平面應力型相似模擬平臺的設計與教學應用

摘 要 平面應力模型是三維工程問題簡化為二維力學模型的重要方法之一，也是本科生力學課程的重要知識點。文章基于平面應力模型的知識點論述，結合河南理工大學平面應力型相似模擬平臺的建設，介紹了平面應力型相似模擬平臺在解決實際采礦工程問題中的應用，并以本科生相似模擬實驗教學為案例，介紹了平面應力型相似模擬平臺的教學過程。通過實驗教學，提高了學生運用基礎力學模型解決實際工程問題的能力，對加深學生對專業知識點的理解、培養其創新能力具有積極意義。

關鍵詞 平面應力模型；相似模擬平臺；本科生教學

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2024.16.026

Design and Educational Application of Plane Stress Type Analog Simulation Platform

WANG Hao1， SUN Weijia2， ZHANG Sheng1

（1. School of Energy Science and Engineering， Henan Polytechnic University， Jiaozuo， Henan 454003;

2. Student Administration Department， Henan Polytechnic University， Jiaozuo， Henan 454003）

Abstract The plane stress model is one of the methods for transforming 3D engineering problems into 2D mechanical model， which is also one of the key points of the mechanical courses for bachelor students. The plane stress model was discussed in this paper， what is more， the analog simulation platform constructed in Henan Polytechnic University was used in teaching procedure for bachelor students. The effects of the analog simulation platform in solving engineering problems were also analyzed. The process of adoption of the analog simulation platform in teaching plane stress model for bachelor students was introduced based on the simulation experimental course. The results show that the ability of solving engineering problem of students is improved significantly， which is meaningful for understanding the mechanical theory and cultivating innovation ideas.

Keywords plane stress model; analog simulation platform; bachelor students education

平面應力狀態是指僅在二維平面內存在應力，在第三個維度上不存在應力（即應力為0），但存在應變（即應變不為0）[1-2]。平面應力狀態是對三維受力狀態的簡化，通常墻體、建筑物梁等三維受力物體可以簡化為平面應力問題。通過將三維受力物體根據受力狀態、特征簡化為平面應力問題可以減小計算量，同時計算分析的結果仍能保持與實際結果一致。

相似模擬實驗方法是根據實際工程條件，基于密度相似比、幾何相似比、速度相似比等條件，將大尺度工程條件濃縮為小尺度模型試驗，在相似比設計合理的條件下，相似模擬試驗方法可以用小尺寸的試驗模型表征大尺度工程模型的受載變形、破壞特征，是大型工程項目分析研究的重要手段[3]。相似模擬平臺根據其受力狀態可分為三維相似模擬平臺、二維相似模擬平臺、一維相似模擬平臺，其中二維相似模擬平臺因其操作簡單及結果的可靠性，在采礦工程教學科研中應用較廣泛。

本文基于河南理工大學二維平面應力相似模型平臺的設計、建設、使用過程，介紹了平面應力相似模型在煤礦采場礦壓研究中的應用，研究內容可為平面應力相似模型平臺的建設及煤礦采場礦壓問題研究提供參考及借鑒。

1 平面應力問題

實際工程問題均為三維應力問題，在工程建設中不存在理想的面、線、點模型，然而為了研究方便，在一定條件下，通常會將復雜的三維模型簡化為二維模型或一維模型，這樣既簡化了力學計算過程，又能在一定程度上保證計算結果與實際結果的一致性，如一維桿的拉壓、扭轉、彎曲、壓彎模型，二維梁、板、殼模型等。

平面應力問題可以認為是具有很薄的等厚度薄板，只在板的四條邊上（或邊界上）受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力或約束。同時，板內的體力也平行于板面并且不沿厚度變化。如生活中常見的深梁、平板壩的平板支墩等就可簡化為此類問題。

設薄板的厚度為 ，以薄板的中面為面（即過薄板厚度中部且平行于薄板的平面），以垂直于中面的任一直線為z軸。因為板面上（即處）不受力，從而可得：

由于板很薄，其承載的外力系又不沿厚度變化，同時外力系沿著板的厚度又是連續分布的，因此，可以認為在整個薄板的所有各點均有：

根據應力單位體的切應力互等性，進而可得：

此時，薄板上所受外力系只剩下平行于面的4個平面應力分量，即因為假設板很薄，作用于板上的外力和約束都不沿厚度變化，因此4個應力分量以及相應的形變分量，都可以認為是不沿厚度變化的。這就是說，它們只是和的函數，與第三個維度無關。

這樣就把三維空間應力分析的9個應力分量簡化為二維平面應力分析的4個應力分量（此外5個數值為0的應力分量可忽略不計），大大簡化了力學計算過程。上述二維平面模型被稱為平面應力模型。

2 平面應力相似模型平臺建設

在本科生教學中，基礎力學知識點的講解是學習彈性力學、材料力學、流體力學以及后續專業課程的基礎。在理解力、位移、應力、應變等基礎概念的基礎上，進一步研究一維桿模型、二維平面模型，可使學生初步建立解決工程問題的思路。由于實際工程問題是十分復雜的，解決實際工程問題時常將三維受力問題根據其受力特征，簡化為二維或一維問題，這樣可簡化力學模型的復雜性，同時對解決實際三維工程問題也具有一定的指導意義[4-6]。

為使學生較好地理解平面應力模型的理論基礎及其在實際工程中的應用，河南理工大學建設了二維平面應力相似模擬平臺，平臺由優質鋼材構成，尺寸為：長€卓韤贅？2.5€？.2€？.0 m，平臺上側為液壓控制加載裝置，其余三側為固定狀態。實驗過程中可通過上側加載裝置施加載荷，實現平面應力受力狀態。學生在學習完平面應力模型理論知識后，可到相似模擬實驗室，學習二維平面應力模擬平臺的實際應用。理解理論模型與實際實驗條件間的區別與聯系，進一步加深對平面應力模型外部載荷、邊界條件、受力方向、應力狀態的理解。

3 平面應力相似模擬平臺教學案例

為說明平面應力相似模擬平臺在本科教學中的應用方法，下面以平面應力相似模擬平臺的教學要點為依據，論述平面應力相似模擬平臺的實際教學重點。

3.1 教學目標：掌握平面相似模擬平臺的應用條件及過程

前期知識準備：①力、位移、正應力、剪應力、正應變、剪應變基本概念；②平面應力模型邊界應力條件；③平面應力模型的適用條件；④平面應力模型的平衡微分方程、物理方程、幾何相容方程。

教學要點：①平面應力相似模擬平臺的主要組成裝置；②對實際工程問題的簡化要點；③根據實際工程問題簡化時幾何相似比、物理相似比、時間相似比的確定方法。

3.2 教學過程

3.2.1 確定實際工程條件

某礦采煤工作面傾向長度220m，走向長度1800m，走向長壁綜合機械化采煤方式，采高5m，煤層平均密度1.2 g/cm3，煤層覆巖平均密度2.3 g/cm3，工作面埋深500 m。試采用相似模擬方法研究工作面回采過程中圍巖應力、應變、裂隙演變特征。

3.2.2 相似模型構建

根據提供的實際工程問題參數，考慮采用相似模擬方法研究工作面回采不同階段圍巖應力場、裂隙場演變特征。取工作面中部沿煤層走向做垂直剖面，根據剖面所揭露煤巖層結構創建平面應力相似模型。相似模擬的理論依據為“相似定律”，即相似模型需滿足：幾何相似；物理相似；初始、邊界條件相似三個條件。首先應根據模擬目的、條件，確定模型幾何相似比，進而根據相似材料密度，確定相似模型密度相似比，基于幾何相似比和密度相似比可進一步確定時間、應力、強度等相似比。

通常情況下，煤礦開采過程中工作面上覆巖層運動與礦壓規律的幾何相似比應不小于1∶150，從而能較好地保證模擬結果的精確度。基于河南理工大學已建成的實驗室相似試驗架尺寸：長€卓韤贅？2.5€？.2€？.0 m，結合實際工程條件中綜采工作面生產、地質條件，確定模型相似比參數為：

相似模擬平臺尺寸：長€卓韤贅？2.5€？.3€？.0 m；

擬使用的相似模型尺寸：長€卓韤贅？2.5m€？.2m€？.37m

根據工作面覆巖結構特征，確定模型幾何相似比為：

由于工作面覆巖平均密度為2.3 g/cm3，通常情況下相似材料平均密度為1.2 g/cm3，因此密度相似比為：

根據上述相似模型幾何相似比、密度相似比，進而可得：

時間相似比為：

強度相似比：

彈模相似比：

泊松比相似比：

外力荷載相似比：

根據工程條件綜采工作面與相似模型均受自重應力場影響，應力―應變對應關系相同，相似模型兩邊限制水平位移，底邊限制垂直位移，接近現場應力環境，因此模型滿足變形場相同條件。基于上述相似模擬參數，確定材料相似配比后搭建相似模擬平臺。

3.3 教學要點

相似模型構建過程中應注意理論模型與實際相似模型的區別，盡量保證相似模擬滿足理論模型的邊界條件、載荷條件、均勻條件、連續條件。

相似模型鋪設過程中應嚴格按設計的幾何相似比、物理相似比、時間相似比、載荷相似比等進行材料配比，不能隨意更改材料配比參數。巖層鋪設的高度要與實際模型一致，盡量鋪設平整，并保持壓實度均勻，防止出現堅硬核區。左右兩側立柱主要限制模型的水平方向位移，對垂直方向位移不限制，因此，可考慮在左右兩側立柱上涂抹潤滑油，以保證相似材料可沿立柱垂直方向滑移。下端立柱限制相似模型沿垂直方向位移，但不限制沿水平方向位移，因此亦可考慮在下側邊界上涂抹潤滑油。相似模型上側為均勻加載設置，加載力的大小可通過控制器調整，調整過程中應依次多步驟加載，防止再現應力不均勻現象。

此外，若要考查相似材料內部應力、應變、裂隙情況，可考慮增加監測設備，如壓力盒、應力監測儀、鉆孔窺視儀等。較豐富的力學參數監測結果，可更全面地認證煤礦工作面回采不同階段圍巖應力演變特征及礦壓顯現規律。

3.4 思考問題

根據平面應力狀態及相似材料模型的重要知識點，引導學生思考下述幾個問題，以加深學生對平面應力問題的理解，提高其運用力學理論知識解決實際工程問題的能力。①平面應力理論模型與實驗室平面應力相似模擬模型有什么異同點；②相似參數在實際工程問題簡化為相似模型時有什么樣的作用；③平面應力問題適用于什么樣的實際工程問題。

4 主要結論

①平面應力模型是對實際三維工程問題的簡化，通過將應力單元9個應力分量減少至4個，大大減少了模型分析難度及計算復雜度；②平面相似模擬平臺是對平面應力模型的具體應用，在解決采礦工程問題時應用較多，模擬結果對指導工程建設意義較大；③通過平面相似模擬實驗教學，本科生可掌握平面應力、相似模型搭建、實際工程分析等知識點，提高了學生運用基礎力學理論解決實際工程問題的能力。

*通信作者：孫維佳

基金項目：2024年河南理工大學研究生質量提升工程項目“高等工程力學”（2024YKC01）；2019年河南理工大學博士基金項目“采動下含優勢弱面煤巖體沖擊破壞機制及試驗研究”（672706）。

參考文獻

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[2] 戰新宇，高林，趙芳昊，等.大相似比模型試驗用超高強相似材料配比試驗研究[J].煤田地質與勘探，2023，51（11）：109-118.

[3] 伍達富，劉遠明，梅世龍，等.基于相似理論的隧道模型試驗設計研究[J].水力發電，2023（9）：112-117.

[4] 趙紅澤，秦斌德，林澤辰，等.基于多功能模型箱的排土場相似模擬實驗設計[J].實驗技術與管理，2023（3）：106-112.

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[6] 孫田力.采動覆巖應力特征及離散裂隙相似模擬實驗平臺的構建[D].上海：上海應用技術大學，2022.