冪級數收斂半徑的求解探討

摘要：本文通過三個例子表明比式審斂法或根式審斂法是冪級數收斂半徑計算的一個充分性條件，但非必要條件，在應用上有很大的局限性.綜合使用比較判別法、逐項求導逐項積分不改變冪級數的斂散性、上極限計算以及柯西-阿達馬定理等結論，可處理任意冪級數收斂半徑的計算.

關鍵詞：冪級數；收斂半徑；上極限

高等數學作為大學數學的一門基礎性學科，其有著高度的抽象性、嚴密的邏輯性和廣泛的應用性，因此我們要通過對高等數學的學習，不斷培養學生的創新思維、數學素養、獨立思考問題和解決問題的能力［1］.

在高等數學中，有一類結構相對簡單、應用非常廣泛的函數項級數——冪級數［2］.對于冪級數的研究主要討論其和函數的分析性質，以及將函數展成冪級數的條件和展開式，而本文主要討論求冪級數的收斂半徑和收斂域問題.在教材和教學活動中，側重于介紹利用各種公式求解冪級數的收斂半徑.無論是缺項的冪級數還是不缺項的冪級數，求收斂半徑的本質主要是基于阿貝爾定理和正項級數的根式審斂法或者比式審斂法.本文從精選的幾道例題出發，闡述常用的審斂法的局限性以及對應的解決思路.

1 求冪級數收斂半徑的主要方法

2 應用舉例

3 問題的延伸

結語

本文探討的幾個冪級數收斂半徑的計算，是對常規計算方法（比式審斂法或根式審斂法）的一個有益補充，希望可以幫助工科學生更好地掌握這部分知識，培養同學們數學思維的嚴謹性，激發學生學習數學的興趣。

參考文獻：

［1］劉洋.冪級數收斂半徑和收斂域的求解探討——如何培養學生的創新思維［J］.數理化解題研究，2020，6：12-13.

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［8］彭娟，范周田，楊蓉.關于冪級數收斂半徑求法的注記［J］.大學數學，2019，35（2）：106-109.

［9］李占勇.Cauchy-Hadamard定理中關于“冪級數收斂半徑確定”充分性的分析［J］.喀什大學學報，2020，41（6）：17-20.

項目資助：山西省高等學校教學改革創新項目（J20220617，J20230715）；中北大學2023年課程思政專項研究項目

作者簡介：趙東霞（1981—），女，漢族，山西晉城人，博士，副教授，碩士生導師，研究方向：分布參數系統控制理論及應用。