提升學(xué)生認(rèn)知能力的數(shù)學(xué)教學(xué)探索

王琳 陳鋒 夏馬成

摘 ?要：針對2022年無錫市中考試題中一道常規(guī)代數(shù)推理題得分率偏低的情況，文章深入剖析了學(xué)生失分的原因，并進(jìn)行了典型認(rèn)知錯誤的分析，提出了一系列針對性的教學(xué)策略，包括研讀課程標(biāo)準(zhǔn)與教材，夯實(shí)基礎(chǔ)教學(xué);參考教材力求規(guī)范，注重規(guī)范教學(xué);注重學(xué)生能力培養(yǎng)，彰顯核心素養(yǎng)。這些策略的實(shí)施將有助于提高學(xué)生的代數(shù)推理題得分率，進(jìn)一步提升學(xué)生的整體學(xué)業(yè)水平。

關(guān)鍵詞：試題剖析;認(rèn)知分析;代數(shù)推理;數(shù)學(xué)教學(xué)

數(shù)學(xué)作為中考的重要科目之一，是考查學(xué)生邏輯思維、分析能力和問題解決能力的重要工具。其中，代數(shù)推理題是數(shù)學(xué)中考中常見的一類題型，它要求學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)的代數(shù)知識，通過推理、分析、計(jì)算等多種手段，找出問題的解決方案。

2022年無錫市中考試卷中第26題是一道比較常規(guī)的代數(shù)推理題，而且在平時(shí)教學(xué)中，教師都作為典型例題強(qiáng)調(diào)過，但實(shí)際得分情況卻出乎意料，滿分10分的題，平均得分只有4.09分。針對這一情況，文章深入剖析了學(xué)生失分的原因，并提出一系列針對性的教學(xué)策略，以期提高學(xué)生的代數(shù)推理題得分率。

一、中考試題剖析

（一）試題呈現(xiàn)

某農(nóng)場計(jì)劃建造一個矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場一面靠墻（墻的長度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為1∶2的矩形，已知柵欄的總長度為24m，設(shè)較小矩形的寬為xm，如圖1所示。1. 若矩形養(yǎng)殖場的總面積為36m2，求此時(shí)x的值;2. 當(dāng)x為多少時(shí)，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？

（二）命題立意

縱觀無錫市近幾年中考數(shù)學(xué)試題的命題特點(diǎn)，最后三道壓軸題中必有一道方程、不等式、函數(shù)相結(jié)合的應(yīng)用題。今年在“雙減”背景下，為了穩(wěn)中求變，變中求新，命題組在該試題的命制過程中，始終圍繞體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)、凸顯學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的宗旨，以便更好地體現(xiàn)本題所承載的選拔功能。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》中的學(xué)段目標(biāo)提到：第四學(xué)段（7-9年級）會用代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等描述現(xiàn)實(shí)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，形成合適的運(yùn)算思路解決問題;形成抽象能力、模型觀念，進(jìn)一步發(fā)展運(yùn)算能力。在新課標(biāo)的目標(biāo)和理念的引領(lǐng)下，命題組遵循“源于教材，又高于教材”的原則，同時(shí)突出考查學(xué)生的閱讀理解能力、自主探究能力，考查學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，從而落實(shí)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)。

（三）素材選取

根據(jù)雙向細(xì)目表和數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的要求，命題組選取了蘇科版教材九年級上冊第34頁的習(xí)題10和11進(jìn)行了改編。具體素材內(nèi)容如第10題：學(xué)校打算用長16m的籬笆圍成一個長方形的生物園飼養(yǎng)小兔，生物園的一面靠墻（如圖2），面積是30m2，求這個生物園的長和寬。第11題：如圖3，用長6m的鋁合金條制成“日”字形窗框，窗框的寬和高各是多少時(shí)，窗戶的透光面積為1.5m2（鋁合金條的寬度不計(jì)）？

（四）試題評析

素材上的兩道題解題思路一樣，都是設(shè)寬為xm，然后用x表示另一條邊，根據(jù)面積列方程求解。但是，從學(xué)生的解答過程來看，第11題的錯誤率會明顯高于第10題，因?yàn)榈?1題中的“日”字形，多了一條寬，這也是學(xué)生思維上所遇到的一個障礙。因此，此次中考第26題就將這一“障礙”融入進(jìn)去，導(dǎo)致接近10%的學(xué)生在這道題上失誤了。另外，素材中的第10題，沒有給出墻的長度。而在中考第26題中，墻的長度決定了最后解的取舍問題。有部分學(xué)生忽略了這個條件，也導(dǎo)致了失分。對比原題，“高于教材”就體現(xiàn)在了兩個方面：第一，中間多了一道分隔柵欄;第二，墻的長度限定了x的取值范圍。面對這樣的問題，學(xué)生會有似曾相識的感覺，可以有效激發(fā)學(xué)生的探究欲望，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，提高思維的效率。該命題意在引領(lǐng)教師更加注重教材，創(chuàng)造性地運(yùn)用教材;引領(lǐng)教師反思教學(xué)，樹立以發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)意識;引領(lǐng)教師改變教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生走上熱愛數(shù)學(xué)，開發(fā)智慧的學(xué)科育人之路。

二、典型認(rèn)知錯誤分析

（一）審題不夠仔細(xì)，忽略重要條件

認(rèn)知失誤一：“中間再用柵欄把它分成兩個面積為1∶2的矩形”這個條件沒有注意，由面積1∶2的關(guān)系得到平行于墻的一邊長為3xm，而垂直于墻的柵欄誤以為2根，中間分隔的沒有計(jì)算在內(nèi)，錯誤地將垂直于墻的一邊長表示為m。有這種失誤的學(xué)生很多，大概要占10%。

認(rèn)知失誤二：“該矩形養(yǎng)殖場一面靠墻（墻的長度為10m）”這句話中括號里的一個隱藏條件沒注意，學(xué)生忘記檢驗(yàn)所求得的解是否符合題意。通過列方程可求得x有兩個解2和6，而當(dāng)x=6時(shí)，平行于墻的一邊長為18m，大于了墻長，不符合題意，應(yīng)舍去。

認(rèn)知失誤三：學(xué)生未注意“x為較小矩形的寬”這個條件，答題時(shí)根據(jù)面積1∶2進(jìn)行了分類討論。若左邊與右邊的面積比為1∶2，則平行于墻的一邊表示為3xm;若左邊與右邊的面積比為2∶1，則平行于墻的一邊表示為1.5xm。學(xué)生思考了兩種情況，花了大量時(shí)間求解，卻還被扣分。

（二）基本技能不足，計(jì)算頻頻出錯

認(rèn)知失誤一：將所列方程去分母，化簡為9x（24-3x）。此類學(xué)生想利用等式的性質(zhì)，去掉左邊式子上的分母3，兩邊同乘以3時(shí)，左式反而多乘了3。其實(shí)，沒必要兩邊同乘以3，代數(shù)式化簡掌握得好的學(xué)生，直接可以利用左邊式子的因數(shù)3，直接進(jìn)行約分化簡。

認(rèn)知失誤二：一元二次方程求解不熟練。對方程x2-8x+12=0不會用十字相乘法求解。有的學(xué)生用公式法求解，在代公式時(shí)，計(jì)算出錯。有的學(xué)生用配方法求解，配方出錯，或是直接開方時(shí)出錯。

認(rèn)知失誤三：有學(xué)生設(shè)垂直于墻的一邊長為ym，從而列出了方程組x+y=8

xy=12，不會消元求解，只會用整數(shù)去湊解。

（三）函數(shù)思想欠缺，性質(zhì)理解不透

第2題“當(dāng)x為多少時(shí)，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？”這道題是借助函數(shù)思想，建立面積S與x的函數(shù)關(guān)系式，由函數(shù)的性質(zhì)來求得面積的最大值。

認(rèn)知失誤一：部分學(xué)生不考慮自變量x的取值范圍，直接根據(jù)函數(shù)表達(dá)式S=-3（x-4）2+48得當(dāng)x=4時(shí)，S最大=48。

認(rèn)知失誤二：二次函數(shù)的增減性不會描述。如“∵-3<0，∴S隨x的增大而減小”，這與一次函數(shù)的增減性混淆。“∵-3<0，∴S隨（x-4）2增大而減小”“S隨x-4增大而減小”“x越接近4，S的值越大……”雖說有一定的道理，但是并不規(guī)范。

認(rèn)知失誤三：不理解函數(shù)的連續(xù)性，或者說自變量的范圍。例如，“∵0

三、改進(jìn)課堂教學(xué)的策略

（一）研讀課程標(biāo)準(zhǔn)與教材，夯實(shí)基礎(chǔ)教學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》的修訂原則是堅(jiān)持目標(biāo)導(dǎo)向、堅(jiān)持問題導(dǎo)向、堅(jiān)持創(chuàng)新導(dǎo)向，對教學(xué)增強(qiáng)了指導(dǎo)性。各課程標(biāo)準(zhǔn)針對內(nèi)容要求提出學(xué)業(yè)要求、教學(xué)提示，細(xì)化了評價(jià)與考試命題建議，注重實(shí)現(xiàn)“教—學(xué)—評”一致性，增加了教學(xué)、評價(jià)案例，不僅明確了“為什么教”“教什么”“教到什么程度”，而且強(qiáng)化了“怎么教”的具體指導(dǎo)。所以每位教師都需要仔細(xì)研讀新課標(biāo)和教材，緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)和教材來制訂教學(xué)目標(biāo)，夯實(shí)基礎(chǔ)是重中之重。尤其是在面對中考的初三復(fù)習(xí)課時(shí)，教師往往把題目的難度拔得很高，而忽視了最根本的基礎(chǔ)教學(xué)。此外，很多教師在實(shí)際教學(xué)中固守傳統(tǒng)的教學(xué)模式、教學(xué)理念。有些教師雖然能夠?qū)W習(xí)、了解課程標(biāo)準(zhǔn)，但對課程標(biāo)準(zhǔn)的理解僅停留在基礎(chǔ)層面，并未對其實(shí)際的內(nèi)涵進(jìn)行深入挖掘。

例如，部分學(xué)生在解題過程中，因解方程計(jì)算出錯的頻率很高，但試題中的計(jì)算量并不大。一元二次方程的解法、方程組的消元法等都是課標(biāo)中要求必須掌握的。作為一線教師，在課堂教學(xué)過程中，必須重視“四基”，在基礎(chǔ)教育時(shí)需要舍得花時(shí)間，讓學(xué)生慢慢去理解，去悟透，而不要急于求成。比如，教師在教授解方程中的去分母時(shí)，不是看到有分母就機(jī)械性地立即去，而是先引導(dǎo)學(xué)生觀察式子能否先化簡，化簡后如果有分母再考慮去分母。無論是解方程還是計(jì)算，教師都得讓學(xué)生放慢速度，先觀察思考，再用最優(yōu)的方案去解決問題。

（二）參考教材力求規(guī)范，注重規(guī)范教學(xué)

數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，主要包括三個方面：第一，會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界;第二，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界;第三，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。數(shù)學(xué)的眼光是抽象敏銳的，數(shù)學(xué)的思維是邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模瑪?shù)學(xué)的語言是精準(zhǔn)簡潔的。因此，數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)課堂上除了強(qiáng)調(diào)解題方法外，還需關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)語言的表達(dá)是否有邏輯、是否嚴(yán)謹(jǐn)、是否規(guī)范。從閱卷工作中可以發(fā)現(xiàn)，由于書寫不規(guī)范導(dǎo)致失分的情況也很普遍。作為教師得反思，平時(shí)的教學(xué)是否規(guī)范，日常的課堂語言、板書示范、學(xué)生作業(yè)的修改，教師都要參考教材，力求規(guī)范。數(shù)學(xué)是一門非常講究嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，教師應(yīng)在平時(shí)的教學(xué)中滲透這種思想，注重培養(yǎng)學(xué)生的規(guī)范意識，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中逐步養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

（三）注重學(xué)生能力培養(yǎng)，彰顯核心素養(yǎng)

學(xué)生核心素養(yǎng)的養(yǎng)成，不是靠教師課堂上“教”出來的，而是要學(xué)生主動參與課堂上的數(shù)學(xué)活動來獲取的;不是讓學(xué)生成為“解題模仿機(jī)器”就能培養(yǎng)出來的，而是需要學(xué)生自己去感悟與思維的;不是通過強(qiáng)化訓(xùn)練突擊出來的，而是學(xué)生經(jīng)過思考后日積月累攢下來的。教師在教學(xué)時(shí)往往存在“輕過程、重結(jié)果”的錯誤做法：一是新授內(nèi)容無限制地被壓縮，相關(guān)概念、原理等新知內(nèi)容，課上一帶而過，甚至和盤托出;二是進(jìn)行大規(guī)模機(jī)械重復(fù)的強(qiáng)化訓(xùn)練，并加大訓(xùn)練難度，導(dǎo)致學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)了這樣一種奇怪的現(xiàn)象：雖然不知道問題是如何產(chǎn)生的，卻知道如何去解答，“知其然而不知其所以然”幾乎成了許多學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真實(shí)寫照。

例如，從這次中考的第26題答題情況來看，學(xué)生在審題不仔細(xì)上失分的情況嚴(yán)重。因此，教師在教學(xué)過程中不僅要教授解題方法，還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生如何去讀題、如何去分析題目，讓學(xué)生自己思考，最終獲得最優(yōu)化的解題方案。本次中考的第26題也是旨在引導(dǎo)教師要關(guān)注學(xué)生自主學(xué)習(xí)、主動探究的學(xué)習(xí)方式，試題“模仿式”的教學(xué)是無法提升學(xué)生探究能力和發(fā)展學(xué)生思維的。因此，教師要執(zhí)果索因，不斷反思、優(yōu)化課堂，做到從傳授知識到傳授思維，由“授人以魚”轉(zhuǎn)變?yōu)椤笆谌艘詽O”。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開解題，掌握數(shù)學(xué)思想方法，才能站在解題的制高點(diǎn)。在教學(xué)中，教師應(yīng)把數(shù)學(xué)思想方法滲透每一堂課中，通過“一題多解”或“一題多變”，讓學(xué)生在多元思維碰撞中，感悟與形成思想方法。

綜上所述，深入剖析學(xué)生在考試中的失分情況，有助于教師明確課堂教學(xué)中的薄弱環(huán)節(jié)，并為今后的教學(xué)工作提供改進(jìn)方向。中考答卷不僅考察了學(xué)生對知識的掌握程度，還展現(xiàn)了學(xué)生的綜合素質(zhì)和學(xué)科能力。因此，教師在教育教學(xué)過程中，應(yīng)當(dāng)聚焦于理解、思維、思想方法和數(shù)學(xué)精神的培養(yǎng)，應(yīng)潛移默化地在課堂上實(shí)現(xiàn)知識與能力的融合、方法與實(shí)踐的結(jié)合、教書與育人的統(tǒng)一，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生全面發(fā)展。

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（責(zé)任編輯：淳 ?潔）