促進學習進階的“三個關注”

學習進階指學生在學習和探究某一主題時，經歷一個依次進階、逐層深化的思維探究過程。學生在學習過程中會經歷認知過程中的多個中間水平“階梯”，這些“階梯”構成了學習進階鏈，將學生的學習起點和終點緊密連接起來，使課堂學習成為學生不斷探索與發展的思維進階之旅。如何在數學教學中促進學生實現學習進階呢？筆者以一道非常規數學題的解題教學為例做具體闡釋。

一、關注學習進階的起點和終點

當前的數學考試評價對非常規問題的考查日益增多，教師需要思考如何通過分析學生的進階起點和終點，合理設置學習目標，更好地幫助學生在解題過程中實現思維進階。

下面是一道關于儲物柜的非常規數學題。

學校有343名學生，有從1到343編號的343個儲物柜。開學第一天，343名學生在校外就以下計劃達成一致。第1名學生進入學校后，打開所有的儲物柜。第2名學生進入學校后，關閉每個編號為偶數的儲物柜。第3名學生將編號為3的倍數的儲物柜“倒轉”一次，即同原來儲物柜的開關狀態相反。第4名學生將編號為4的倍數的儲物柜“倒轉”一次。以此類推，直到343名學生依次進入學校并“倒轉”相應編號的儲物柜。哪些儲物柜最終會保持打開狀態？

這道題的條件信息、目標信息、運算信息都不明確，八年級學生很難僅憑記憶或原有經驗解題。教師在分析學生進階起點時，應關注學生的心理狀況、已有知識、認知盲點等，并據此設定學習目標。學生學習進階的起點是其原有的認知結構，八年級學生已經學習“因數與倍數”“平方數的認識”，認知模糊點和盲點是“平方數的因數個數特征”。基于以上分析，教師將本節課的學習進階終點設置為：學生能夠理解并掌握“平方數的因數個數始終為奇數的推理過程”，能用列表和邏輯推理兩種方法解答；經歷數學探究過程，培養觀察、猜想、驗證、推理等能力，并掌握轉化、歸納的思想；學會打破思維定勢，敢于提出質疑，能夠用多種途徑或方法解決問題，提升發散思維能力。

二、關注思維發展階點的支架設置

在學習過程中，教師要在學生學習的每個階點精心設計“思維支架”，助力學生“爬階梯”，引領學生從低階思維向高階思維發展。課堂上，教師出示這道非常規問題后，學生發現面臨的問題非常多，比如，如何準確把握題目意思、采取何種方法解題等。這就需要教師在教學過程中設置不同支架，引領學生跨越每個思考階點。

首先，在學生沒有解題思路時，教師提供方法思路支架，引導學生分析問題。如，教師提出“儲物柜數量太多導致解題很困難，我們為什么不從少一點的儲物柜開始嘗試呢？”學生自然想到“化繁為簡”的方法，隨即在數量少的情況下展開探究。在學生動手嘗試后，教師收集展現學生思考過程的作品（見表1、表2，“√”代表儲物柜被打開，“×”代表儲物柜被關閉），并用投影展示。

當儲物柜個數為3時，1號學生開關儲物柜之后，1～3號儲物柜都用“√”表示打開狀態；2號學生開關儲物柜之后，2號儲物柜由開變成關，就由“√”變成“×”。

在學生完成上述推理之后，教師引導學生觀察兩個表格。學生比較后發現，額外增加一個儲物柜并不會改變之前的儲物柜開關情況。繼續觀察上述表格，學生發現編號1下面有很多重復的“√”，編號2下面有很多重復的“×”，這些重復的“√、×”干擾了他們的思考。于是，教師引導學生思考，如何借助簡化版的列表解決問題。學生通過推理畫出9個儲物柜開關情況的簡化版列表（見表3）。

接著，各小組展開討論，小組代表匯報各小組的思考成果。大部分學生認為，觀察簡化版表格的對角線，可以清晰地看到最終哪些儲物柜被打開。這時，學生遇到的問題是，不知道最后被打開的儲物柜編號數字有什么規律，難道要一直這樣列表推理嗎？

其次，在學生思維無法突破時，教師給出關鍵問題支架，引導學生思考規律。教師給出第一個問題支架：“你能發現是哪些儲物柜的編號數字始終操控儲物柜的開關嗎？”學生根據提示分析，發現最終打開的是編號為1，4，9等平方數的儲物柜，從而猜測編號為1～343內的所有平方數的儲物柜最終都能被打開。教師給出第二個問題支架：“每一次能控制儲物柜開或關的數字有什么規律？”學生開始縱向觀察表3，發現編號為8和9的儲物柜編號數字的因數個數能操控儲物柜的開關，例如編號數字8的因數（1，2，4，8）為偶數個，所以儲物柜經過多次“開”“關”的循環后，最后被“關閉”；編號數字9的因數（1，3，9）為奇數個，經過“開”“關”的循環后，最終一定剩下一個因數對應“開”，所以儲物柜最終被打開。由此，學生明確：可根據“一個數字的因數個數是否為奇數個”判斷儲物柜最終是否被打開。

最后，在學生思維需要提升時，教師給出定理支架（因數個數定理），引導學生運用定理分析問題。學生將之前的猜測“平方數最終被打開”與“編號數字因數為奇數個的儲物柜最終被打開”相聯系思考，發現可以得到一個新的問題：是否所有因數為奇數個的數都是一個平方數？這時，教師可以舉例講解因數個數定理：一個數的因數是由其所有質因數的指數加1后的乘積決定的，如60可以分解為“60=[22]×3×5”，那么60的因數個數用“（2+1）×（1＋1）×（1+1）”計算，是12個，

三、關注驗證學習進階的評價

在基于學習進階的評價中，教師通過診斷并記錄學生目前所處的認知階段，以及展示學生可能實現思維進階的路線，關注學生思維發展的情況，了解學生學習進階的情況。

在教學中，教師分發給學生一張提前設計好的解題記錄與評價單。學生在單子上記錄思路或者問題，教師通過檢查學生的記錄及時了解他們處于思維進階的哪個階段，他們能否從不同角度探索問題、從不同層面分析問題，從而為改進教學和學習提供有效的依據。解題記錄與評價單主要包括三個部分：一是理解問題部分，通過判斷學生能否用簡潔的語言重述問題，評價學生對問題的思考程度，如讓學生準確回答出1～3號學生操作儲物柜之后，有哪些儲物柜最終被打開；二是擬訂計劃部分，通過判斷學生的解題計劃是部分正確還是完全正確，評價學生的思考是否有提升、學生是否遇到思維阻礙、學生的思考如何進階；三是檢查和拓展部分，通過判斷學生是否有多種解題方法，評價學生是否具有發散性思維，如觀察學生能否采取“列表”和“分析數字因數個數”等方法解答問題等。