類比思想在初中數學單元教學中的應用

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標》）提倡單元教學，要求教師圍繞單元核心教學內容組織觀察、思考、辨析、總結等教學活動，指導學生在參與活動、解決問題的過程中類比不同單元之間、同一單元不同知識點之間的關系，由此提高學生的理解水平，指導其建構完整的數學知識體系。本文以華師大版八年級下冊第16章“分式”為例，探討類比思想在初中數學單元教學設計中的應用。

一、內容分析

“分式”是代數式教學體系的重要構成，是對分數、整式、一元一次方程、正整數指數冪等教學內容的進一步延伸。“分式”主要研究了分式的概念、分工的基本性質、加減乘除運算法則、分式方程的構建與解法、零指數冪與負整數指數冪，進一步完善了代數式知識體系。應用類比思想對“分式”單元內容展開教學，可體現分數、整式、方程、分式等分散知識的內在關聯，促進學生探究解決代數式問題的通性通法，提高學生的認知水平。本單元的教學重點是：分式的基本性質、分式運算、分式方程、冪與負整數指數冪、科學計數法。本單元的教學難點是：（1）分式的四則混合運算（整式運算、因式分解及分式運算的綜合應用）。（2）解可化為一元一次方程的分式方程及運用分式方程解簡單的應用題。（3）通過分數與分式的類比、方程與分式方程的類比、正整數指數冪與負整數指數冪的類比積累從具象到抽象、從特殊到一般分析問題的經驗，體會類比思想、方程思想、模型思想的內涵及用法。

二、類比思想在初中數學單元教學中的應用路徑

在認識事物的過程中，通過對比不同事物外在表象與內在規律，發現不同事物之間的相似關系，進而推理出不同事物在其他方面可能存在的相似關系，這種思想被稱為類比思想。類比思想具有發現相似性、推理預測、啟發思維、解決問題等作用。其中，發現相似性是指基于類比對象的結構、功能、性質及其他特征分析類比對象的具體關聯或屬性；推理預測是指基于類比對象的相似性推理二者在其他相似情境下存在的相似特性；啟發思維是指能夠為學生提供“類比”的思維模式，使學生打破傳統的思維定式，從新的視角展開科學研究；解決問題是指通過類比已知問題與未知問題的相似性，確定問題解決的切入點，找到解決問題的新方法。在初中數學單元教學設計中，教師可基于類比思想的內涵、特征確定類比思想的應用路徑，為教學活動的組織與銜接奠定基礎。“分式”是繼整式乘除之后對代數式的進一步研究。教師可從以下幾個角度出發，梳理類比思想在此單元教學設計中的應用思路。

一是基于生活現象與“分式”單元內容的聯系，聯系整式、整式方程解決現實問題的具體案例探討分式、分式方程解決問題的策略，體現“分式”單元內容與現實生活的聯系、與其他數學解題策略的聯系，指導學生基于聯系類比探究，得出新的數學結論。如，整式方程是對現實問題的抽象表達，是數學建模的一種策略。整式方程與分式方程在形式上具有相似之處，可指導學生基于二者的相似之處進行類比推理，論證分式方程的建構方法及用法，增強學生對分式方程意義的理解。

二是基于分數運算與分式運算之間的關系，通過類比分數運算得出分式加減法、乘除法算理算法，體現不同學段、不同單元數學知識的內在關聯。教師在設計教學時，可將分數部分知識作為導入內容，應用類比思想設計觀察、分析、對比、探究等多樣化的教學活動，指導學生在類比分數與分式的過程中感悟二者計算的通性通法，既鍛煉學生的推理、分析能力，又提高學生的運算水平。

三是基于“分式”單元內部知識點的邏輯關系，體現類比思想的進階應用特征。“分式”單元內知識點互有關聯，存在“螺旋上升”的構建特征。類比思想在初中數學單元教學設計的應用也應體現“螺旋上升”的特征。單元設計前期，教師可基于分數的相關知識類比分式的概念、性質等，引發學生對分式的理解；單元設計中后期，教師可基于分式、整式的相關知識類比分式方程、零指數冪與負整數指數冪等復雜知識，提高學生的認知水平。

三、類比思想在初中數學單元教學中的實踐

（一）類比思想融入目標設計

“分式”教學前，學生已經完成了分數、整式的加減、一元一次方程、二元一次方程組的學習，掌握了基本的數學概念及算理算法，知識儲備較為完善。此外，學生在解決分數、整式的加減問題時積累了類比解題的經驗，具備應用類比思想發現新知、解決問題的意識。基于此，可確定“分式”單元教學目標。

1.基于分數的概念、分數的加減運算法則類比分式的概念與算理算法，明確分式的定義，掌握分式約分、通分的一般概念與步驟，理解分式的加、減、乘、除及混合運算算理；基于冪的運算、冪的乘方的過程中感悟零指數冪、負整數指數冪的意義。

2.基于整式方程的概念、解整式方程的方法類比分式方程的概念及解分式方程的方法，明確解分式方程的一般步驟，并在此過程中積累類比推理、邏輯分析的學習經驗，體會轉化、類比的數學思想。

3.能基于用整式方程解決問題的具體案例，類比用分式方程解決問題的步驟與方法，形成用分式方程解決實際問題的思維習慣，掌握應用類比思想遷移思考、類比探究的數學方法。

（二）類比思想融入活動設計

“分式”單元教學活動的設計要體現知識之間的遷移性。教師可綜合應用情境教學法、問題教學法、討論教學法等教法設計類比教學活動，為學生提供更多類比推理的探究機會。

1.類比概念

基于分數與分式的相似形式，采取情境創設、探究教學法組織活動，引發學生對分式概念的類比分析。

【情境創設】

京滬鐵路全長1463 km，是在我國東部沿海地區縱貫南北的交通大動脈。綠皮火車的速度大約是120 km/h，綠皮火車從北京到上海需要用多少小時？假如動車速度為a km/h，那么動車從北京到上海需要用多少小時？

（設計意圖：通過創設生活情境引發學生的參與興趣，使其主動寫出這一分數，并基于這一分數類比遷移，寫出的式子，引出分式，讓學生觀察二者的差異，為學生探索分式的概念奠定興趣基礎。）

【數學探索】

（1）數學討論

兩個數相除，可以把它們的商表示乘分數的形式。如果用字母a、b分別表示分數的分子和分母，那么a÷b可以表示成什么形式呢？

（2）列出下列式子

①一塊長方形玻璃板的面積為20平方米，如果長是7米，那么寬是______米。

②小張用n元人民幣買了m袋瓜子，那么每袋瓜子的價格是______元。

③正n邊形的每個內角為______度。

（3）思考

這些式子與分數有什么相同與不同之處？你能歸納分式的定義嗎？

（設計意圖：通過提出探究性問題聚焦學生目光，使其基于分數的意義類比分式的意義，基于分數的形式、概念類比分式的概念以及分式有意義的條件、無意義的條件〈分母是否等于0〉。）

2.類比性質

采取討論教學法組織教學活動，引導學生基于分數的基本性質類比分式的基本性質。示例如下。

師：的分子、分母同時乘2，它的大小發生改變了嗎？的分子、分母同時除以4，結果與原數值的大小相等嗎？

生：的分子、分母同時乘2，得到，兩個數值是相等的；的分子、分母同時除以4，得到，與原數值大小相等。

師：對于分式，分子、分母同時乘m或同時除n，結果與原式相同嗎？

（設計意圖：先借助具體分數的分子、分母同時乘、除某個不為零的數的運算案例引導學生聯想分數的基本性質，即分數的分子與分母同時乘〈或除以〉一個不為零的數，分數的值不變。當學生激活已掌握的知識、經驗后，應用類比思想驅動其探究分式的基本性質，使其在列式計算×=，÷=×=等過程中發現分式的分子或分母同時乘〈或除以〉一個不為零的整式，分式的值不變的性質。）

3.類比算法

“分式”單元的運算教學包括分式的加減運算與乘除運算。分母不相同的分式進行加減運算時需要先通分或約分，這應用到了分式的基本性質，可類比分母不相同的分數加減運算案例引出分式加減運算算法。分式的乘除與分數的乘除存在關聯性，可類比分數的乘除運算引導學生探究分式的乘除運算技巧。應用類比思想進行教學設計時，教師可設計類比遷移知識單，通過適當留白驅動學生類比思考。示例如下。

【分式的加減類比探究】

【分式的乘除類比探究】

（設計意圖：借助類比遷移知識單展示分數加減法、乘除法的計算過程，引發學生類比，提出相關猜想，如：分式的加減法是否與分數相似，我們能否通過通分計算異分母分式的加減法，之后再通過約分達到結果的最簡形式？分式的乘除法與分數的乘除法類似嗎？計算分式乘法問題時，是否可以用分子乘分子、分母成分母，得到分式乘法的運算結果？知識單的留白部分為學生提供了更大的猜想空間，使其能類比已掌握的運算知識、經驗進行數學探究，確保學生扎實掌握分式加減法、乘除法運算的基本要領。）

4.類比方程

分式方程著眼于分式的現實應用。教師可聯系現實生活問題創設情境，類比一元一次方程的建立驅動學生探索分式方程的概念、特點、設立并解方程的技巧。具體示例如下。

【情境創設】

（1）A、B兩隊參與服裝加工比賽。B隊每小時比A隊多加工1件服裝，已知B隊加工24件服裝所用時間與A隊加工20件服裝所用時間相同，如何求A隊每小時加工服裝件數？

（2）某個兩位數的個位數字是4，如果把個位數字與十位數字對調，那么所得的兩位數與原兩位數的比值是，原兩位數的十位數字是幾？

（3）學校組織植樹活動。班主任教師騎自行車出發40分鐘后，班級學生乘汽車出發，結果班主任與學生同時到達。已知汽車的速度是自行車速度的3倍，自行車速度該如何求？

【討論交流】

（1）情境探究中得到的方程有什么共同特點？

（2）這些方程與整式方程有什么區別？

（3）該如何求這類方程的解呢？

（設計意圖：通過創設生活情境拉近學生與分式方程教學內容的距離，激發其探究意識，使其在情境參與的過程中假設未知數x并列方程，得到分數形式的方程。接著，教師基于情境提出延伸問題，通過組織討論交流活動為學生提供類比探究的平臺，使學生能夠基于已掌握的一元一次方程、二元一次方程組的建構，解方程的知識與經驗類比分式方程的概念、構建及解方程的一般步驟，為學生掌握解分式方程的一般過程及完整的書寫格式，發展類比思維、建模思維與應用思維提供幫助。）

5.類比冪的運算

零指數冪與負整數指數冪是“分式”單元的最后一課，課程內容與華師大版八年級上冊“冪的運算”課程內容有關。教師可基于學生已掌握的冪的知識設計類比思考活動，示例如下。

【想一想】

師：學過有理數乘方的知識后，我們都知道21=2，22=4，23=8，24=16，…有沒有20和2-3，如果有，那結果等于多少？

（設計意圖：以整數指數冪的運算為基礎，設計“想一想”的類比遷移問題，驅動學生思考。同時，通過板書整數指數冪的除法運算過程演繹整數指數冪的求值，為學生提供類比思路，如：20可被視作22÷22，類比整數指數冪的除法運算，可以推理出20=22÷22=22-2=1的結果。這樣，通過應用類比思想讓學生由已掌握的知識探索未知問題，并在此過程中總結新的數學知識點，進一步鍛煉學生的類比推理能力與抽象能力。）

（三）類比思想融入評價設計

評價設計是數學單元教學設計的重要一環。評價設計要以單元教學目標為依據，主要用于檢驗學生的單元學習成果。類比思想用于“分式”單元教學設計時，教師可從設計如下評價標準，用于檢驗學生的單元學習情況：（1）學生是否能主動參與到知識類比過程中，基于分數、整式方程、整數指數冪等知識類比分式、分式方程、負整數指數冪及零指數冪等知識。（2）學生是否能在觀察、分析、推理的過程中感悟類比思想，形成類比推理的學習習慣。

（設計意圖：從知識掌握、思維發展兩個角度出發設計評價標準，實現對學生單元學習情況的全方面檢驗，為學生檢驗自身類比學習不足、改正學習問題提供參考。）

（四）類比思想融入作業設計

提高作業設計質量，有益于學生解決更多具有代表性的數學問題，高效鍛煉學生的問題分析、解決能力。教師可將類比思想融入初中數學單元教學作業設計中，為學生提供應用類比思想分析、解決問題的學習平臺，進一步鍛煉學生的類比分析、推理、歸納能力。以“分式”單元作業設計為例，教師可基于分數與分式、整式方程與分式方程、整數指數冪與零指數冪、負整數指數冪的相似性設計作業，驅動學生應用類比思想完成作業。示例如下。

作業1：歸納整合

類比分數單元、整式方程單元知識體系建構過程，歸納“分式”單元知識點，并以思維導圖或概念圖的形式呈現出來。

作業2：簡便運算

作業3：實踐應用

我們知道時間、速度與距離的關系為速度×時間=距離。貨輪順流而行20 km與逆流而行10 km所用的時間相同，已知水流速度為2.5 km/h，如何計算這艘貨輪的靜水速度？

綜上所述，基于兩個研究對象相似之處進行類比推理，得出更多的結論，是類比思想的特點。教師在初中數學單元教學設計中應用類比思想，可進一步體現數學單元之間、數學單元內部知識點之間的關系，為學生建構完善的數學知識體系奠定基礎。具體設計中，教師應當把握類比思想的本質屬性，同時結合數學單元教學要求、學生發展需要梳理教學設計思路，按照教材分析、目標設計、教學活動設計及評價設計的思路設計教學，為初中數學單元教學的順利開展做好鋪墊。

（作者單位：甘肅省張家川縣阿陽中學）

編輯：張俐麗