高中數學“冪函數”教學設計

【關鍵詞】高中數學；方法引領；教學設計；冪函數

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2024）19-0043-04

【作者簡介】楊玲玲，江蘇省句容市第三中學（江蘇句容，212400）教師，一級教師。

一、教學內容分析

本節課的內容選自蘇教版普通高中數學教材必修一第6章第1節，是第5章《函數》內容的延續和深化，也是函數思想方法應用的具體化。學生在初中時已經接觸過y = x，y = x2，y = x-1等函數，對這些函數有一定的認知基礎和研究經驗。教學時，教師可以引導學生梳理已有經驗，幫助學生學會從數和形兩個角度來研究冪函數的性質。這樣的研究方式對后續內容的學習起著引領、指導和組織的作用，能夠幫助學生建立研究函數模型的方法范式，從而實現數學知識和方法的自然延拓。

二、教學目標設置

1.了解冪函數的概念，會畫出y = x，y = x2，y = x3，y = x-1，y = x[12]等冪函數的圖象；

2.了解幾個常見的冪函數的性質，會利用它們的單調性比較兩個底數不同而指數相同的指數冪值的大??；

3.經歷探究冪函數圖象與性質的過程，明確研究一類函數模型的基本方法，進一步體會數形結合、特殊與一般等數學思想，培養直觀想象、數學抽象、邏輯推理等數學學科核心素養。

三、學情分析

1.學生已有的認知基礎

本節課的授課對象是江蘇省四星級普通高中高一學生，在知識結構上，他們在初中時已經研究了一次函數、二次函數、反比例函數等初等函數，在高中又學習了函數的概念及簡單性質，已經積累了研究函數的初步知識基礎。在經驗方法上，他們經歷了對y = x，y = x2，y = x-1等函數的初步學習，已經擁有了研究函數的基本經驗，并具備一定的觀察、分析、抽象、概括能力。

2.達成目標所需的認知基礎

在探究冪函數性質的過程中，需要學生對數形結合思想有較深刻的認識和理解，有較強的直觀想象、邏輯推理能力和良好的獨立思考、合作交流等學習習慣。

四、教學過程設計

1.復習回顧，方法引領

【課堂引導語】函數概念的分析，為探索種種運動規律提供有力工具，教給人們如何依據已有的經驗去預測未來的事物，從而進一步獲得自然界的科學知識，從千姿百態的現象中總結出反映本質的基本規律?！樟窒Ｄ?/p>

問題1：在以往的學習中，我們學習過函數的哪些基本內容？

在初中，學生學習過一些具體的函數，比如一次函數、二次函數和反比例函數等，y = x，y = x2，y = x-1是其中的特例；在高中，學習過函數的一些基本性質，比如：定義域、值域、奇偶性和單調性等。結合初高中所學，可以得到表1。

問題1.1：表1中函數y = x2的奇偶性可以如何得到？

問題1.2：表1中函數y = x2的單調性可以如何得到？

問題1.3：函數y = x2的奇偶性和單調性之間有什么聯系？對我們研究新的函數有什么啟發？

上述問題的答案可以通過觀察y = x2圖象特點得到，即“以圖識性”，這是初中研究函數最常用的方法；也可從解析式出發，即“依性作圖”，這是學生在進入高中學習后新習得的方法。奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱，為“對稱取點”作圖埋下伏筆，也為學習“研究單調性時只需研究定義域的‘一半”作鋪墊。后續學生可以從這兩個角度來研究y = x3，y = x[12]，y = x-2這3個具體函數。

【設計意圖】上述教學首先通過普林希姆的話，引出本節課的教學任務：在函數學習中，要善于根據已有的學習經驗和思想方法，進行適當的遷移，進一步研究未知的知識。然后通過問題串，引導學生回顧函數相關知識并明確研究函數的兩種方法，體會函數圖象與性質間的對應關系，為研究冪函數作鋪墊。

2.歸納特征，構建概念

問題2：這六個函數的解析式有什么共同特征？你能概括出它們的一般形式嗎？

【設計意圖】從特殊到一般，引導學生直觀感受冪函數的結構，并用數學語言抽象出冪函數的定義：一般地，我們把形如y = xα的函數稱為冪函數，其中x是自變量，α是常數。

3.合作探究，歸納性質

問題3：你能根據已有的學習經驗來研究y = x3，y = x[12]，y = x-2的圖象和性質嗎？說說你的設想。

【探究活動1】初探函數y = x3，y = x[12]，y = x-2的性質。

函數的定義域決定了函數的“寬度”，值域決定了函數的“高度”，奇偶性反映了函數的對稱性，單調性反映了函數的變化趨勢。學生通過自主探究、小組討論，先從解析式入手，能夠得到三個函數的定義域、值域、奇偶性，即“依性作圖”。

【設計意圖】高中數學教學提倡獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式。上述教學放手讓學生自主探究：定義域、值域、奇偶性可以依據定義從數的角度判斷，而單調性借助圖象判斷更加直觀。經過充分的探究，學生能夠建立統一的觀點：具有奇偶性的函數，先研究定義域的“一半”，“另一半”由對稱性得到。

【探究活動2】畫出函數y = x3，y = x[12]的圖象。

學生在小組內討論交流，展示圖象，說明畫法，并回答以下問題。

問題3.1：你采用什么方法畫出它們的圖象？取了哪些點？

問題3.2：根據這幾個點你是怎么確定它的圖象是這樣的形狀呢？怎么做可以讓所畫圖象趨勢更準確一點？

問題3.3：能否少取一些點？理由是？

【師生活動】學生結合取點分析出y = x3在第一象限隨自變量增大呈現出“快速增長”趨勢，y = x[12]在第一象限隨自變量增大呈現出“緩慢增長”趨勢。教師用作圖軟件在同一個坐標系內作出y = x3，y = x[12]的圖象，讓學生體會變化趨勢的不同。

問題3.4：給出函數y = x4，你認為它在［0，+∞）的圖象和哪個函數類似？

問題3.5：給出函數y = x[13]，你認為它在［0，+∞）的圖象和哪個函數類似？

在這里，教師要及時用作圖軟件驗證，引導學生歸納總結0＜α＜1，α＞1兩種情況下的圖象特征。

【設計意圖】畫圖能夠讓學生直觀感受圖象位置與變化規律。遞進式問題串能夠幫助學生梳理圖象與性質之間的思維路徑，感受依性作圖和以圖識性中蘊含的數形結合思想，獲得研究具體函數的新思路，促進實踐能力和創新意識的發展。

師：前面我們通過歸納6個函數的解析式的共同特性得到了冪函數的定義，得到了這5個函數的圖象（見圖1）。如果從形的角度歸納圖象的共同特征，又能有哪些收獲呢？

問題3.6：如圖1，觀察這5個函數圖象，你能發現它們具有哪些共同的特性？

問題3.7：當指數怎樣變化時，冪函數在［0，+∞）會呈現這樣的變化趨勢呢？

【師生活動】觀察幾個特殊函數的圖象，讓學生獨立思考、交流討論，引導學生從特殊點、單調性等方面尋找共同特性，進行歸納并提出一般猜想：一般地，函數y = xα，當α＞0時，函數的圖象都過點（0，0）和（1，1）；在第一象限內，函數的圖象隨x的增大而上升，函數在［0，+∞）上是增函數。教師借助軟件歸納驗證得出圖2。

【設計意圖】上述探究過程中，學生合作探究，通過觀察、歸納、猜想，形象記憶了函數圖象和性質。教師通過問題串的形式，層層遞進，由特殊到一般，引領學生總結冪函數隨冪指數變化的圖象性質變化情況，進而給出一般猜想，并借助作圖軟件歸納驗證。

師：回顧前面的研究過程，對α＜0的冪函數是否也會有類似的共性呢？

【探究活動3】小組合作，設計探究α＜0時冪函數性質的研究思路與方案。

問題3.8：在用描點法畫y = x-2的圖象之前，你會做哪些準備工作？

問題3.9：觀察函數圖象，可以得到哪些共性？

【師生活動】選擇兩個特殊的函數y = x-1，y = x-2畫出圖象，歸納共性并提出一般猜想：一般地，函數y = xα，當α＜0時，函數的圖象都過點（1，1）；在第一象限內，函數的圖象隨x的增大而下降，函數在（0，+∞）上是減函數。教師借助軟件歸納驗證。

【設計意圖】上述教學讓學生先獨立思考，然后小組之間交流、討論、合作設計研究思路和方案，并通過追問評價學生是否理解了依性作圖和以圖識性的關系，掌握了研究新函數的思路。這個過程中，學生將前面研究的經驗類比遷移，再次經歷數學探究過程，積累數學探究經驗，感受探究一類函數共性的基本方法。

4.自主探究，形成體系

問題4：如圖3，五種指數范圍下的冪函數在（0，+∞）的圖象都在第一象限，你能給出這里“形”背后的“數”的說明嗎？

問題4.1：冪函數在其他象限的圖象如何得到？

問題4.2：根據第一象限特征，結合奇偶性，冪函數的圖象共有多少類？

【設計意圖】上述教學旨在引導學生進一步體會數形結合思想的優越性，為以后作圖提供一般思路和方法，幫助學生在復雜的情境中把握事物之間的關聯，發展學生的理性思維和邏輯推理等數學學科核心素養，并體會冪函數圖象之美。

5.探究典例，實踐應用

【課堂例題】試比較下列各組數的大小：

（1）1.14，0.894；

（2）2.1-3，2-3，1.8-1。

【設計意圖】例題考察冪函數單調性的應用，旨在通過練習讓學生進一步加深對冪函數性質的理解，并體會用性質解決實際問題的過程，形成規范化思考問題的品質。

6.總結升華，形成系統

問題5：本節課主要研究了哪些內容？是如何研究的？研究一個新函數的途徑和策略是什么？我們還能研究什么？

【設計意圖】通過回顧整節課的研究過程，幫助學生建立起研究一類函數的基本思路，體會研究一類函數共性的一般方法，積累數學探究的經驗，體會特殊與一般、數形結合、歸納類比、分類討論等數學思想在解決問題中的作用。從知識、方法、思想等多維度進行反思提煉，既總結收獲、積累經驗，同時又站在本章起始的視角明晰后續函數學習的基本思路，體現單元引領作用。最后，提出數學史中“冪”的發展，滲透數學文化。

7.分層作業，鞏固新知

【感受·理解】P134習題1，2，3，4。

【思考·運用】P134習題5，6，7。

【拓展·探究】證明：冪函數y = x3在區間（-∞，+∞）上是增函數。

【設計意圖】作業設計上注重分層，通過“感受·理解”讓學生掌握冪函數的概念，鞏固對冪函數性質的認識；通過“思考·運用”加深學生對冪函數性質的理解；通過“拓展·探究”提升學生的數學運算和代數論證的能力。