初中數學解題中輔助圓的應用分析

歐露

【摘要】在初中數學解題中，并不是所有的題目都可以采用常規的解題方式，對于一些比較復雜的問題，需要轉變解題思路，引入相應的輔助圓，完成問題的解答.通過輔助圓的構造和應用，能夠發掘題目中的隱藏信息，簡化題目，使得問題更加簡單，幫助學生快速解決問題.本文分析輔助圓在初中數學解題中的應用.

【關鍵詞】初中數學；輔助圓；解題教學

在初中數學解題中，幾何題是重要的題目類型，主要研究圖形結構以及空間關系，相對于代數題來說，此類題目比較直觀，但是對學生的空間觀念要求較高，對于一些難度大的題目，僅依靠題目中的圖形難以解題，教師可以引導學生巧妙利用輔助圓，通過輔助圓的構造，對題目條件進行處理，從幾何圖形中發現隱藏信息，有效分析解題思路，快速解決數學問題.

1 利用輔助圓，解決線段長度問題

例1 在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=DB=2，BC=√7，求解對角線AC的長度.

解 如圖1所示，延長CD與半徑為2的圓D相交于點E，連接AE，

所以點A，B，C在圓上，

因為AB∥CD，

所以弧BC與弧AE的長度相同，

所以BC=AE=√7，

在△ACE中，∠CAE=90°，

CE=4，AE=√7，

所以AC=3.

2 借助輔助圓，解決求度數問題

例2 如圖2所示，在四邊形ABCD中，連接AC，AC=BD，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=25°，求解∠BAC的度數.

解 取BD的中點O，以O為圓心，OA為半徑作圓，如圖3所示.

因為∠BAD=∠BCD=90°，

所以點A，B，C，D四點共圓，

所以∠BAC=∠BDC，

因為∠BDC=25°，

所以∠BAC=25°.

3 利用輔助圓，解決圖形面積問題

例3 已知BC=6，點A為BC上方的動點，∠BAC=120°，點D為BA延長線上的點，且AD=AC，連接CD，求解△BCD面積的最大值.

解 因為∠BAC=120°，AD=AC，

所以∠BDC=60°，

因為△BCD是定邊定角三角形，BC=6，

所以點D在△BCD的外接圓上移動，如圖4所示.

當D移動到優弧BC的中點D′時，到BC的距離最大，此時△BCD的面積最大.

因為此時△BCD′是等腰三角形，

所以∠BD′C=60°，

所以S△BCD=3/4×62=93.

4 借助輔助圓，解決線段比或者面積比問題

例4在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點P是CB延長線上的點，BP∶BC=k，已知0≤k≤1，經過點B作AB的垂線，過點P作AP的垂線，兩條垂線的交點為Q，且AP=PQ，連接AQ，求△ABC與△APQ的面積比.

解 以AQ作為直徑，AQ的中點O作為圓心，構建輔助圓，如圖5所示.

5 結語

初中數學解題中，輔助圓是廣泛應用的技巧，借助輔助圓可以解決幾何問題、代數問題等題目.在具體的解題中，需要深入分析題目，結合具體要求構建輔助圓，幫助學生明確解題思路，提高學生的解題能力.

參考文獻：

[1]劉懷權.“構造輔助圓”在初中數學解題中的應用[J].數理天地（初中版），2022（12）：21-22.

[2]魏瑞賓.案例分析輔助圓在初中數學解題中的應用[J].名師在線，2019（26）：16-17.

[3]徐勤.輔助圓在中考數學試題中的應用[J].科學大眾（科學中考），2022（04）：13-15.