數形貫通，相得益彰

朱妍橙

【摘 要】幾何直觀作為數學的核心素養之一，十分重要。學生在數學學習過程中，應形成幾何直觀意識和能力，并靈活運用幾何直觀分析和解決問題，以此提升自身數學素養，而這有賴于教師對學生幾何直觀能力有效培養。文章基于小學數學特征與幾何直觀教學特點，主要分析幾何直觀在小學低年級數學教學中的有效應用。

【關鍵詞】小學數學 幾何直觀 數形結合 教學應用

《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確指出，在數學課程中，應當注意培養、發展學生的數學素養，以適應時代發展對人才培養的需要。而數形結合幾何直觀，又是發展學生數學核心素養的一個重要舉措和必備目標。

一、關注幾何直觀素養培養是數學新課標的既定要求

《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確提出11個核心素養：數感、量感、符號意識、運算能力、空間觀念、幾何直觀、推理意識、數據意識、模型意識、應用意識、創新意識。這些核心素養要點代表著數學課程的特有價值，成為數學課程目標的著力點。教師應當通過日常的教學活動，持續不斷地予以落實。而幾何直觀作為數學新課標所劃定的11個核心素養之一，也凸顯其重要性。

筆者在小學數學低年級課堂上曾問過學生，你們喜歡什么樣的數學題？大多數學生都回答：“最喜歡看圖寫數，因為一看就會！”“一看就會”讓筆者陷入了思考，低年級學生的思維以具體、直觀、形象占主導地位。如果能在教學中融入幾何圖形，建立形與數的聯系，幫助學生減少或降低數學認知在知識和能力方面的難度，這便能合理提升小學數學課堂教學質量，這對學生數學素養的發展有著積極意義。對此，筆者做了較深入的研究和思考，并將研習心得付諸實踐。

二、核心素養視域下低年級幾何直觀的教學實踐策略

（一）利用幾何圖形直觀感知與理解數與數量關系

在小學數學教學中，利用幾何圖形直觀，可以實現對數量關系的感知與理解。教學中學生進行分析、綜合等一系列活動，來解決數學問題，是在“形”的基礎上，借助幾何圖形載體對數學思維的感知和理解過程。

在教學“8的乘法口訣”一課時，不同畫圖之間的轉化，能夠更好地促進學生理解，使其思維可視化。如果只注重單一的教學模式，學生的思維只會停留在知識具體化的層面，思維缺乏進階提升和發展。

一般來說，小學生數學學習活動需要經歷“從具體直觀到一般抽象、再回歸思維具體”的認知思維路徑，以提升數學學習的參與效度與學習深度。其間認知操作，經歷“實物操作—圖像操作—符號操作”的三次轉化與提升，符合學生認識事物的規律。

小學生處于形象思維到抽象思維的關鍵時期，學習較為抽象的內容，特別是理解較為復雜的數量關系時，需要借助具體事物或圖形的支持?！皵等毙螘r少直觀”，幾何直觀恰恰能將“形”與數“貫通”，利用直觀的“形”呈現抽象的“數”。這既符合小學生的年齡特征，也符合他們的認知發展規律。

（二）關注形的認識和數與形的聯系，孕育以形表數

1.以“三角形數”（如圖1）展示數與形的直觀聯系

數的概念源自集合屬性的提煉，幾何圖形是大自然中各種規則形狀的提取。教師要引導學生加深對形的認識，加強數與形的聯系，孕育以形表數的意識。

2.畫圖表征小數、分數，實行以“形”表數

在教學“小數的初步認識”一課時，從課堂里呈現的學生作品（如圖4）可以看出，他們都是把一個圖形看成1元，把它平均分成10份，取出其中的1份，用分數表表示為十分之一元，小數為0.1元。通過畫圖表示后，學生能充分理解0.1的含義，十分之一是分數單位，而0.1是小數單位。學生在充分理解小數單位后，就能近一步了解其余一位小數都是建立在其圖形平均分示意理解上的。學生運用數描述現實生活中的簡單現象，以了解日常生活中與數學相關的信息，愿意參與數學學習活動，能夠從中懂得數學的作用，體會數學之美。

在教學“分數的初步認識”一課中，教師可以為學生建立初步的分數模型（如圖3）。當學生對分數有一定的了解后，教師可以組織“涂紙片”活動，讓學生通過折一折、涂一涂加深對分數的含義的理解，這可以為其后續深入學習分數做好鋪墊。著名數學家華羅庚先生曾指出，學生對于數學的探索，不應該停留在簡單的公式和定理之上，更應懂得如何靈活運用知識，只有深入探索才能實現數學思想的沉淀。因此，小學數學教學更應當注重理論與實踐的有機結合。

（三）加強數與形結合，用圖來解釋數學規律

1.借助圖形來探索數字規律

在數學教學中，需要引發學生自己的思考，將抽象的數學語言和直觀的圖像結合在一起，進而來解答數學問題。圖形可以使抽象的問題變得形象，運用圖形可輕巧地找出一些文字中未經解釋的有用信息，促進問題的解決。在數學教學中，教師要重視運用圖形教學，以有效發展學生的數學思維能力，如運用圖形顯示變化，可以讓學生探索相關數據規律，以此提高學生對數學問題的理解、分析和解決能力；引導學生觀察相應圖形，對比相應的數據，加深學生對數學問題、數學知識的深度理解。

例如：

在理解“單數+單數=雙數”時，低年級的學生無法從數的本身去探索，平時要加強構造直觀的訓練。

例：如果一個很大的單數和一個很大的雙數相加，和一定是單數？為什么？

方法1：用各位相加說明。

方法2：用幾何模型說明（結論具有一般性），學生看圖可以一目了然。（如圖6）

2.借用幾何圖形表示運算的意義與規則

在小學數學教學中，對于四則運算的意義和筆算中的規則，都是可以運用幾何圖形的示意來表示算理的。當運用幾何圖示來呈現算理和步驟時，就能給學生以直觀的感受，使之從中看清這么計算的意思，理解為什么要這么算，其合理性在哪里。因此，可以說圖示是把計算的意義、規則與算理外化，讓學生看得見、摸得著。借用幾何圖形不但可以表示計算的意義和規則，而且可以用它來表示運算的定律和性質。如對于乘法的分配律運用圖形外化，能夠讓學生理解用一個數去乘兩個數的和，學生能夠通過圖形的等積變形或者點子數的不變，理解算式變化規律和性質。如“乘法分配律”包含了加法運算和乘法運算，學生一時無法接受復雜的數字運算，在具體運用時容易發生記憶錯亂。教師可以借助幾何直觀的思想方法，引導學生進行深度學習，讓學生在幾何直觀的背景下觀察總結算式之間的規律和關系，進一步加強學生對知識的理解運用。

3.借助圖形分析，厘清思路解決問題

借助幾何圖形讓學生直觀地顯示數量及其數量關系，讓學生明確思考對象及其之間的關系。這樣學生就能厘清思路，學會分析，有利于其正確把握和解決相關問題。小學數學學習中借助圖形分析數量關系，最為便捷的是線段圖。它是以線段的長短來區分數量的大小，及其關系的。學生在繪制圖形要注意長短大小，以及相關數量間的位置關系和比較關系。

小明爸爸比小明大24歲，今年爸爸的年齡是小明的3倍，爸爸今年多少歲？

錯解：不理解3倍與24之間的關系，直接列式24÷3=8

在教學中，學生通過畫圖解題，他們會呈現出直條圖、線段圖等見圖。

通過畫圖（如圖5），不難分析出題中的24對應的是多出的2份，而不是3份。厘清了這一點，題目也就迎刃而解了。教師在教學中滲透畫圖時，要熟悉教材，要統籌設計，關注安排學生用幾何直觀表示思想的學習過程，并且逐漸提高學生畫線段圖和示意圖的水平，激發其用圖促進分析思考、進而解決問題的能力。

綜上所述，數缺形時少直觀，形少數時難入微?！皵怠薄靶巍必炌ㄊ桥嘤龓缀沃庇^的重要節點和舉措。教師在數學教學中，要引導學生高度重視幾何直觀的意義和價值，要經常在文字語言、符號語言和圖形語言之間靈活地切換，以發掘數學對象的幾何直觀因素，能根據所教內容貼切地創造出抽象知識的直觀表達，有意識地要求學生用圖清楚地表達交流自己的想法。面對學生的差錯，要有意識地退到直觀層面引導學生剖析錯誤原因。本次實踐研究，將“形”與“數”進行勾連，構建數學問題的直觀模型，有效地鍛煉了學生的數學理解能力，啟發其數學思維。學生在對數學問題的思考、分析、探索、解決中，不斷地提高了自身的學習能力。

注：本文系2021年度南京市重點教研課題“數學表達：指向思維進階的小學數學課堂變革研究”（編號：2021NJJK14—Z12）的階段研究成果。