指向模型觀念的初中“解二元一次方程組”教學(xué)設(shè)計研究

摘 要：模型觀念的培養(yǎng)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一大目標(biāo).方程是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要模型和研究對象，特別是二元一次方程組，其在生活中應(yīng)用廣泛，是培養(yǎng)學(xué)生模型觀念的重要途徑.當(dāng)前“解二元一次方程組”教學(xué)存在對部分內(nèi)容重復(fù)講解的情況.通過問題鏈串聯(lián)知識，可以幫助學(xué)生構(gòu)建模型鏈，有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的模型觀念等核心素養(yǎng).因此，本文基于問題鏈的教學(xué)模式，對指向模型觀念的“解二元一次方程組”教學(xué)進(jìn)行再設(shè)計.

關(guān)鍵詞：模型觀念；問題鏈；解二元一次方程組；教學(xué)設(shè)計

“模型”的概念正式提出前，數(shù)學(xué)家們就已經(jīng)在教學(xué)中關(guān)注形成解決問題的模式.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中提出的各類“術(shù)”就是解決問題的通用方法.［1］法國數(shù)學(xué)家笛卡爾（R.Descartes）也表示會通過將解決問題變成范例，用以解決其他問題，形成了“模型”的雛形.［2］美籍匈牙利數(shù)學(xué)家喬治·波利亞（G.Polya）在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)：對解題的理解、研究和講授》中也明確提出要根據(jù)問題的本質(zhì)總結(jié)對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.［3］對于目前的數(shù)學(xué)教育，曹一鳴教授指出：“模型是一種結(jié)構(gòu)，是一種過程或行為的定性或定量的表示，通過模型，可以知道原型的本質(zhì)屬性.”［4］對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說，構(gòu)建模型具有對問題本質(zhì)分析的輔助作用，以及問題解決的遷移效果.“解二元一次方程組”作為方程模型的重要內(nèi)容，是發(fā)展學(xué)生模型觀念的重要素材.通過對“解二元一次方程組”教學(xué)的分析與重構(gòu)，可以實現(xiàn)學(xué)生模型觀念的發(fā)展.

1 模型觀念的概念與生成條件

在模型的構(gòu)建過程中，學(xué)生能夠經(jīng)歷知識的形成過程以及模型建立的過程，從而發(fā)展模型觀念等核心素養(yǎng).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）指出：“模型觀念主要是指對運用數(shù)學(xué)模型解決實際問題有清晰的認(rèn)知.知道數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實聯(lián)系的基本途徑.”［5］模型觀念關(guān)注對數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)與分析.對于學(xué)生來說要實現(xiàn)以下目標(biāo)：①提升其對數(shù)學(xué)問題解決范式、模型的構(gòu)建；②運用數(shù)學(xué)模型解決實際問題；③感受模型甚至是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實的聯(lián)系以及意義.

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開問題，模型觀念的培養(yǎng)也離不開問題，充分利用問題促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)變得尤為重要.在模型形成過程中，往往不是由一個問題達(dá)成的，而是多個問題串聯(lián)，形成問題鏈，使得學(xué)生模型觀念逐步生長的.基于問題鏈的教學(xué)具有以下特征：①問題鏈具有主干問題，能反映數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展過程的關(guān)鍵問題；②問題之間是有順序的，知識間能反映一定的發(fā)展過程；③問題是預(yù)設(shè)的，但教學(xué)中需要隨課堂改變.［6］問題鏈的教學(xué)模式，充分利用了主干問題及其關(guān)系驅(qū)動學(xué)生進(jìn)行思考，體現(xiàn)了知識間的思維脈絡(luò)，是模型構(gòu)建的必經(jīng)途徑.［7］

2 指向模型觀念的初中“解二元一次方程組”教學(xué)設(shè)計的具體流程

2.1 指向模型觀念的教學(xué)流程

基于模型的教學(xué)，首先需要構(gòu)建模型.數(shù)學(xué)模型是結(jié)合現(xiàn)實情境，利用數(shù)學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行分析、構(gòu)建，并加以驗證的.李明振教授構(gòu)建的數(shù)學(xué)建模一般認(rèn)知過程模型被廣泛認(rèn)可，其中包括現(xiàn)實問題情境信息，分析問題情境與條件狀態(tài)，建立假設(shè)簡化問題，建立數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)求解，對理論結(jié)果進(jìn)行解釋分析與檢驗，探索理論性結(jié)果對現(xiàn)實問題的適用性.［8］

基于數(shù)學(xué)建模的一般認(rèn)知過程，關(guān)注指向模型觀念的數(shù)學(xué)教學(xué).其中，模型以問題的形式由教師構(gòu)建，即數(shù)學(xué)建模的一般認(rèn)知過程包括模型的創(chuàng)設(shè)情境、設(shè)立模型等，是教師在為學(xué)生模型觀念的培養(yǎng)“創(chuàng)設(shè)條件”.數(shù)學(xué)模型的求解、分析的過程，也是學(xué)生在進(jìn)行具體分析的過程中“體驗?zāi)Ｐ汀?數(shù)學(xué)模型要進(jìn)行現(xiàn)實分析與檢驗，對應(yīng)數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程，即“應(yīng)用模型”，讓學(xué)生對構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型進(jìn)一步遷移應(yīng)用與檢驗.

如圖1所示，基于以模型為基礎(chǔ)的教學(xué)流程以及問題鏈的教學(xué)模式，在開展指向模型觀念的教學(xué)時有以下流程.首先，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)問題，通過分析知識點，分析得到具有整體結(jié)構(gòu)、問題關(guān)聯(lián)的問題鏈，從而形成問題的模型結(jié)構(gòu).其次，教師對模型內(nèi)容進(jìn)行深入分析，在教學(xué)過程中通過逐步的問題引導(dǎo)、問題分析，幫助學(xué)生自主構(gòu)建、總結(jié)形成模型.最后，形成了基礎(chǔ)模型后，教師還需對模型進(jìn)行遷移應(yīng)用，以及檢驗，必要時還可以對模型的應(yīng)用范圍進(jìn)行擴充，以讓學(xué)生感受到構(gòu)建模型的意義與價值.

2.2 指向模型觀念的“解二元一次方程組”的知識結(jié)構(gòu)分析

在課標(biāo)“方程與方程組”的學(xué)習(xí)要求中，主要包括一次方程和二次方程兩類.一次方程包括了一元一次方程、二元一次方程組、三元一次方程組（選學(xué)），二次方程主要為一元二次方程的相關(guān)知識，在此主要探討的是一次方程的鏈條.在二元一次方程組的解法學(xué)習(xí)中，離不開一元一次方程的基礎(chǔ)［5］，也更加需要三元（多元）一次方程組的拓展.可以將上述課標(biāo)所提及的內(nèi)容劃分為3個水平（見表1），水平0則是在開始學(xué)習(xí)二元一次方程組前已經(jīng)具備的知識基礎(chǔ).

在具體內(nèi)容的教材設(shè)置上，人教版與華師大版在教材內(nèi)容的設(shè)置上較為相似，都形成了“概念—解法—應(yīng)用”的教學(xué)模式.北師大版在一元一次方程、二元一次方程組的應(yīng)用中列舉了具體的典型題型，且在二元一次方程組的學(xué)習(xí)中，加入了二元一次方程組與一次函數(shù)的關(guān)系，建構(gòu)起二元一次方程組的解的幾何意義，強化了數(shù)形結(jié)合的思想與操作.

無論是課標(biāo)還是各版本教材，都關(guān)注了二元一次方程組學(xué)習(xí)的銜接性，強調(diào)問題的遞進(jìn)與方程模型的應(yīng)用，這也為開展“解二元一次方程組”教學(xué)提供了參考.

2.2.1 “二元一次方程組”的模型構(gòu)建分析

方程是數(shù)學(xué)的重要模型和研究對象，蘊含著眾多數(shù)學(xué)思想與方法，“解方程”的學(xué)習(xí)能有效促進(jìn)學(xué)生模型觀念、運算能力的進(jìn)階，但目前教學(xué)中對于一次方程的解法學(xué)習(xí)設(shè)計上較為分散，知識間缺少聯(lián)系與整合.學(xué)習(xí)解二元一次方程組，不僅能有效鞏固一元一次方程的解法，還能鏈接三元（多元）一次方程.對于多元一次方程組，人教版《教師教學(xué)用書》還提供了“用行列式和矩陣解一次方程組舉例”的資料，具體分析了一次方程中的高等數(shù)學(xué)解法.究其本質(zhì)，就是一元一次方程解法的模型化.因此，在教學(xué)中強化“解二元一次方程組”的模型構(gòu)建尤為重要.

2.2.2 “二元一次方程組”的問題鏈分析

問題鏈通過問題引導(dǎo)串聯(lián)知識，能夠有效整合知識結(jié)構(gòu)，使學(xué)生對于一次方程的解法問題理解更為深入，從而發(fā)展學(xué)生的模型觀念，同時進(jìn)一步發(fā)展其運算能力、推理能力等核心素養(yǎng).

在教學(xué)設(shè)計過程中，應(yīng)關(guān)注課標(biāo)、教科書等內(nèi)容的整體分布.雖然課標(biāo)中沒有具體說明解二元一次方程組所使用的消元法，但在教材與具體教學(xué)中，主要包括代入消元法與加減消元法，強調(diào)解二元一次方程組的本質(zhì)就是消元.但在面對不同類型的題目時，如何選擇合理的消元方法進(jìn)行求解，需要關(guān)注二元一次方程組中未知數(shù)系數(shù)的復(fù)雜程度以及相互關(guān)系.簡單來說就是，二元一次方程組不同難度的形成來源于其系數(shù)的復(fù)雜性，對不同情況的系數(shù)進(jìn)行分析，形成問題鏈，也就是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程.

2.3 指向模型觀念的“解二元一次方程組”教學(xué)再設(shè)計

基于上述分析，結(jié)合問題鏈的教學(xué)模式，對指向模型觀念進(jìn)行“解二元一次方程組”教學(xué)再設(shè)計.具體設(shè)計流程如下.

2.3.1 教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重難點

教學(xué)目標(biāo)：

①掌握解二元一次方程組的方法，會根據(jù)題目類型合理選擇代入消元法與加減消元法進(jìn)行求解；

②經(jīng)歷二元一次方程組求解的進(jìn)階過程，掌握消元、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；

③經(jīng)過算法模型的建立，進(jìn)一步發(fā)展模型觀念、運算能力等核心素養(yǎng).

教學(xué)重點：解二元一次方程組的方法、消元的思想.

教學(xué)難點：解二元一次方程組的解法模型.

2.3.2 教學(xué)過程

環(huán)節(jié)一：問題提出，形成初步概念.

問題鏈的教學(xué)模式要密切關(guān)注主干問題，對于問題的引入也尤為重要.學(xué)生在系統(tǒng)學(xué)習(xí)了二元一次方程組的解的概念后，對求解二元一次方程組產(chǎn)生了強烈的興趣和求知欲.因此，如何引導(dǎo)學(xué)生將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為其熟悉的一元一次方程成為教學(xué)中的一大重難點.鑒于此，本文設(shè)計了如下基于問題鏈的解二元一次方程組的相關(guān)教學(xué)內(nèi)容，由簡入深，層層遞進(jìn).

針對教學(xué)的整體目標(biāo)，可以確定問題鏈的主干問題，即達(dá)成最終的教學(xué)目標(biāo).將主干問題設(shè)置為二元一次方程組的解法.

師：在上節(jié)課，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了二元一次方程組及其解的概念，但如何對二元一次方程組進(jìn)行求解呢？能否將一個二元一次方程組轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次方程進(jìn)行求解呢？

環(huán)節(jié)二：問題進(jìn)階，知識鏈?zhǔn)桨l(fā)展.

按照學(xué)生的認(rèn)知水平以及知識的發(fā)展順序，解二元一次方程組的方法是不斷進(jìn)階的，并且可以由問題鏈進(jìn)行串聯(lián)的，每個問題都是由前一個問題進(jìn)行改變和發(fā)展而來的，由此可以促進(jìn)學(xué)生對前一個問題進(jìn)行深入思考，

對新知識進(jìn)行深入學(xué)習(xí)，從而加深了學(xué)生的理解.

師：同學(xué)們，你能解下面這個二元一次方程組嗎？

x＋y=10，

2x＋y=16.

解法構(gòu)建：當(dāng)二元一次方程組中未知數(shù)系數(shù)絕對值為1時，在已知方程組的兩個方程中選擇一個適當(dāng)?shù)姆匠蹋瑢⑺哪硞€未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，再將此代數(shù)式代入到另一個方程，即可轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解.

分析：本問題是人教版

《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)七年級下冊》

中在“二元一次方程組的概念”數(shù)學(xué)中列出的方程，是一個典型的代入消元法求解的過程，也是引入“消元”思想的重要過程.在此直接引用此問題，也是對前一課時構(gòu)建的情境進(jìn)行探討，強化課時之間的銜接.

師：同學(xué)們，剛才我們很順利地用一個未知數(shù)表示出了另一個未知數(shù)，且表示的結(jié)果很簡單，那么我們來嘗試用剛才的方法計算下面的二元一次方程組.

3x＋2y=10，

5x＋2y=16.

師：當(dāng)方程組中未知數(shù)系數(shù)的絕對值都不為1時，用某個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)的代數(shù)式會出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，在計算時較為復(fù)雜.那么我們能否用其他方法達(dá)到消元的目的呢？請觀察這兩個二元一次方程組，它們有什么特點？可以用什么方式來消元呢？

3x＋2y=10，

5x＋2y=16和3x-2y=10，

5x＋2y=16.

解法構(gòu)建：當(dāng)其中兩個方程的某個未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)或相等時，可以把方程的兩邊分別相加（系數(shù)互為相反數(shù)）或相減（系數(shù)相等）來消去這個未知數(shù)，得到一個一元一次方程，進(jìn)而求得二元一次方程組的解.

分析：通過讓學(xué)生鞏固上一方法，發(fā)現(xiàn)解法較為復(fù)雜，引出要探索新方法的學(xué)習(xí)興趣，再通過一組相似的方程組，讓學(xué)生可以進(jìn)行對比觀察與學(xué)習(xí)，從而發(fā)現(xiàn)加減消元法的原理，幫助他們形成系數(shù)相同則相減、系數(shù)互為相反數(shù)則相加的模型觀念.

師：那么，如果沒有同一未知數(shù)的系數(shù)相同，或互為相反數(shù)呢？還能采用剛才的方法嗎？嘗試用加減消元法解下列方程組.

3x＋2y=10，

5x＋3y=16.

解法構(gòu)建：進(jìn)一步，當(dāng)同一未知數(shù)的系數(shù)不相等，也不互為相反數(shù)時，需要利用等式的性質(zhì)進(jìn)行變化和構(gòu)建，即將某一未知數(shù)的系數(shù)變化為兩個原系數(shù)的最小公倍數(shù)，從而將問題轉(zhuǎn)化為子問題，便可以順利解決.

分析：本問題是對加減消元法的進(jìn)一步深入探索，得到一般方程組的解法，由此學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)，在復(fù)雜方程組的問題解決中大多以采用加減消元法的方式進(jìn)行.

師：如果遇到如下更為復(fù)雜的問題，當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)含有分?jǐn)?shù)時，該如何解決呢？

13x＋12y=10，

15x＋13y=16.

解法構(gòu)建：面對含分母、括號的問題時，需要將方程組進(jìn)行化簡，將未知數(shù)系數(shù)變?yōu)檎麛?shù)后，即可

進(jìn)行求解.

分析：對于更為復(fù)雜的二元一次方程組，則需要先進(jìn)行分別化簡，再進(jìn)行消元.在知識結(jié)構(gòu)分析中發(fā)現(xiàn)，按照課標(biāo)要求，學(xué)生應(yīng)達(dá)到本課時內(nèi)容的前置水平0，即能解一元一次方程和可化為一元一次方程的分式方程.因此，學(xué)生雖已經(jīng)學(xué)習(xí)過方程的化簡方法，但學(xué)生面對此內(nèi)容與新知識相結(jié)合時，還未形成化簡的意識與認(rèn)知.因此，教師在教學(xué)時要完善學(xué)生的知識框架.

3 總結(jié)

3.1 重整知識體系，突破課時限制

基于問題鏈的教學(xué)往往是對知識進(jìn)行梳理，在課時內(nèi)形成邏輯結(jié)構(gòu)，但鮮有融入課外知識的整合.這樣的整合又與單元教學(xué)有所區(qū)別，單元教學(xué)只針對了單元中有知識關(guān)聯(lián)的問題.因此，可以認(rèn)為問題鏈的教學(xué)，也應(yīng)該突破課時限制.本節(jié)課的二元一次方程組的代入消元、加減消元法在各版本教材中都分為兩個課時進(jìn)行教學(xué).但事實上，在解二元一次方程組的過程中，代入消元法較為復(fù)雜，加減消元法使用更為普遍.教師在教學(xué)時將二者結(jié)合，可以強化學(xué)生對兩種方法的理解，也可以讓知識串聯(lián)更加緊密.

3.2 強化知識鏈條，突出問題共同點

問題鏈關(guān)注知識的串聯(lián)，在此設(shè)計過程中教師需要關(guān)注對前置問題的追問，不斷對前一問題進(jìn)行變式，以問題驅(qū)動學(xué)生進(jìn)行思考，在每一個子問題的設(shè)置中，只對上一問題的方程組進(jìn)行了略微變形，引導(dǎo)學(xué)生思考上一問題的方法是否仍然適用，面對這一變形應(yīng)如何處理，是否應(yīng)該形成新的方法.［9］同時，對問題的新的變形，也是在將新問題轉(zhuǎn)化為前一問題的過程，學(xué)生能夠關(guān)注到問題中“變”與“不變”.“變”就是知識鏈條的發(fā)展，“不變”就是模型本質(zhì)的體現(xiàn).

3.3 關(guān)注總結(jié)步驟，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

課堂最后，教師幫助學(xué)生對問題進(jìn)行抽象，總結(jié)出每個類型的問題的特點，即面對二元一次方程組不同類型的字母系數(shù)，應(yīng)采用何種方法去解決.學(xué)生通過構(gòu)建模型，能夠進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)模型的意義，發(fā)展模型觀念，并遷移到學(xué)習(xí)其他知識的過程之中，形成總結(jié)歸納、構(gòu)建模型的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法.

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