中職學生專業發展視角下的數學學習進階

摘要：職業院校數學教學既要為學生的終身發展奠定基礎，體現數學的基礎性、發展性，又要與專業深度融合，體現數學的職業性、應用性。在分析學生專業發展視角下的數學教學中存在問題的基礎上，從學生專業發展角度構建數學學習進階模型，并從四個方面提出促進數學學習進階的策略：精準設計，幫助學生鞏固知識基礎；數專融合，提升學生數學應用能力；自主探究，提升學生分析問題能力；項目拓展，激發學生求新求異動力。

關鍵詞：學習進階；精準設計；構建情境；問題解決；創新動力

中圖分類號：G712 文獻標識碼：A 文章編號：1673-4289（2024）09-0056-06

普通教育主要解決“是什么”和“為什么”的問題，強調學術價值觀，培養學生認識世界的能力；職業教育主要解決“做什么”和“怎么做”的問題，培養學生改造世界的能力，強調技術價值觀。這就決定了職業院校數學課程的特殊性，不僅具有基礎性、發展性，而且具有職業性、應用性等特點，職業院校數學教學既要為學生終身發展奠定基礎，還要與專業深度融合，滿足專業學習、職業發展的需要。為此，職業教育數學課程教學改革有必要精準分析數學教學中存在的問題，構建促進學生專業發展的數學學習進階模型，深入探討促進學習進階的新的數學教學方法，這樣才能幫助學生形成良好的知識結構，發展數學核心素養，提升職業本領。

一、學生專業發展視角下數學教學中存在的問題

（一）學習基礎薄弱制約了學生的學習進階

從歷年學生的入學成績看，職業院校生源質量、學習基礎、學生素質普遍不高，特別是學習基礎較為薄弱，呈現出嚴重的兩極分化現象，極少數學生甚至對小學階段的知識都一知半解，繼續學習數學有一定困難。數學學習是一個系統工程，環環相扣，螺旋上升，前面的基礎沒打好，后面的內容就很難弄懂學會，越是學不會，就越沒有學習動力。在進入職業學校之前，有的教師對學有困難的同學關心不夠，造成不少學生長期感受不到數學學習的成功感，甚至對數學“另眼相看”，進而給學習專業知識帶來了不少困難。

（二）教學方法仍以講授與灌輸為主

由于學生的基礎參差不齊，給教師的教學工作帶來了一些困難，加之職業院校沒有升學壓力，部分教師教學改革的積極性不高，因此，有的教師方法守舊，一講到底，學生被動接受，加之理論性過強，就數學而學數學，容易使學生聽課時如墮云霧。不能融入專業的案例進行數學學習，學生總認為數學枯燥無味，實用性不強。學生注意力集中的時間不長，久而久之，上課容易走神，甚至昏昏欲睡，與數學漸行漸遠。

（三）教材中的專業案例不多

現行教材理論性強，特別是基礎模塊，是各專業必修的公共內容，知識編制以學科體系為主，與學生生活及專業課程的聯系不緊密，趣味性不足，應用性不強，學生感到數學與自己的生活、專業很遙遠。加之職業學校專業種類多，有的教師對專業也不太了解，也就無法精選專業案例用于數學教學。其實不同專業需要的數學基礎知識不完全相同，兼顧基礎性和職業性應成為職業院校數學課程觀，也應成為職業教育數學課程的價值選擇。

（四）教學內容取舍不當

在平時的教學中，有的教師照本宣科，不能有效整合教學資料，不能按照學生所學專業的特點精選教學內容，專業所需的知識一帶而過，專業應用不多的數學知識卻大講特講。學生專業發展視角下的數學教學，要認真思考教學內容“取”的內容對專業人才培養規格能起到什么支撐作用，“舍”的內容會不會影響專業人才培養規格，以必需、夠用為度，要依據課程標準，用好教材，重組教學資源，精選教學內容，而不僅僅是“教教材”。

二、學生專業發展視角下的數學學習進階構建

（一）學習進階的內涵

學習進階（learning progressions，LPs）這一術語是美國國家研究理事會（National Research Coun-cil，NRC）在2005年K-12年級科學成就測驗政府工作報告中提出的。報告將學習進階界定為“對學生在一定時間跨度內學習和探究某一主題時依次進階、逐級深化的思維方式的描述”。雖然學習進階的提出已有十余年，但其定義仍無定論。有研究者指出，學習進階不同定義的共同之處是都關注學生思維的發展歷程，聚焦于某一學科概念，描述學生在某一時間內的思維發展狀況（高一珠，陳孚，辛濤等，2017）。也有研究（Kaneamp;Bejar，2014）認為，學習進階是一種使測評結果更有意義、對教師更有幫助的方式，可以將學生掌握某一領域或學科復雜水平的學習過程模型化，反映學生理解某一知識、概念所經歷的多個中間水平以及學生在各水平上的學習表現，體現學生對某一學科核心知識、技能逐步掌握的過程。學習進階在實踐中顯示了價值，在核心概念進階設計、課程標準研制與修訂、教育測量與評價、學校教學實踐等方面已嶄露頭角（韋斯林，賈遠娥，2010）。

可以認為“進階”即依次踏上臺階，先從現有水平到達一個目標，再以這個目標為基礎，達到下一個目標。就像登山一樣，不僅要尋找登山的路徑，而且還需要登山的臺階，拾級而上，同樣，教學不僅要指明學習者認知發展的路徑，還要指明學習者在學習過程中用以“踏腳”的具體“附著點”。也就是不僅要解決學習路徑，而且要解決實現進階的途徑。這樣學生通過不同的階的連續“攀爬”，才能達到理想的學習效果。

（二）學生專業發展視角下的數學學習進階模型

學生對數學知識的認知大多由易到難、由淺及深，教師的教學也大多是由簡至難，這一教與學規律符合布盧姆教育目標分類學認知領域維度劃分規律。布盧姆將教育目標分為記憶／回憶、理解、應用、分析、評價、創造六個層級。布盧姆教育目標分類學為構建數學學習進階模型提供了理論支撐。學生專業發展視角下數學課程學習進階，在打好數學基礎的同時，還要兼顧專業學習的需要，從數學內容的選擇、深度與廣度來界定學習內容，在此基礎上，用數學解決專業問題，用專業案例學習數學，逐步提升數學能力與創新意識，達成數學學習目標。由此，構建了數學與專業融合的學習進階模型，如表1。

（三）數學學習進階的變量

數學學習進階的變量包括以下幾個方面：一是知識內容。知識內容是學習進階的基礎，包括各個數學概念、定理、公式等。二是認知方式。認知方式是學生在學習過程中所采用的方法和策略，包括如何理解數學概念、如何解決問題等。三是情感態度。情感態度是學生對數學的態度和情感，包括對數學的興趣、信心、毅力等。四是文化背景。文化背景是指學生在學習過程中所處的社會文化環境，包括學生的經驗、家庭背景、學校教育、社會環境等。這些變量之間相互影響，造成了學習進階的復雜性。在學習進階中，學生需要逐步掌握更高級的思維技能，理解更抽象的概念，同時還需要培養積極的情感態度和適應社會文化背景的能力。因此，教師需要全面考慮這些變量，制定合適的教學計劃和方法，以幫助學生順利完成學習進階。在學習過程中，應注意以下幾點：

一是持續實踐。對理論知識的真正理解往往來源于實踐，通過解決實際問題，可以更好地理解和應用數學知識。

二是培養數學思維。數學不僅僅是公式和計算，更重要的是一種思維方式。培養數學思維有助于更深入地理解和應用數學知識。

三是反饋與調整。在學習過程中，應定期回顧和反饋，看看哪些方法有效，哪些需要改進，然后據此調整學習策略。

三、學生專業發展視角下的數學學習進階實踐

職業教育培養的是生產一線的高素養技術技能型實用人才。數學作為學生專業發展的重要基礎，需要采取多種方法幫助學生學好數學知識，這也是學生數學學習進階的基石；還要采用應用型的教學方法，幫助學生學會應用數學知識解決專業實踐中的問題；要采取以問題解決為主線的教學方式，提升學生分析問題的能力；在此基礎上，加強學生發散思維、求新求異的創新能力培養，通過以上數學學習的不斷進階，為學生專業發展奠定堅實基礎。

（一）精準設計，幫助學生鞏固知識基礎

1．溫故知新，注重數學銜接教學

維果斯基提出的最近發展區理論認為學習者在參與教學活動時有兩種發展水平，即現有的發展水平和潛在的發展水平，而最近發展區則位于兩種發展水平之間。這就要求職業院校數學教師根據學生現有的發展水平，劃分不同的階層，促使學生的學習水平由低階水平逐漸過渡至高階水平。

一是增設數學銜接模塊。根據學生數學學習中的薄弱內容，應用較多的初中內容，以及與專業學習有關的初中內容，編制成學習手冊，在新生入校后強化學習，通過初中數學與職業院校數學的銜接，可以避免學生因為學習基礎薄弱而造成學習脫節現象。

二是制作在線微課程。梳理學生在初中、職業院校數學學習過程中遇到的問題，制作微課程，每個微視頻五分鐘左右，并上傳至信息化教學平臺，讓學生不受時空制約，隨時隨地在線學習，從而幫助學生順利完成數學學習，重拾學習信心。

三是溫故知新，化難為易。溫故知新的實質是化難為易，由于學習內容變簡單了，學生就能學會，學會了，便容易激發學生學習的興趣和信心，這樣學習就能進入良性循環：學會一興趣一愿學一學會……相反，如果學生學不會，就會越來越沒興趣。

2．精選內容，滿足專業學習需要

學生專業發展視角下的數學教學，在注重數學的基礎性發展性的同時，要突出數學的職業性功能，以滿足專業學習之需。以數控專業為例，編制程序時需要進行數據計算，數據計算是編程的重要環節，是數控加工的基礎。數控加工中需要使用的數學處理方法主要有作圖計算、代數計算、幾何計算、三角計算和解析幾何計算等。為此，要在教學內容選擇、教學深度和廣度上與專業相匹配，這樣才能為專業學習打好基礎。

一是按需選擇教學內容。適度增加三角函數的計算、立體幾何相關計算等內容，提升學生的數學計算能力。精簡傳統數學教學內容，刪除偏深偏難的內容，適當降低函數的概念教學要求，將其作為了解性的內容；學習指數函數和對數函數，以計算為主；適當增加一些與數控專業學習密切相關的內容，如算法與程序框圖等。

二是合理確定教學的深度。從專業需要出發確定知識點的教學深度，有的內容要適當提高要求，以專業夠用為準。例如，數控專業中的“電工基礎”課程要用到向量的表示、向量的加減運算等，因此向量教學中，要重點學習這些內容，熟練掌握，而向量的坐標、內積等內容在“電工基礎”課程中均不涉及，教學中就可以少講一些或不講。

三是合理確定教學的廣度。對于數控專業的學生，不僅要學習函數、三角函數，還應把坐標變換、參數方程、極坐標、空間坐標、空間曲線與曲面的方程等作為學習的重點內容并適當加以拓寬，這樣才能更好地滿足專業課程學習的需要。

3．理實一體，打好專業學習基礎

一是了解專業價值。由于學生剛進入職業院校，教師要通過圖片展示、視頻播放介紹專業特點以及所學專業在國家建設中的作用，介紹本專業領域的大國工匠事跡，讓學生走進專業，增強對所學專業的情感。二是參與專業實踐。在學習專業知識前，可以組織學生適度參加專業實踐，這樣學生對專業有一個感性的認識，為專業學習奠定基礎。三是理實一體學專業。突破以往理論教學相對集中，理論與實踐脫節的現象。理論和實踐交替進行，直觀和抽象交錯出現，充分發揮教師的主導作用、學生的主體地位，突出學生動手能力。四是巧用信息技術。對于看不見、看不清、看不了、摸不著、進不去、動不了、難再現的專業問題，要充分運用信息技術演示、模擬等，讓學生經歷知識的探索、抽象、概括的全過程，實現由形象思維向抽象思維的轉變，提升專業素養。

（二）數專融合，提升學生數學應用能力

英國著名數學家懷特海認為，數學的生命力在于學以致用。因此，一要善于挖掘數學知識在生活中應用的案例，以及數學在專業中的應用，盡可能使每個知識點都有相關的生活和專業案例可供使用；二是在教學中滲透數學與生活、專業相關的案例，突出數學的應用性、實用性、職業性，讓學生體會學以致用的樂趣。

案例1 直線與圓的位置關系的應用教學

在傳統的直線與圓的位置關系教學中，為提高學生的應用與計算能力，教師給出問題：過點P（5，1）作圓（x-1）2+y2=4的切線，求切線方程及切點坐標。

這樣設計，學生學習興趣不高，不能體會數學的應用價值，不知為何而學，為此設置專業問題：在數控加工中，須加工零件，尺寸如圖1。

師：在加工該零件時，需要進行數控編程，還須知道什么數據？

生1：加工零件時，就是加工圓弧AB及線段AM。為此在數控加工編程前須計算零件的一個節點A的坐標。

師：大家對專業知識掌握得不錯，比較熟悉，那如何求節點A的坐標呢？

生2：可以建立直角坐標系，如圖2所示，求出圓弧AB所在的圓以及AM所在的直線，再通過直線與圓的位置關系求出A點的坐標。

師：回答很詳細，我們可以把這個專業問題抽象成數學圖形，如圖3所示，根據圖中數據，先求圓O1的方程；再求圓O1的切線AM的方程；最后求切點A的坐標。

案例剖析：運用專業案例，將數學與專業相結合，分析零件，再引導學生從專業案例中抽象出數學問題，最后用數學方法解決問題。這樣的教學使學生感受到數學的重要性，體會到數學與數控專業緊密聯系，不僅激發了學生學習數學的積極性，而且讓學生逐步學會從專業的角度看數學，從數學的角度解決專業問題，有效地提升了學生的數學應用能力和數學核心素養。

（三）自主探究，提升學生分析問題能力

傳統的數學教學，側重于知識的傳授、技能的發展，相對枯燥，學生興趣不濃，要改變這種數學課堂生態，變知識線索中學習為問題解決中學習，構建以問題解決為主線的教學方式，讓學生自主探究，這對提升學生的分析問題、解決問題能力，提高學生的綜合職業素質具有重要意義。

案例2 運土問題

在學習了雙曲線的方程之后，為提高學生分析問題的能力，教師創設了運土問題，讓學生自主探究，合作交流，提升分析問題能力。

某工程要挖一個橫斷面如圖4所示半圓的柱形坑，平面圖挖出的土只能沿道路AP，BP運到P點處，已知PA =100m，PB =150m，∠APB=60°，試說明怎樣運土最省工。

這是一個數學在生產生活中的應用問題，如果教師講，學生聽，就失去了該問題的應有價值，為此，教師設置問題鏈，引導學生自主探究，充分發揮學生的主體地位，在問題解決中提升學生的數學能力。

師：如何解決這個問題呢？

一時無從下手，教師引導。

師：我們可以假設M處的土沿AP、BP運土同樣遠，這時我們能列出一個怎么的等式？

學生思考片刻。

生1：|MA|+|PA|=|MB|+|PB|

代入已知數據，得到

|MA|+100=|MB|+150

即|MA|=|MB|+50

即|MA|-|MB|=50

師：看到這個數學表達式，你有什么聯想？

生2：在雙曲線中，有類似的表達式。

師：觀察很仔細，這說明什么問題？

生3：這說明運土同樣遠的點在同一支雙曲線上。

師：運土同樣遠的點一定能構成一條雙曲線嗎？

生4：根據雙曲線的定義，還要考慮|MA|-|MB|是否小于|AB|，否則就不能構成雙曲線。

師：考慮問題很全面，根據大家的交流，我們可以用坐標法，如圖5所示，求得此雙曲線的方程。運土時以半圓內的一段雙曲線弧為界，將雙曲線左側的土沿AP運到P處，右側的土沿BP運到P處，這樣最省工，也最節約能源。

案例剖析：該案例來源于現實生活，具有很強的現實性，通過師生共同分析，提升了學生數學抽象、數學建模、數學運算等數學核心素養。在問題解決中，潛移默化地滲透了節約資源的意識、多快好省的意識，有效地實施了課程思政，學生真正體會到數學的應用價值。

（四）項目拓展，激發學生求新求異動力

習近平總書記說，“創新是一個民族進步的靈魂，是一個國家興旺發達的不竭動力”，“唯改革者進，唯創新者強，唯改革創新者勝”。創新需要創造性思維，創造性思維就是以獨特的新穎的思維活動，揭示事物本質及內在聯系并指引入去獲得對問題的新的解釋，從而產生前所未有的思維成果。與創造性思維緊密相關的就是發散性思維，發散性思維是一種從不同角度、不同方向、不同層面，用不同途徑去分析、想象、探求多種答案，最終使問題獲得圓滿解決的思維方法。

數學作為一門推理與思維性的學科，在培養學生創造性思維方面具有獨特的作用。教學中可以選擇一些典型案例，引導學生從不同的方向、不同的角度去分析問題，運用發散思維、創新思維，獲得問題的解決方法。

案例3 對于任意兩個整數a，b，我們定義兩種運算⊙和⊕：

a⊙b=a2+b2，a⊕b=2ab

（1）驗證這兩種運算滿足交換律，即a⊙b=b⊙a，a⊕b=b⊕a。

（2）如果要使結合律成立，即a⊙b⊕c=a⊙（b①c），那么a，b，c之間要滿足什么條件？

（3）請你自己用代數式重新定義這兩種運算，使得結合律恒成立。

此問題的情境是數學內部情境，它打破了傳統思維的束縛，不是在學生已經學習過的概念基礎上解決問題，而是利用所學習過的知識去理解一個新的概念，本質上要求學生放飛想象、發散思維，抽象、創造出一個新的概念，在此過程中有效地發展邏輯推理和數學運算等素養。

案例4

若四面體P-ABC，PC =PB =AB =BC=CA =1，求另一條棱PA長的取值范圍。

解析：四面體P-A BC，如圖6所示，本題如果直接求解，構造函數模型，不僅計算量大，而且思維量也較大。反之，如果我們轉換思路，運用運動變化的觀念，會使問題得到快速解決。PA為所求棱長，將△ABC固定，讓△PBC繞BC轉動，當P點順時針旋轉至A點時，如圖7所示，PA =0，當P點逆時針旋轉至底面ABC內時，得到菱形ABP'C，如圖8、9所示，易求得P'A=根號3，則0＜PA＜根號3。

在數學教學中，適度選用一些具有思維含量的創新試題，引導學生發散思維，運用獨特的方法加以解決，不僅會使學生感受到數學的巨大魅力，增強學習數學的積極性，而且有助于培養學生思維的發散性、創新性，對學生的職業生涯具有重要意義。

（作者單位：江蘇省江陰中等專業學校，江蘇，無錫224433）

基金項目：2021年度江蘇省教育科學“十四五”規劃立項課題“中高職與本科職業教育一體化數學教材質量評價研究”（D/2021/03/97）；2022年度第五期江蘇省職業教育教學改革研究立項課題“學科育人視角下中職文化課德智交融課堂的構建與實踐研究”（ZYB227）；2023-2024年度江蘇職業教育研究立項課題“職業學校課程思政融入數學教學的實踐研究”（XHYBLX2023238125）