主題統領創情境，體系構建釋全景

【摘要】基于大概念的整體性大單元教學設計旨在創設真實情境，通過問題鏈設計引導學生思維發展，借助知識關聯力求體系構建，在問題解決中激發興趣、創新思維，發展學生的核心素養.

【關鍵詞】情境教學；初中數學；課堂教學

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）指出，數學課程內容是實現課程目標的重要載體，課程內容組織方面重點是對內容進行結構化整合，探索發展學生核心素養的路徑.基于大概念的整體性大單元教學設計指向對教材內容的整合優化，通過系統整合詮釋數學全景，通過主題統領創設真實情境，指向核心素養的落地達成.近期，筆者有幸觀摩了所在地區的優質課評選活動，其中二次函數單元總結課給人留下了深刻印象，本文將對比展示兩節課例的部分教學設計和一些個人思考，與同行交流.

1 案例呈現

案例1 由形觀變化，由數得精確

課前準備：邊長為16cm的正方形硬紙片2張、剪刀.

將準備好的正方形硬紙片（如圖1）折成一個長方體盒子.如圖2，在正方形硬紙片的四角各剪去一個同樣大小的正方形（陰影部分），將剩余部分沿虛線折起，可折成如圖3的長方體盒子.

問題1：若剪去的小正方形的邊長為2cm，那么長方體盒子的底面積為多少？

問題2：若剪去的小正方形的邊長為xcm，那么長方體盒子的底面積如何表示？設底面積為ycm2，y是x的函數嗎？如果是，請指出是什么類型的函數；如果不是，請說明理由.

追問1：若2≤x≤4，隨著x的變化，變量y是如何變化的？你能畫圖說明嗎？

追問2：你還能說出該函數的哪些性質？請小組內互相說一說.

問題3：設側面積為zcm2，請寫出z與x之間的函數表達式，并思考：側面積是否存在最大值，如果存在，當x取何值時側面積最大，并求出該最大值；若不存在，請說明理由.

追問1：畫出上述函數的草圖，羅列出此函數的幾條性質.

追問2：當x取何值時，該長方體的側面積等于32cm2呢？你是如何得到的？

問題4：能否剪掉邊長為整數的小正方形，使得折成的無蓋長方體盒子的側面積不小于32cm2？

問題5：如何裁剪才能使得無蓋長方體盒子的體積不小于64cm3？關于這個問題，你認為該如何研究？

案例2 養雞場中的數學

活動1 生活情境現數學

小明的父親計劃用長80m的柵欄，借助長50m的房屋外墻圍成一個矩形雞舍.

問題1：小明父親想把50m的房屋外墻全部利用上作為雞舍的一邊，如圖4，那這個矩形雞舍的長和寬分別是多少？面積是多少？

追問1：為保證雞的成長及收益，計劃平均每平方米雞的數量為8只，若打算在雞舍中養6300只雞，小明父親的設計可以滿足條件嗎？

活動2 數學知識助生活

追問2：為保證雞的成長及收益，計劃平均每平方米雞的數量為8只，若打算在雞舍中養6300只雞，你可以用已學知識給出設計方案嗎？

追問3：此實際問題中抽象出的數學研究對象“雞舍的一邊長”與“雞舍的面積”存在函數關系嗎？請說明.

追問4：請表示出“雞舍垂直于墻的邊長x”與“雞舍面積y”之間的函數關系.

追問5：還有其他表示方式嗎？

問題2：小明的父親好奇地問道：“可否設計出面積更大的矩形？”矩形的最大面積為多少？此時與外墻平行、與外墻垂直的兩條邊長分別為多少呢？

追問1：請結合圖象解釋“矩形雞舍面積為787.5m2時，為何可以求得兩個垂直于墻面的邊長”.

追問2：養6300只雞，若平均每平方米雞的數量不超過8只，除了上述方案，還有其他方案嗎？

2 案例評析

2.1 創設情境，學習主題統領

函數是研究現實世界中變量之間的數量關系和變化規律的模型.三個案例都從實際生活出發，抽象出數學問題，構建二次函數模型，將二次函數性質的復習回顧有機融合到精心設計的情境中.比如，案例1通過研究長方體的側面積和底面積在不同情況下的最值，自然復習了二次函數的開口方向、頂點坐標、對稱性、增減性、最值等知識；案例2設計精心巧妙，從常量到變量，從雞舍的面積到雞的數量，將圖象變換、二次函數最優化問題和建立平面直角坐標系利用待定系數法求拋物線的表達式等問題全然置于養雞場主題背景下；

2.2 問題引導，注重思維發展

問題是知識的源泉，是智慧的搖籃.問題的價值在于引導，問題鏈的價值在于內在聯系.因此，問題之間應該是存在數學知識內部聯系的，而不是生硬的，學生知識的獲取過程則是由問題引發思考、自然而然地生長建構的過程.比如，案例2中的問題1通過設置5個追問問題，引導學生感受從常量到變量的變化，其中追問2引導學生自然而然想到設未知量，“雞舍垂直于墻的邊長x”與“雞舍面積y”之間的函數關系是自然得到的，數學抽象能力和模型觀念在問題解決中得到提升和發展.

3 教學思考

《課標（2022年版）》強調數學課程要培養學生的核心素養，引導學生會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界.課標明確指出學生要借助現實情境了解代數式；根據現實情境理解方程的意義，能針對具體問題列出方程；結合具體問題，了解不等式的意義；探索簡單實例中的數量關系和變化規律，了解常量、變量的意義；結合具體情境體會一次函數的意義；通過對實際問題的分析，體會二次函數的意義；結合具體情境體會反比例函數的意義，能用反比例函數解決簡單實際問題；等等.作為二次函數的單元總結課，教學過程中應讓學生親身經歷從日常生活、現實世界到數學世界的過程，將實際問題抽象成數學模型的過程.通過大情境主題的設定，引導學生感受函數的應用性，激發數學學習興趣，提升問題解決能力.

參考文獻：

［1］姜偉.整體構建：單元起始課的實踐與思考——以“相等關系和不等關系”為例［J］.中學數學教學參考，2023（07）：24-27.

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［3］湯展潘.思維導圖在二次函數復習教學中的應用［J］.數理化解題研究，2023，（17）：38-40.