關于一次函數行程問題的解法探究

沈兵

[ 摘 要 ]一次函數行程問題是對一次函數知識應用的體現，問題可分為元素對應圖象型和元素共用圖象型兩類，探究解析時均可以采用解圖“三步法”.文章開展方法解析，并結合實例強化探究，以期對師生的教學或備考有所幫助.

[ 關鍵詞 ]一次函數；行程；方法；思路；圖象

一次函數行程問題是初中數學的重點問題，問題中將一次函數與圖象相結合，可全面考查學生對一次函數的性質與圖象的掌握情況，以及解圖能力.從函數中的元素與圖象的對應情況來細分，可將問題分為兩類，一類是元素對應圖象型，即每個元素分別對應圖象；另一類是兩個元素共用一個圖象.兩類問題均可以采用解圖“三步法”來破解.

方法、思路總結

1.思路構建

用解圖“三步法”求解一次函數行程問題，顧名思義分為三步，即看、找、變，看圖識條件，找圖挖信息，變圖構思路，具體如下.

第一步：看，看橫、縱坐標分別表示的意義，題設中通常會給定條件，該步需要結合圖象理解條件.

第二步：找，找圖象中的關鍵點，包括起點、終點、轉折點，同時確定每個點所代表的實際意義，理解點背后的含義.

第三步：變，探尋分析圖象里的變化趨勢，結合題意理解每段圖象的實際意義，挖掘其中的隱含信息，如速度變化、變更方向等.

2.解法總結

求解問題時可以采用兩種方法：一是使用函數的實際意義，結合追及、相遇等問題列方程或不等式解題；二是使用函數的解析式，直接利用圖象的實際意義，推理分析.具體求解時也可綜合兩種方法，靈活變通.

分類探究問題

1.元素對應圖象型探究

元素對應圖象型，即問題中的元素均有各自的對應圖象，通常在同一直角坐標系中，對應不同的圖象，圖象中含有多條直線.使用解圖“三步法”求解元素對應圖象型問題時，重點是對圖象的解讀與信息獲取，需要采用數形結合的方法，提取其中的關鍵信息，轉化為相應的條件，下面講解示例.

例1 已知快車和慢車分別從A市和B市同時出發，勻速行駛.先相向而行，慢車到達A市后停止行駛，快車到達B市后，立即按原路原速度返回A市（調頭時間忽略不計），結果快車與慢車同時到達A市.快、慢兩車距B市的路程y1，y2（單位：km）與出發時間x（單位h）之間的函數圖象如圖1所示.

（2）求a的值，并解釋圖中點M的橫坐標、縱坐標的實際意義；

（3）試分析快車與慢車迎面相遇以后，再經過多長時間兩車相距90 km.

【圖象分析】

下面針對一次函數的圖象，采用解圖“三步法”進行分析，具體如下.

第一步，看，確定坐標軸所表示的含義.平面直角坐標系的縱坐標表示的是兩車距B市的路程，橫坐標表示的是車的行駛時間.

第二步，找，明晰圖中關鍵點的含義.圖象中x=0時，兩車均沒有出發，則兩車之間的距離就是A，B兩市之間的路程.

點M：為兩直線的交點，表示的是兩車在出發2 h后相遇.

點P：為快車所代表的直線與x軸的交點，表示的是快車和B市之間的距離為0，表明快車到達B市.

點Q：為兩車所代表直線的交點，表示兩車距離B市均最遠，表明兩車同時到達了A市.

第三步，變，探尋圖象中變化趨勢的含義.根據圖象的變化趨勢可知：慢車和B市的距離在一直增大，說明方向不變.而快車和B市的距離先變小后增大，說明快車達到B市后立刻返回.兩車最后一起到達A市，說明相同的時間，快車行駛的路程是慢車的2倍，即快車速度是慢車速度的2倍.

【過程解析】

（1）根據函數圖象中數據的意義，可直接得出A，B兩地之間的距離，即A市和B市之間的路程是360 km.

（2）已知快車與慢車同時出發，又同時到達A市，分析可知：在整個行進過程中，相同時間內，快車走了兩個A市與B市之間的距離，而慢車只走了一個A市與B市之間的距離，所以可推知快車的速度是慢車速度的2倍.

設慢車的速度為x km/h，則快車的速度為2x km/h，根據題意可得2（x+2x）=360，可解得x=60，2×60=120，則a=120.所以點M的橫坐標、縱坐標的實際意義為：兩車出發2 h后，在距B市120 km處相遇.

（3）根據第（2）問可知，快車的速度為120 km/h，到達B市后又回到A市的時間為360×2÷120= 6（h）.慢車的速度為60 km/h，到達A市的時間為360÷60=6（h），如圖2所示，下面結合圖象分段討論.

【解后評析】

上述為元素對應圖象型一次函數行程問題，探究時采用了解圖“三步法”，把握坐標軸的含義，理解其中的關鍵點，分析變化趨勢挖掘隱含信息.求解時采用了把握圖象信息，構建方程求解的策略.

2.元素共用圖象型探究

元素共用圖象型，即問題中的元素共用圖象，通常在同一直角坐標系中，兩個或兩個以上的元素共用一次函數，此時縱坐標一般表示兩車或兩人之間的距離.對于該類問題，同樣可以按照解圖“三步法”來分析，需要重點關注共用圖象的信息.

例2 在一條筆直的公路上有A，B兩地，現有甲、乙兩人同時出發：甲從A地步行勻速前往B地，到達B地后，立刻以原速度沿原路返回A地；乙則從B地步行勻速前往A地（甲、乙兩人到達A地后均停止運動）.

如圖3所示，圖象為甲、乙兩人之間的距離y（單位：m）與出發時間x（單位：min）之間的函數關系，請結合圖象解答下列問題：

（2）求解圖中a，b，c的值；（3）求解線段MN的函數解析式；

（4）在乙運動的過程中，何時兩人相距80 m？

【圖象分析】

下面針對一次函數的圖象，采用解圖“三步法”進行分析，具體如下.

第一步，看，確定坐標軸所表示的含義.坐標系的橫坐標表示出發時間，縱坐標表示兩人之間的距離.

第二步，找，明晰圖中關鍵點的含義.

點E：時間為0，兩人都沒運動，那么兩人之間的距離就是A，B兩地之間的距離.

點F：縱坐標為0，即兩人相遇.

點M：甲到達B地.

點N：點N前后的變化率不同，說明乙到達目的地.

點P：兩人之間的距離又一次變成0，說明兩人都到達A地.

第三步，變，探尋圖象中變化趨勢的含義.

線段EF：表示兩人相向而行并相遇.

線段FM：表示兩人相遇后繼續往前走，兩人之間的距離增大.

線段MN：甲到達B地后返回，是一個追及問題，兩人之間的距離減小.

線段NP：乙已經到達A地，甲一直走向A地，兩人之間的距離減小.

【過程解析】

（1）分析圖象可知，開始時甲、乙兩人之間的距離為1200 m.由于甲從A地出發，乙從B地出發，兩人開始時的距離為A，B兩地之間的距離，所以A，B兩地之間的距離為1200 m.

（4）設經過x min兩人相距80 m，兩人相遇前和相遇后都可相距80 m.

相遇前：1200-（60+80）x=80，解得x=8；

評析：上述為元素共用圖象型一次函數行程問題，探究解析時同樣采用了解圖“三步法”——解析圖象確定兩人之間的距離變化情況，后續采用待定系數法求解析式，聯立方程求解點的坐標.

寫在最后

一次函數行程問題充分體現出了一次函數知識的應用，使用解圖“三步法”解析問題時，要注意把握圖象中點、線的變化，理解其背后的實際意義.教學時，教師應注意一次函數行程問題的分類探究，引導學生關注問題特征，掌握分步解析圖象的方法、思路.