關于多元函數微分學的教學改革策略及反思

摘要：文章通過對多元函數微分學知識體系中所蘊含的類比思想、數形結合思想、化歸思想等數學思想方法及其中蘊含的嚴謹的作風、踏實的態度、積累的效應等做人做事的道理的剖析，提出在多元函數微分學的教學中滲透數學思想方法及為人處世的道理，讓學生在學到專業知識的同時提高自己分析問題、解決問題的能力，感悟數學的精髓，通曉天下道理。通過教學改革實踐及反思，從學生的評教及上課的態度等方面可以看出改革后的教學模式比傳統的教學模式收到更好的教學效果，改革后的教學模式更能刺激學生學習本專業課程的興趣，更受學生的歡迎。

關鍵詞：數學分析；多元函數微分學；教學改革；數學思想方法

1 在多元函數微分學教學中滲透數學思想方法［1］

以華東師范大學數學科學學院主編的《數學分析》［2-3］教材為例，多元函數微分學包括多元函數的極限與連續、多元函數微分學、隱函數定理及其應用共三章內容，是一元函數微分學在理論上的推廣。多元函數微分學中蘊含著豐富的數學思想方法，以下結合課程內容列舉說明講解策略。

1.1 類比思想［1］

多元函數的概念、求定義域及某點處函數值的講解可以類比一元函數：一元函數的定義是給定數集（實數集或其子集），若在某一對應法則下，在給定的數集中每取一個自變量，都有唯一的因變量與之對應，則稱該對應法則是定義在該數集上的函數，記為y=f（x），x∈D，稱x為自變量、y為因變量、D為定義域［2］，函數的定義域是使函數有意義的自變量的取值范圍，函數值的取值范圍稱為函數的值域。同理，多元函數與一元函數的區別在于自變量從一個增加到多個，所以二元函數的定義可以類似敘述為：給定平面點集（全平面或其子集），若在某一對應法則下，在給定的平面點集中每取一個點，都有唯一的實數與之對應，則稱該對應法則是定義在該數集上的二元函數，記為z=f（x，y），（x，y）∈D，稱（x，y）為自變量、z為因變量、D為定義域［3］，可以看出，二元函數中的定義域是平面點集，每一個點表示一個有序實數對。二元函數的值域與一元函數類是實數集或其子集。將自變量從二元推廣到n元也可以用類似的方法定義和講解。

求一元函數的定義域的原則，例如分母不能為零、偶次被開方數大于等于零、真數大于零等在多元函數中依然成立，只是要注意的是二者的區別，比如一元函數求出的定義域是實數軸上的點集，二元函數求出的定義域是平面點集，它是兩個自變量間的關系。

二元函數的極限分為二重極限和累次極限兩種類型，二重極限是平面上的動點（x，y）趨近于定點（x，y），是兩個自變量同時趨于兩個定值。x與y分先后次序趨近于x與y的極限稱為為累次極限，根據x→x與y→y的先后次序不同，累次極限有兩種類型。計算累次極限的原則是計算第一個變量的極限時，將第二個變量看成常數，計算第二個變量的極限就是轉換成了一元函數的極限。

討論重極限的存在性也可以類比一元函數在一點處的極限與單側極限間的關系，因為x→x只可能有兩種趨向，即分別從左邊和右邊趨近于x，因此一元函數在一點處存在極限只需要滿足兩個單側極限都存在且相等三個條件。同理，二元函數重極限存在的充要條件是平面上的動點沿所有路徑趨向于定點時的重極限都存在且相等。因為平面上的動點趨近于定點的路徑有無數條，讓無數條路徑的極限都存在且相等沒有可行性，但逆向使用就比較容易。于是得到討論重極限的不存在性只需要找到某條路徑，使函數沿該條路徑的重極限不存在或找兩條路徑，使函數沿這兩條路徑的重極限存在但不相等即可。再加上重極限與累次極限的關系，如果兩個累次極限都存在但不相等，則重極限必不存在，這樣就歸納出考察重極限不存在的三種方法。

二元函數的連續性的定義也類似于一元函數，二元函數在點（x，y）連續的充要條件是該函數在該點的重極限值等于該點的函數值，同理，稱不連續點為間斷點。類似于一元函數，若重極限值存在而該點處的函數值不存在，稱為可去間斷點。但由于平面上的動點趨近于定點的路徑有無數條，因此，間斷點的分類就無法像一元函數那樣深入討論。

二元函數可微性定義也可以類比一元函數微分定義，一元函數f（x）在點x的可微性的定義［1］：設函數f（x）在u（x）有定義，給x改變量Δx，若相應的函數值增量Δy=AΔx+o（Δx），則稱f（x）在x可微，并稱AΔx為函數在該點的微分，記為dy|=x=AΔx。通過一元函數可導與可微的關系的討論，得出定義中的A=f′（x），再推出Δx=dx，微分公式進而改寫為dy|=x=f′（x）dx。這樣一來，就將微分與導數建立起了關系，只要會計算導數，自然就會計算微分，微分的運算法則也可以根據導數的運算法則順推；類似于連續性及可導性的討論方法，從點到區間的理論是，如果函數在區間I上每一點都可微，則稱該函數在該區間上可微，記為dy=f（x）dx。同理，二元函數的可微性的定義［2］：設函數z=f（x，y）在p有定義，給x、y改變量Δx、Δy，若相應的函數值全增量可以表示成Δz=AΔx+BΔy+o（ρ）（其中ρ=Δx+Δy），則稱該二元函數該定點處可微，并稱等式中的線性主部為函數在該點的微分，記為dz|p=AΔx+BΔy，通過分別假設Δx及Δy分別為0，可推出A和B分別是函數在該點關于x和y的偏導數，于是，二元函數在點p的全微分就可以寫成：dz|p=f（x，y）dx+f（x，y）dy，這樣一來，只要會計算偏導數，就會計算全微分。根據偏導數的極限定義可以看出，二元函數對x求偏導數時將y看成常數，對y求偏導數時將x看成常數，因此只要會求一元函數的導數，自然會求多元函數的偏導數。當然二者之間因為自變量的增多，自然也有區別：一元函數中可導是可微的充要條件，而二元函數中可微可以推出可偏導，反之則不成立。上課時應該教學生用類比的思想方法，順推的理論自然而然，講解的重點應該放在二者的不同之處并講清不同的真正原因；空間曲線的切線與法平面方程、曲面的切平面與法線方程的講解也可以類比平面曲線的切線與法線方程。

隱函數定理及其應用中的第一節中由二元方程所確定的隱函數的導數公式的推導既可以由上冊中介紹的復合函數求導原則推導的隱函數求導法推導出由偏導數求隱函數導數的公式，也可以用多元函數的中值定理證明；有一元隱函數的求導公式之后，完全可以用類比的思想方法，推導出二元隱函數的偏導數公式及n元函數的偏導數公式，因此，只要會求偏導數，就會求隱函數的導數即偏導數。

1.2 化歸思想［1］

化歸思想在數學中無處不在［4］，它的基本思路就是將一個新出現的數學問題轉化成已知的數學問題，進而解決問題。利用分子有理化、分母有理化的方法消去零因式的方法、重要極限、無窮小量乘以有界量等在一元函數中常用的極限算法在多元函數中依然適用；在計算累次極限中中計算第一個變量的極限時，將第二個變量看成常數，則可以將問題化歸成一元函數極限的計算，一元函數極限的計算方法此依然適用，計算第二個變量的極限時，將問題就真正化歸到一元函數的極限，偏導數的計算與累次極限的計算算理相通，計算某個變量的編導數時將其余變量看成常數，這樣就將新問題化歸為一元函數導數的計算，一元函數的所有求導公式及法則在多元函數中依然適用。

數形結合思想也是學習數學分析的一種常用且好用的方法，它通過圖形將抽象的問題具體化，幫助學生理解抽象的知識。例如，講到二重極限的存在性的時候，首先可以類比一元函數在某點的極限的存在性與其單側極限的關系，在講這個關系的時候，一定要在黑板上畫圖輔助講解，通過圖形學生很容易理解，x無限趨近于x只有兩種趨向，即從x左邊或右邊趨近于x，分別稱為函數y=（x）在點x的左右極限，統稱單側極限。那既然只有兩種趨向，只要函數沿這兩種趨向的極限都存在且相等就能確保函數y=f（x）在點x收斂，而且要滿足三個條件是完全可以做到的；而二重極限因為涉及兩個自變量，p是平面上的一個定點，輔助圖形，學生可以理解平面上的動點p趨近于定點p的路徑有無數多條，只有當動點p（x，y）沿任何路徑趨近于定點p的重極限都存在且相等，才能保證重極限存在，但讓無數條路徑的極限都存在且相等是做不到的。進而引出判斷重極限不存在的條件，即將“無數條路徑的極限都存在且相等”否定即可，則只需要找到某條路徑，使函數沿這條路徑的重極限不存在，或找出兩條路徑，使函數沿這兩條路徑的重極限存在但不相等，這完全是有可行性的。這其中蘊含了換位思考的道理，一條路走不通的時候不妨換個方向，反而會發現“柳暗花明又一村”。

第十八章中幾何應用中平面曲線的切線與法線方程的公式推導，其實就是第五章中函數在一點處的導數就是函數所對應的曲線在該點的切線斜率，只需要將顯函數的導數f′（x）換成-F（x，y）F（x，y）就可以推導出公式，空間曲線的切線方程與法平面方程也是通過化歸思想，割線的極限位置即為切線推導出的。

數學分析課程中蘊含著豐富的數學思想方法，例如極限思想、函數思想、方程思想等，如何將數學思想方法有效滲透到課堂教學中，是值得課程主講教師去實踐、反思及改進的。“授之以魚，不如授之以漁”，只有學生學到了數學思想方法，才真正學到數學的精髓，才擁有終身學習的能力。

2 在多元函數微分學教學中讓學生通曉道理并感悟到哲學思想

2.1 在專業學習中感悟到做人做事的道理［4］

數學分析課程中蘊含著豐富的做人做事的道理，多元函數微分學也一樣，有待于授課教師去深挖，高校專業課堂教學的任務不僅僅是傳授專業知識，更重要的是教會學生為人處世的道理。例如理論的嚴謹性就是數學分析課程的一大特點，在講解二重極限時，首先要強調二元函數z=f（x，y）在p（x，y）的某領域內有定義，這是前提，每次講解一個定義或定理時都認真分析定義或定理的每一句話的含義及其在定義及定理中的邏輯關系，在講解例題時盡量多用板書，將計算、證明的過程一步步呈現給學生并強調書寫規范，目的就是培養學生嚴謹的學習及生活態度。教育學生在日常生活及學習中也要養成嚴謹的態度，養成謹言慎行的良好習慣。在講到多元函數的高階偏導數、復合函數的偏導數時，一元函數中的求導公式和法則在多元函數中依然成立，但多元函數因為自變量的增多，偏導數的計算難度自然更大。如果能學好一元函數的導數，則學習多元函數的偏導數時，只需要將注意力集中在與一元函數的不同上即可，這就說明數學分析的學習是需要前期的積累的，例如，要學好多元函數微分學，首先必須學好一元函數微分學，這與日常生活中的道理是相通的，想要成功首先必須要為自己設立一個大的目標，再將大的目標分解成一個個小目標，然后踏踏實實地努力，經過不斷的積累，隨著一個個小目標的實現，大目標終將會實現。當講到高階偏導數只能一階一階地求時，告知學生學習及生活中做人做事也是這個道理，必須腳踏實地、一步一個腳印地努力。尤其是數學專業課的學習，必須要有踏實的態度，好成績的取得不可能一蹴而就。

2.2 在專業學習中感悟到數學分析課程蘊含的哲學思想［4］

多元函數微分學中還蘊含著豐富的哲學思想，例如二元函數極限的計算、偏導數的計算、全微分的計算與一元函數極限、導數與微分的算理大同小異，“同”是算理相同，一元函數的極限的算法如重要極限、分子/分母有理化、無窮小量乘以有界量等、求導公式、求導法則在多元函數中依然成立。所謂的“異”，根本原因在于函數自變量的增多導致算理、及微分的定義等與一元函數有區別，這就是從簡單到復雜、從特殊到一般、從量變到質變的哲學思想。同理，一元函數中成立的某些理論在多元函數中不再成立，例如一元函數中，可微可導，而二元函數則是，可微則可偏導但可偏導不一定可微，客觀原因在于可微是與全增量有關，而可偏導與偏增量有關。一元函數中函數在一點處可導則該函數在該點處一定連續，而二元函數中可偏導與連續沒有任何關系，客觀原因在于偏導數的定義與偏增量有關，即只有一個變量改變，而連續是重極限值等于該點處的函數值，是兩個變量在同時變換。其中蘊含的就是從量變到質變的哲學思想，更多的哲學思想有待數學分析課程的主講教師不斷深挖。

3 教學反思

數學分析課程是數學類專業的學生進入大學時接觸到的第一門分析學［5］，本課程是數學類三大基礎課之一，它為學生許多后繼課的學習打下基礎，是學生必須學好的專業課。課程的邏輯關系嚴密，主講教師可以將知識分解成不同的模塊［6］：函數、極限與連續論、一元函數微分學、一元函數積分學、級數論、多元函數微分學、多元函數積分學等模塊。多元函數微分學是數學分析課程的一個重要的知識模塊，它以一元函數微分學為基礎，同時又是多元函數積分學的基礎，在知識體系中起到承上啟下的作用。

在多元函數微分學的教學過程中，如果就知識講知識、就理論講理論，由于函數變量的增加，理論會變得復雜，學生理解起來比較吃力。有效滲透極限思想、類比思想、化歸思想及數形結合思想等數學思想方法，并在專業教學中教給學生做人做事的道理，讓學生感悟到課程中蘊含的豐富的哲學思想，讓學生感悟到在數學分析專業課堂中不僅能學到專業知識，還能學會為人處世的道理，同時領略到其中蘊含的哲學思想，自然會激發學生學習本課程的興趣。通過筆者在教學中的實踐、反思、問卷調查及學生的評教，改革后的教學方法確實比傳統的僅限于傳授專業知識的方法收到更好的效果，更受學生歡迎。

數學分析課程中蘊含的數學思想方法及哲學思想不止以上列舉的這些，更多的數學思想方法、哲學思想、做人做事的道理等需要課程主講教師不斷鉆研、實踐、反思并改進，世上無難事，只怕有心人，如果每一位高校專業教師都用心、用情去搞教研，專業課的學習就不會再枯燥和抽象。

參考文獻：

［1］顧泠沅.數學思想方法［M］.北京：中央廣播電視出版社，2004.

［2］華東師范大學數學科學學院.《數學分析（上冊）》［M］.高等教育出版社，2019.

［3］華東師范大學數學科學學院.《數學分析（下冊）》［M］.高等教育出版社，2019.

［4］何天榮.數學分析課程中導數單元的教學實施及反思改進——以麗江師范高等專科學校數學教育專業為例［J］.教師，2022（05）：36-38.

［5］馬冠忠.師范院校《數學分析》課程教學存在的問題與對策［J］.教育理論與實踐，2022，42（24）：58-61.

［6］徐輝，楊瓊芬，羅守雙，等.新時代教育背景下“數學分析”課程教學創新探索［J］.綿陽師范學院學報，2022，41（08）：41-47+59.

基金項目：麗江師范高等專科學校質量工程項目——《數學分析》課程思政示范課（PX—52156）

作者簡介：何天榮（1979—），女，漢族，云南香格里拉人，碩士研究生，副教授，主要從事模糊集理論和粗糙集理論及教育教學論的研究。