增強代數推理 提升幾何直觀

徐境鴻

摘要：2023年廣西中考數學第24題源于課本和課程標準，創新命題形式，將代數與幾何完美結合，有效考查了學生的幾何直觀和推理能力.文章以該題為研究對象，對題目進行詳細分析，尋本溯源，并對歷年中考此類型試題的考查特點進行探究，然后對試題的命制進行反思總結，旨在通過對中考試題的研究，使教與學更具有針對性，為中考復習備考提供參考.

關鍵詞：中考數學；代數推理；幾何直觀；命題

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）11-0008-03

2023年的中考已經落下帷幕，在“雙減”政策背景下，廣西首次省級統一命題，這一轟轟烈烈的改革在今年中考釋放了大量信號，中考的指揮棒為中考備考指明了方向.本次中考試題圍繞核心素養，依標務本，最大的亮點是降低了難度，減少模式化試題，增加了綜合實踐性、情境探究性、跨學科類題目的考查.不難發現，第24題是一道既經典又創新的試題，現就該題進行詳細的探究.

1 試題呈現

如圖1，ΔABC是邊長為4的等邊三角形，點D，E，F分別在邊AB，BC，CA上運動，滿足AD=BE=CF．

（1）求證：△ADF≌△BED；

（2）設AD的長為x，△DEF的面積為y，求y關于x的函數解析式；

（3）結合（2）所得的函數，描述△DEF的面積隨AD的增大如何變化．

2 試題分析

本題源于課本和課程標準，將代數與幾何完美結合，有效考查了學生的推理能力和幾何直觀.本題改變了往年中考放置壓軸題的位置，今年放在了24題，大大降低了難度.本題主要考查三角形全等、等邊三角形的性質、動點、銳角三角函數、二次函數的綜合及函數的概念.掌握三角形的性質、銳角三角函數，理解并掌握函數概念的本質、二次函數的性質是解決本題的關鍵.這是一道既常規又新穎的試題，該題由淺入深，逐步遞增難度，合理設置問題層次，每個問題之間均有邏輯關聯，符合學生的心理特征，注重考查學生的思維過程，體現學科思想的連貫性、邏輯性、嚴謹性等.

問題（1）主要考查全等三角形的證明，全等的條件比較明顯，屬于基礎內容，學生易得分.問題（2）是一道典型的用代數式表達幾何結論的問題，考查數形結合思想，此問題有一定的難度，如果能突破此問題，則問題（3）就容易解決.近幾年，學生受應試思潮的影響，對二次函數出現了一些比較固化的試題模型，如用待定系數法求函數解析式，某些點的確定性和存在性問題.學生對函數的理解不到位，教師缺少關注學科本質.該題的實質就是考查學生對函數概念本質的理解，讓學生體會函數是描述一個變化過程的工具.由于很多學生理解不透徹，所以這一問題對學生來說有一定難度.問題（3）是對函數概念性質的進一步理解和鞏固，評分細則從學生對知識理解的深度進行分層賦分，隱含了命題關于過程評價的重要思路.學生在答題時，如果只答出“先減后增”可得1分，如果能答出“當2

總之，該題不僅從幾何的角度考查了學生的幾何直觀，還從代數角度增強了學生的推理能力，是一道典型的幾何與代數結合且難度中等的題目.

3 尋本溯源

3.1 源于課本

如圖2，在等邊△ABC的三邊上，分別取點D，E，F，使AD=BE=CF，求證：△DEF是等邊三角形. （人教版八年級數學上冊第十三章《軸對稱》第93頁第11題）

如圖3，點E，F，G，H分別位于正方形ABCD的四條邊上．四邊形EFGH也是正方形．當點E位于何處時，正方形EFGH的面積最小？（人教版九年級數學上冊第二十二章《二次函數》第52頁第7題）

3.2 源于課程標準

如圖4，正三角形ABC的邊長為1，D是BC邊上的一點，過D作AB的垂線，交AB于G，用x表示線段AG的長度.顯然，Rt△GBD的面積y是線段長度x的函數，試給出這個函數的表達式[2].（《義務教育數學課程標準（2022年版）》第146頁例69）

4 試題研究

初中階段，不僅在數與代數領域有推理或證明的內容，在幾何與圖形領域也有推理或證明的內容.《義務教育數學課程標準（2022年版）》新增了“了解代數推理”的內容要求，可見幾何直觀與代數推理綜合的重要性.為此，筆者對比了近六年的北部灣經濟區中考題，發現函數與幾何綜合題每年都考，將其匯總并分類，如表1所示.

從題目位置上看，前面幾年的此類題型基本在壓軸題位置，難度較大，對學生的要求很高，但是今年放到了24題的位置，要求和難度降低了，變化較大.從考查內容上看，以前多是以二次函數的圖象為背景進行考查，今年則是以等邊三角形這一簡單幾何圖形為背景.從考查形式上看，以前都是直接求定值，今年則是半開放式的“描述變化過程”，可見題目由固定式逐漸轉向理解式，模式化和機械性的題目在減少，過程性考查增加.

5 命題反思

5.1 重視教材，緊扣課程標準

通過對多年中考題的研究，我們發現幾乎每道題目都能在課本或課程標準找到母題，或是將母題的條件結論、背景框架、解題方法等進行改編，或是在思想方法上重新立意進行“包裝”.不管如何改編，試題在命制時均未超出課程標準的學業要求和能力要求.因此，在今后的命題中要嚴格依據課程標準，注重教材為本，關注學生的基礎知識，以學生理解為目標改編，減少機械性題目.

筆者整理了課本中部分幾何與代數相結合的典型題目，僅供讀者參考.①九年級上冊第2頁無蓋紙盒問題；②九年級上冊第20頁邊框問題；③九年級上冊第52頁三角形、四邊形問題；④九年級上冊第57頁籬笆問題；⑤九年級上冊第125頁幾何圖形與反比例函數問題；⑥九年級下冊第44頁三角形與一次函數問題；⑦九年級下冊第58頁三角形、矩形與二次函數問題.

5.2 落實核心素養

數學新課程標準的亮點之一就是核心素養的提出與細化：會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界.初中階段具體表現有九個方面，命題應覆蓋數學核心素養的各個方面.考查數學思維和解決問題的能力，命題可以設計一些開放性的問題，要求學生進行分析、推理和判斷.考查數學方法的靈活運用，命題可以涉及不同的數學方法和技巧.考查數學實踐和應用能力，命題可以多創設情境，引導學生通過數學建模解決問題.通過各種措施的落實，可以確保命題符合數學核心素養的要求，能夠全面考查學生的數學能力和素養水平.同時，也能夠激發學生對數學的興趣和熱愛，促進他們的數學學習和發展.

5.3 重視新題型

今年中考題有以下特點：創設真實問題情境，注重情景化試題；加大開放探究力度，激發創新與探究意識；重視動手操作能力，加強尺規作圖考查；增加試題閱讀量，提升信息處理能力；增設跨學科試題，培養綜合學科素養；重視數學傳統文化，關注學生文化素養.因此，在復習備考中，教師要以此為導向，在日常教學中不斷滲透數學方法，適時總結，在命題中要重視以上題目的練習，讓學生從適應到熟練再到舉一反三，最終從容面對中考.

參考文獻：

［1］ 劉昆.學業質量為依據 關注學科本質 聚焦核心素養 引領課題教學[J].中小學課堂研究，2023（S01）：14-17.

[2] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

［責任編輯：李璟］