幾何直觀：實現小學數學深度學習的有效路徑

黃旭

［摘? 要］ 充分利用幾何直觀教學可以展示知識的抽象過程，實現學生深度學習。在教學中，教師可以用幾何直觀呈現學生易犯錯誤，促進新知理解；用幾何直觀搭建思維階梯，完成釋疑解惑；用幾何直觀揭示知識聯結，建構知識網絡。

［關鍵詞］ 幾何直觀；深度學習；課堂教學

幾何直觀由于具有直觀性的特征，可以很好地溝通抽象思維與信息思維、抽象的數學知識與直觀的圖形語言，可以很好地打開學生的思維閘門，促進學生對知識的深度理解。這就需要教師在實際教學中，巧妙運用幾何直觀教學引領學生自然而然地開展深度學習，從而更好地發展其數學核心素養。

一、用幾何直觀呈現易犯錯誤，促進新知理解

對數學學習而言，學生犯錯是必然的。因此在教學的過程中，教師應從具體的教學內容出發，精心設計教學過程，并借助幾何直觀呈現學生易犯的錯誤，讓學生去觀察、分析、對比和辨析，從中探尋錯因、明晰方法、領悟本質，從而促進其對新知的理解和內化數學本質。

案例1? 兩位數乘兩位數的橫式筆算

計算：14×12。

師：在學習新課之前，你們能先試著計算嗎？（在教師的鼓勵下，學生大膽嘗試，教師巡視）

師：誰愿意展示自己的方法？

生1：我是這樣計算的。首先，將14看作10與4，將12看作10與2；然后，計算4×2=8，10×10=100；最后，計算8+100=108。（出示圖1所示的方法）

師：生1的方法正確嗎？

生2：我覺得是錯誤的。

師：錯在哪里？（學生面面相覷，不知如何回答）

師：那我們就先把這個問題放一放，來學習今天的新知吧。

師：經過剛才一系列探索，我們得出了圖2所示的計算過程及結果。現在再回到學習前的問題，現在是否有了新的思路？生1，有沒有發現你錯在哪里？

生1（撓了撓頭）：在計算時我僅計算了8與100這兩個部分，而40與20這兩個部分遺漏了。

生2：只要再添上10×4=40和10×2=20即可。

師：非常棒，你們通過觀察得到了結果，下面我們一起回顧一下（課件呈現圖3）。

以上案例中，教師利用“錯誤”這一可生成性資源，立足幾何直觀，牢牢抓住“兩位數乘兩位數的筆算”的算理，引導學生在觀察、辨析和比較的過程中經歷“犯錯—剖析—糾錯—內化”的過程，讓學生直觀地感知計算兩位數乘兩位數需包含的四個部分，從而更好地內化認識。這樣的教學過程不僅為學生進一步的探究和學習打下了基礎，還培養了學生透過想象找尋數學本質的能力。

二、用幾何直觀搭建思維階梯，完成釋疑解惑

小學生的思維呈現具體形象的特征，而數學知識的抽象性時常讓學生產生困惑。建構主義認為，數學學習不是簡單的知識傳遞，而是學生自己建構的過程。因此，教師不能直接將結果拋給學生，而應借助幾何直觀為抽象性思維薄弱的小學生搭建思維階梯，促進學生在親歷知識形成和發展的過程中逐一突破困惑，最終實現釋疑解惑，真正理解知識。

案例2? 小數乘法

師：經過剛才的計算，你認為一個乘數不變，另一乘數發生變化時積有何變化？請試著通過列舉法驗證你發現的規律。（經過探索，大部分學生有了一定的認識，但仍然有部分學生產生了疑問）

生1：從之前學習的整數乘法可以得出，積一定會等于或大于乘數。而這里的小數乘法卻有了積比乘數小的情況。比如：1.5×0.8=1.2，1.8×0.55=0.99，這是什么原因？

師：這是為什么呢？下面，請圍繞算式進行小組合作探索：1.5×1，1.5×1.4，1.5×0.8。

（學生合作學習，教師巡視）

生2：乘法的意義角度：1.5×1表示1個1.5，得到積1.5；相較于1個1.5，1.5×1.4得數大一些；相較于1個1.5，1.5×0.8得數小一些。

生3：我覺得還可以借助圖形呈現積的變化規律。

師：可以具體說一說嗎？

生3：如圖4，1.5×1=1.5可這樣表示。

師：1.5×1.4的積與乘數1.5相比如何呢？

生3：進一步作圖，該長方形的長不變，還是1.5，寬增加到1.4，可看作1和0.4的和。如圖5，將它的面積分為兩個部分，據圖可列出算式1.5×1.4=1.5×1+1.5×0.4，從而得出“其積比乘數1.5大”的結果。

師：進一步地，1.5×0.8的積與乘數1.5相比如何呢？

生3：繼續作圖探尋結果，如圖6：長不變，還是1.5，寬變成了0.8。經過思考長方形面積可用1.5×0.8表示，相較于圖4的長方形減少“1.5×0.2”，從而列式1.5×0.8=1.5×1-1.5×0.2，得數也比1.5小了。

師：看來無論是圖形構造或是計算，我們都能得出相同的結論。

生4：我們小組作出了圖7，也有了發現。

師：結合圖形得出結論，非常棒！其他組可有其他說理的方法？

生5：我們組是借助一個生活例子解釋的……

以上案例中，學生借助幾何直觀開展數學探索，通過圖形揭示知識本質，讓原本模糊的知識清晰化，讓原本抽象的道理形象化，加深了對新知的理解，也深化了自身的數學思維。

三、用幾何直觀揭示知識聯結，建構知識網絡

數學的邏輯性決定了知識間的縱橫交錯，而學生由于自身的思維特征很難融會貫通地理解知識。這就需要教師在教學過程中充分利用幾何直觀溝通新舊知識的聯系，揭示知識聯結，促進學生在深度學習中建構系統的、完善的知識網絡。

案例3? 乘法分配律

師：事實上，乘法分配律在我們學習筆算乘法時已有接觸。請試著結合乘法分配律描述圖8中豎式計算的奧秘。

生1：首先，把12看作2與10的和；然后，求得2個15是30，10個15是150；最后，求得30與150的和是180。

生2：可以先算15×2=30（2行點子數），后算15×10＝150（10行點子數），最后相加即可。

師：那這個過程是否可以利用橫式表示呢？

生3：先將12行分為2行與10行；再將2與10分別去乘15，得出2行的點子數和10行的點子數；最后將這些點子數相加。事實上，不管是橫式還豎式，計算道理都是一樣，即乘法分配律。（教師出示圖9）

實踐證明，利用圖形不僅豐富了學生的認識，還深化了學生對乘法分配律內涵的理解，更幫助學生架構起多位數乘法與乘法分配律的橋梁，最終實現了新知的完整建構，發展了數學思維能力。

總之，幾何直觀可以讓復雜的問題變得形象具體，教師運用幾何直觀進行數學教學要適應小學生的思維特征。在數學教學中，教師有必要利用幾何直觀呈現學生易犯的錯誤，搭建思維階梯，揭示知識聯結，從而助力學生的深度學習，讓學生在數與形的完美統一下感悟數學思想方法，更深刻地理解數學知識內涵和發展數學思維能力。