象性的數學表達，如果能配上直觀的示意圖，對學生理解其蘊含的物理意義是十分必要且有幫助的。

二、流體力學中涉及的場論知識舉例

很多流體力學方程或公式以場論形式書寫。以NS方程為例，目前，主要有三類表達形式（可參考文獻［8］），包括寫成偏導數展開的形式、矢量及場論形式、張量形式。通常在本科教學階段采用矢量及場論形式表達各類流體力學方程，這樣在補充場論知識的銜接教學后，這種形式的方程能兼顧書寫的方便及物理意義的相對直觀性。

在流體力學中，涉及大量場論表達式。常用的微分形式可壓縮連續性方程［9］如下：

ρt+·（ρV→）=0（1）

該方程涉及散度。又如，渦量的定義［9］為：

ω→=×V→（2）

該式涉及旋度。此外，歐拉靜平衡方程［10］為：

f→=1ρp（3）

該方程涉及梯度。在場論的銜接教學中，一定要結合這些方程進行講解，這樣可以使同學們同時加深對場論知識和流體力學方程的理解。

三、流體力學場論銜接的具體實踐探索

針對高數教學中重普適性、嚴謹性、抽象性，輕特殊化、物理化、形象化的特點，筆者認為流體力學場論銜接的教學策略有兩點。一是不必苛求普適性與嚴謹性，可以采用特殊化、簡單化的案例；二是應采用圖形化與公式化相結合的方式。筆者結合自身的教學經驗及上述策略，給出了以下針對具體場論概念的教學實踐探索。

（一）散度概念的教學實踐

散度即衡量矢量場局部“發散程度”的量，其在數學上由“通量”的極限表達。在流體力學教學中，筆者推薦圖1的三張示意圖作為散度的形象化表述。

若圖示矢量場為速度場，則由散度在二維直角坐標系下的計算公式［5］：

·V→=Vxx+Vyy（4）

則很容易地可以計算得到圖1（a）、圖1（b）、圖1（c）微元處的散度分別為4dV/dl、-4dV/dl及0，對應的矢量場在微元表面則分別是發散、收斂及貫穿的。以圖1（a）為例，其對應散度為正（矢量場發散），結合可壓縮連續性方程式（1），如果忽略密度ρ在微元尺度下隨空間的變化，可得ρ/t<0，即由于流體從微元控制體中流出，導致該處密度隨時間減小（不考慮源和匯時）。這樣在教學上，通過對散度意義結合數學公式及連續性方程的教學，使學生對散度概念、連續性方程、可壓縮流動等概念有更深的認識。

（二）旋度概念的教學實踐

旋度，即反映矢量場局部“旋轉程度”的量，其在數學上由“環量”極線表達。

這里建議以圖2的旋度示意圖為例。若圖中正方形為剛體，假設其四邊中心處速度為dV，且方向為繞正方形中心順時針旋轉，容易求得剛體的旋轉角速度ωR為：

ωRk→=-2dVdlk→（5）

這里負號是由右手定則確定，k→為單位矢量且正方向為紙面向外。由式（2）可以看出，流體力學中，渦量的定義即速度矢量的旋度，是個矢量，在二維情形下，該矢量只有一個方向。由二維旋度的定義［5］，可得圖2所示渦量為：

×V→=（Vyx-Vxy）k→=-4dVdlk→（6）

這樣通過對比，我們可以得到重要的結論，流體力學中渦量是速度場的旋度，其值為對應剛體（速度場相同）旋轉角速度的兩倍。這樣，就厘清了數學中旋度、流體力學中渦量、理論力學中剛體旋轉角速度之間的關系及區別。

（三）梯度概念的教學實踐

梯度建議與流體力學的歐拉靜平衡方程及壓力的概念一起進行學習。如圖3所示，假設流體微團處在靜止的流體中，其表面受到表面力壓力，其質心受到體積力（如重力），我們可以從微元的角度列出該流體微團四個面所受壓力（單位厚度）。通過分析，流體微團受到x方向的表面力合力為-（p/x）dxdy，y方向表面力合力為-（p/y）dxdy，微元受壓力產生的加速度為x、y方向表面力矢量和除以微元質量，即：

f→p=-（pxi→+pyj→）dxdydm=-1ρp（7）

這里用到了梯度的定義［5］。在流體靜力學中，流體微團受到的表面力應與體積力平衡，所以可得體積力產生的加速度應為式（3）歐拉靜平衡方程。因此，梯度的大小和方向都具有明確的物理意義。

結語

流體力學是理工院校力學、航空航天、機械等相關專業的核心課程之一，其中要運用到數學中場論相關的基礎知識。然而，高等數學中場論教學注重的是邏輯性及嚴謹性，當前教材的形象性與物理意義的表述較弱。流體力學教學中更注重物理意義的理解，學生在學習流體力學過程中遇到場論相關符號時，往往因難以理解其物理本質，造成學習困難。針對高等數學與流體力學中場論知識的銜接問題，本文以流體力學中梯度、散度、旋度為例，深入探討了場論知識銜接的簡單化、形象化與啟發化教學策略與方法，并根據筆者的教學經驗，給出了具體教學方案，希望能對流體力學場論教學具有指導意義。

參考文獻：

［1］謝樹藝.工程數學：矢量分析與場論（第3版）［M］.北京：高等教育出版社，2005.

［2］謝處方，姚克謹.電磁場與電磁波（第4版）［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［3］周邦融.量子場論［M］.北京：高等教育出版社，2007.

［4］劉遼，趙崢.廣義相對論（第2版）［M］.北京：高等教育出版社，2004.

［5］仇久慶.高等數學（上冊）［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［6］唐月紅，曹榮美，王正盛，等.高等數學（下冊）［M］.北京：科學出版社，2009.

［7］CallahanJJ.AdvanceCalculusAGeometricView［M］.Berlin：Springer，2010.

［8］吳望一.流體力學（第2版）［M］.北京：北京大學出版社，2021.

［9］莊禮賢，尹協遠，馬暉揚.流體力學（第2版）［M］.合肥：中國科學技術大學出版社，2009.

［10］王洪偉.我所理解的流體力學（第2版）［M］.北京：國防工業出版社，2021.

基金項目：2021年南昌航空大學教改課題“高等數學思維在氣體動力學教學中實踐研究”（項目編號：JY21055）

*通訊作者：陸惟煜（1989—），男，江蘇淮安人，工學博士，副教授，碩士生導師，主要從事工程流體力學研究。

作者簡介：向鑫（1989—），男，苗族，湖南懷化人，工學博士，講師，碩士生導師，主要從事葉輪機械氣動設計研究；洪樹立（1986—），男，浙江寧波人，工學博士，講師，主要從事工程流體力學研究。