生長數(shù)學(xué)視角下中學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)

蔡華遠 程玉林

[ 摘 要 ]“生長數(shù)學(xué)”教學(xué)主張，強調(diào)對學(xué)生學(xué)習(xí)過程中生命自覺責(zé)任的關(guān)注，將教學(xué)定位錨定在學(xué)生生命綻放的層次，注重從生命的視角去播下數(shù)學(xué)的種子，然后生根發(fā)芽，直至枝繁葉茂，最終長成參天大樹，這也就實現(xiàn)了“用數(shù)學(xué)的精巧來演繹生命的精彩”.當面對概念教學(xué)而選擇了生長數(shù)學(xué)視角的時候，可以發(fā)現(xiàn)在該視角下，數(shù)學(xué)概念及其教學(xué)需要重新審視，其伴隨著兩點認識：初中數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)過程有著顯著的生長特征，概念教學(xué)過程中的生長主要表征為思維的生長.生長數(shù)學(xué)特別強調(diào)從問題中生長思維，這一點與上面所闡述的數(shù)學(xué)概念過程中的生長主要表征為思維生長一脈相承.生長數(shù)學(xué)還強調(diào)在探究的過程中促進學(xué)生學(xué)力的生長，實際上數(shù)學(xué)概念的教學(xué)也充滿探究性，將概念教學(xué)過程設(shè)計為具有問題解決性質(zhì)的探究過程，客觀上也就可以促進學(xué)生學(xué)力的生長.

[ 關(guān)鍵詞 ]初中數(shù)學(xué)；生長數(shù)學(xué)；概念教學(xué)

基金項目：2022年晉江市基礎(chǔ)教育教學(xué)改革專項課題“生長數(shù)學(xué)視角下高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的案例研究”（JJ2022-ZX03）.

在課程改革大潮的涌動下，作為基礎(chǔ)學(xué)科之一的數(shù)學(xué)學(xué)科誕生了很多教學(xué)主張.這些教學(xué)主張一邊銜接著國家層面的課程改革思想，另一邊銜接著課堂層面的具體教學(xué)，表現(xiàn)出了極強的生命力.其中，江蘇省特級教師、正高級教師卜以樓老師提出的“生長數(shù)學(xué)”教學(xué)主張，強調(diào)對學(xué)生學(xué)習(xí)過程中生命自覺責(zé)任的關(guān)注，將教學(xué)定位錨定在學(xué)生生命綻放的層次，注重從生命的視角去播下數(shù)學(xué)的種子，然后生根發(fā)芽，直至枝繁葉茂，最終長成參天大樹，這也就實現(xiàn)了“用數(shù)學(xué)的精巧來演繹生命的精彩”.在這樣的比喻中，生長數(shù)學(xué)的理念得到了充分體現(xiàn).學(xué)生建構(gòu)并運用數(shù)學(xué)知識的過程就是一個生命生長的過程，而在生長數(shù)學(xué)的視角下去實施數(shù)學(xué)教學(xué)，自然也就讓數(shù)學(xué)教學(xué)的過程蘊含著生命的意義.

概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的有機組成部分，概念教學(xué)的質(zhì)量影響著整個數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量.對初中數(shù)學(xué)教學(xué)來說，一定要重視概念教學(xué)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程，不僅是知識筑基的過程，還是數(shù)學(xué)思想方法感悟的過程，是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地的基礎(chǔ).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》提到數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的內(nèi)涵要素包括：讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界.在數(shù)學(xué)概念教學(xué)的過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光會得到激活，數(shù)學(xué)思維會得到培養(yǎng)，數(shù)學(xué)語言的理解與運用能力自然也能得到提升.因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)中蘊含著數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的所有要素，如果能夠讓學(xué)生的數(shù)學(xué)概念形成過程具有生命生長的意義，那么這樣的概念教學(xué)也就擁有了生長數(shù)學(xué)的視角.下面以華東師大版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)七年級下冊“軸對稱”概念教學(xué)為例，談?wù)劰P者對生長數(shù)學(xué)的理解，并試圖彰顯生長數(shù)學(xué)視角下初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的應(yīng)有意義.

生長數(shù)學(xué)視角下的數(shù)學(xué)概念再審視

眾所周知，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識體系的核心要素，學(xué)好數(shù)學(xué)概念是學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)的前提.但是從實際情形來看，概念教學(xué)在整個初中數(shù)學(xué)教學(xué)體系中的應(yīng)有地位卻沒有得到凸顯，其中的一個重要原因就是應(yīng)試.應(yīng)試導(dǎo)向下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)，概念教學(xué)被邊緣化，原本屬于概念教學(xué)的時間被節(jié)省出來用于“刷題”，而學(xué)生在刷題過程中所形成的能力，也確實在很大程度上支撐學(xué)生獲得較高的考試分數(shù).這樣的現(xiàn)實在帶來較好應(yīng)試效果的同時，客觀上又讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中難以獲得生命體驗，學(xué)生所經(jīng)歷的數(shù)學(xué)概念建立過程自然也就沒了生命的意義.所以，當面對概念教學(xué)而選擇生長數(shù)學(xué)視角的時候，可以發(fā)現(xiàn)在該視角下，對數(shù)學(xué)概念及其教學(xué)需要重新審視.對此筆者有以下兩點認識：

認識一，初中數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)過程有著顯著的生長特征.

縱觀初中數(shù)學(xué)體系中的概念，可以發(fā)現(xiàn)相當一部分數(shù)學(xué)概念都源于日常生活或生產(chǎn)需要，因此如果能夠從學(xué)生的生活出發(fā)，從學(xué)生能夠理解或體驗到的生產(chǎn)過程出發(fā)，去確定數(shù)學(xué)概念建構(gòu)的起點，然后經(jīng)過數(shù)學(xué)抽象以及數(shù)學(xué)語言等的運用過程，就可以幫助學(xué)生建立起對一個個數(shù)學(xué)概念的認識.所以，從生長數(shù)學(xué)的視角來看，數(shù)學(xué)概念并不是用數(shù)學(xué)語言所描述的冷冰冰的概念，而是學(xué)生從經(jīng)驗系統(tǒng)當中一步步經(jīng)過思維加工而獲得的具有生命力的概念.如果能夠讓學(xué)生經(jīng)歷這樣的建構(gòu)過程，那么數(shù)學(xué)概念就會在學(xué)生的數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)中表現(xiàn)出較強的生命力，學(xué)生便更能夠讀懂這些概念，更能夠在相應(yīng)的場合中將這些數(shù)學(xué)概念自如運用，這本身也是數(shù)學(xué)概念表現(xiàn)出生命生長意義的體現(xiàn).

認識二，概念教學(xué)過程中的生長主要表征為思維的生長.

將學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的過程演繹為生命生長的過程，一方面呼應(yīng)生長數(shù)學(xué)的基本理念，另一方面是在新課改的背景下構(gòu)造初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的應(yīng)有愿景.人們常說“思維是世界上最美的花朵”，縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，具有一定初中數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗的教師都能夠意識到，數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)過程對學(xué)生的思維有著極高的依賴程度，如果在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生沒有思維參與，那么學(xué)生所學(xué)到的數(shù)學(xué)概念只能是一個個文字，很難真正讀懂數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵.反之，數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)過程，一定伴隨著學(xué)生的思維不斷深入的過程，這樣一個過程與學(xué)生思維的生長緊密聯(lián)系在一起，從而讓概念建構(gòu)與思維深入之間形成良好的互相依賴以及互相促進的關(guān)系.于是，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過程就可以表征為學(xué)生思維生長的過程，這自然也凸顯了生長數(shù)學(xué)的應(yīng)有內(nèi)涵.

生長數(shù)學(xué)視角下的概念教學(xué)再實踐

通過上面兩點分析可以發(fā)現(xiàn)，生長數(shù)學(xué)的提出，實際上基于“教育即生長”以及課標要求，源于如今很多數(shù)學(xué)課堂忽視學(xué)生能力培養(yǎng)的現(xiàn)實.進一步的研究則表明，生長數(shù)學(xué)的目的是改變?nèi)缃瘛敖虒W(xué)過渡技巧化、內(nèi)容過渡膚淺化、知識過渡碎片化”的數(shù)學(xué)課堂狀況.從數(shù)學(xué)概念的教學(xué)入手，可以給試圖進入生長數(shù)學(xué)范式的教師提供更多的研究抓手，自然也能夠讓學(xué)生在概念學(xué)習(xí)的過程中獲得更好的體驗.

“軸對稱”是初中數(shù)學(xué)中的基本概念，表征著平面幾何中圖形的基本關(guān)系.從當前初中生生活經(jīng)驗的角度出發(fā)，可以發(fā)現(xiàn)在學(xué)生的經(jīng)驗系統(tǒng)中存在著不少與軸對稱相關(guān)的素材，這些素材可以成為軸對稱概念教學(xué)的起點.與此同時，應(yīng)當注意到，學(xué)生在生活中所獲得的關(guān)于軸對稱的認識，更多地依賴于具體的圖形，學(xué)生還很難用數(shù)學(xué)語言去描述.因此，軸對稱概念的教學(xué)過程，又是將學(xué)生的形象認識轉(zhuǎn)化為抽象認識、讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表征軸對稱表象的過程.如果能夠?qū)崿F(xiàn)這樣的教學(xué)思路，那么也就能夠體現(xiàn)出生長數(shù)學(xué)的基本特征.

生長數(shù)學(xué)特別強調(diào)從問題中生長思維，這一點與上面所闡述的數(shù)學(xué)概念建構(gòu)過程中的生長主要表征為思維生長一脈相承.那么對于軸對稱概念的教學(xué)而言，如何去設(shè)計問題并讓學(xué)生的思維得到生長呢？筆者以為可以這樣設(shè)計教學(xué)：

首先，給學(xué)生提供2～3個生活中的軸對稱場景.此時可以參考教材的相關(guān)設(shè)計，比如“山倒映在湖中”，這就是對稱景象.當有了2～3個例子作為鑰匙的時候，學(xué)生就能夠打開經(jīng)驗系統(tǒng)中與軸對稱相關(guān)的大門.幾乎所有學(xué)生都能舉出若干個軸對稱的生活例子.

其次，讓學(xué)生抽象自己所舉的例子.這里所說的抽象自然是指數(shù)學(xué)抽象，也就是將例子中與“數(shù)”和“形”（此時主要是“形”）無關(guān)的因素如顏色、亮暗等除掉，只留下“形”的特征.這樣得到圖形后，再進一步讓學(xué)生去分析與歸納，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)所有經(jīng)過抽象的圖形都具有一個共同特征，那就是“沿某條直線對折，對折后的兩部分能夠完全重合”.當這一認識形成時，就意味著軸對稱圖形的表象在學(xué)生的大腦中變得非常清晰，“完全重合”能夠成為學(xué)生判斷圖形是否對稱的重要指標，而用來對折的那條“直線”也成了學(xué)生判斷軸對稱圖形的重要依據(jù).當學(xué)生有了這樣的認識后，教師就應(yīng)當引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)學(xué)語言去描述，于是軸對稱圖形、對稱軸的概念也就呼之欲出了.

分析上面這樣一個軸對稱概念的建立過程，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思考是循序漸進的，從生活中的軸對稱圖形到數(shù)學(xué)中的軸對稱圖形，從用圖片來表征軸對稱圖形到用圖形來表征軸對稱圖形，再到用文字來表征軸對稱圖形，意味著學(xué)生的思維從形象向抽象切換，從低階向高階切換.這自然是思維的生長，充分體現(xiàn)了生長數(shù)學(xué)的特征.

從數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)思維生長

從上面的理論分析以及案例解讀中，可以發(fā)現(xiàn)一個明顯的線索，那就是學(xué)生在體驗生長數(shù)學(xué)的過程中，總會存在一個時空足夠的數(shù)學(xué)抽象過程，這一點對于初中生而言至關(guān)重要.作為數(shù)學(xué)知識體系基石的數(shù)學(xué)概念，在學(xué)習(xí)的時候不直接從抽象的圖形或文字入手，而是從學(xué)生有感知、有經(jīng)驗的生活場景入手，那就更容易激活學(xué)生的思維——此時的思維自然是形象思維.初中生在思考問題的時候，往往是從形象思維切入的，因此這樣的概念教學(xué)設(shè)計非常符合初中生的認知規(guī)律.

與此同時，生長數(shù)學(xué)視角下的概念教學(xué)，有著顯著的伴隨思維生長而生長的特征.從學(xué)生開始感知生活事物的那一刻開始，學(xué)生的形象思維就被激活；當學(xué)生面對多個事物需要分析的時候，異中求同的體驗會讓學(xué)生的思維逐步從形象走向抽象；當學(xué)生的分析有了結(jié)果的時候又需要進行綜合和歸納，必要的時候還會進行演繹，于是抽象思維的特征會更加明顯，思維生長也在同步發(fā)生.

如果把數(shù)學(xué)概念的建立過程理解為問題解決的過程，那么學(xué)生經(jīng)歷分析問題的過程，就可獲得數(shù)學(xué)思維的生長.數(shù)學(xué)概念的建立過程能否理解為問題解決的過程？這是一個值得思考的問題，對這個問題的回答也反映了教師的教學(xué)理念.如果認為數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)就是數(shù)學(xué)概念定義的解讀，那么自然談不上問題解決；如果認為數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是學(xué)生用數(shù)學(xué)思想方法，借助思維加工事物，最終抽象得出共性認識的過程，那么這樣的概念教學(xué)就是問題解決的教學(xué).很顯然，生長數(shù)學(xué)的理念決定概念教學(xué)應(yīng)當取后一種理解，這樣才能夠讓概念建立的過程成為促進學(xué)生思維生長的過程.

實際上，數(shù)學(xué)概念建立的過程是非常復(fù)雜的，其中每一個環(huán)節(jié)都需要學(xué)生思維深度參與.生長數(shù)學(xué)還強調(diào)在探究的過程中促進學(xué)生學(xué)力的生長，實際上數(shù)學(xué)概念的教學(xué)也充滿探究性.比如上面所舉的軸對稱概念教學(xué)的例子，生活中自然存在的軸對稱景象能夠給人帶來美的感受，人們在生活與生產(chǎn)中也會借助軸對稱來滿足自己的審美需要.其中的核心元素就是軸對稱，而從生活向生產(chǎn)過渡，除了思維的演繹，具體到學(xué)生學(xué)習(xí)過程中就體現(xiàn)為學(xué)力的生長.因此，如果將概念教學(xué)過程設(shè)計為具有問題解決性質(zhì)的探究過程，客觀上也就可以促進學(xué)生學(xué)力的生長.

用反思來保證生長數(shù)學(xué)的可持續(xù)性

初中生具備一定的反思能力，在經(jīng)歷了體驗感很強的概念學(xué)習(xí)過程后，能夠透過概念的建立過程認識到其中的思維存在，是保證生長數(shù)學(xué)具有可持續(xù)性的關(guān)鍵.這一點依賴于學(xué)生的深度反思，與之相對應(yīng)的學(xué)習(xí)過程可以稱為反思性學(xué)習(xí).

反思性學(xué)習(xí)是學(xué)生對自己的學(xué)習(xí)活動過程的再思考與再審視，能促進學(xué)生對數(shù)學(xué)深層次的理解，萌發(fā)更強烈的數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識，獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生長的力量.在包括概念教學(xué)的所有努力中，教師都有必要去引導(dǎo)學(xué)生進行反思，反思的對象主要是指數(shù)學(xué)概念的建立過程，如果要說得更細致一點，還包括問題是如何提出的、自己是如何思考的、在描述數(shù)學(xué)概念的時候又是如何從生活語言向數(shù)學(xué)語言過渡的……所有這些問題的重新思考與深度反思，都能夠促使學(xué)生在回顧概念建立過程的同時，對相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法，甚至對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)內(nèi)涵要素所涉及的內(nèi)容有所感知.此時即使學(xué)生不能用專業(yè)的數(shù)學(xué)語言來描述自己的感受，也一定能夠形成更好的數(shù)學(xué)課程認識與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)認識，這也就提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)效益，是學(xué)生思維生長甚至生命生長的另一個注腳.