基于新課標視野的初中生數學運算能力提升策略研究

康稱彩

【摘要】運算能力主要是指根據法則和運算律進行正確運算的能力.在新課標中，運算能力的內涵被進一步細化，要求學生在明晰運算對象的基礎上理解運算問題，并能簡潔地進行數值計算和數式變形，另外還強調了代數推理的重要性.運算能力是溝通數學知識和數學思維的橋梁，本文從新課標的視野出發闡述提升初中學生數學運算能力的策略.

【關鍵詞】新課標；初中數學；運算能力

新課標提升了對運算能力的培養要求，不僅強調運算能力在培養學生必備品格方面的作用，還滲透了對一些高階思想的教學，除了重視對學生規則意識和程序意識的培養，還著重對學生一絲不茍、嚴謹求實科學態度的培養.在新課標視野下，教師在運算模塊教學中需要運用更多綜合性的策略.

1 注重結構化教學，強化運算一致性

提升學生的運算能力，并非通過大量的機械化訓練來實現，而是要注重運算的內涵.初中數學會涉及大量的實數運算以及代數運算，這些運算雖然形式上有所不同，但是本質上存在通性，都遵循相同的算理，即所謂運算的一致性.在教學中，如果能注重結構化教學，可以大大提高學生學習不同類型運算的效率.

例如 教學人教版“同底數冪的除法”這一課時，跟“同底數冪的乘法”有所不同，課本不再從實際問題出發，引出一系列特殊的算式，然后觀察算式獲得一定的規律從而得到法則，而是選擇從知識的內部發展出發，由數的運算中“除法是乘法的逆運算”，啟發學生思考在式子運算中這一原理是否適用來作為切入點，這其實就是在強化運算的一致性，本節課有幾個比較重要的教學關鍵點.

關鍵點1

師：學習完整式的乘法，同學們想想看我們接下來還要學些什么？

生：整式的除法.（基于數的運算經驗，學生容易想到加減乘除四種運算類型的完備性）

師：根據我們學習整式乘法的經驗，我們先從最簡單的單項式除以單項式入手，28x4y2÷7x3y這個式子大家會算嗎？

生：會.跟單項式除以單項式一樣，應該是系數除以系數，同底數冪除以同底數冪.（大部分學生都認同他的觀點）

師：同底數冪相除的部分你會算嗎？（生：不會）你能不能大膽猜測下同底數冪除法的法則.

生：同底數冪相乘，底數不變，指數相加.那么同底數冪相除，應該是底數不變，指數相減？（教師給予肯定的目光）

師：你能不能舉個例子來佐證你的猜想？

生：33÷32=3.

關鍵點2

師：剛才那位同學的猜想大家能不能用一個等式表示出來？

生：am÷an=am-n.（基于同底數冪的學習經驗，學生容易寫出）

師：猜想是發現數學定理的前提，但是我們必須用嚴謹的證明來解釋這個猜想的合理性.有哪位同學可以解釋下？（學生沉默）大家想想看，小學的時候我們怎么得到除法法則的？

生：我記得是由乘法得到的，已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算，叫做除法.

師：很好，我們說除法是乘法的逆運算，在式子運算中同樣適用，你能用它來解釋am÷an=am-n這個式子嗎？（小組討論）

生：可以.由同底數冪的乘法得到amam-n=an，根據除法是乘法的逆運算得到am÷an=am-n.（強化代數推理）

關鍵點3

師：數學是追求嚴謹的，大家剛才都完成了對于am÷an=am-n的證明，但是還不嚴謹，誰來補充一下？

生：我覺得指數位置的m要大于n.（師：為什么？）因為同底數冪乘法強調的是指數要為正整數，所以要想amam-n=an，則m-n>0，即m>n.

師：特別好，想得很仔細.現在大家可以動手給同底數冪的除法定義法則了嗎？

生：am÷an=am-n.（其中m，n為正整數且m>n）

師：你能用文字語言來陳述這個法則嗎？

生：同底數冪相除，底數不變，指數相減.（教師呈現同底數冪乘法法則，把二者放在同一個表格中進行橫向對比）

堅持從知識的內部關聯入手，注重結構化教學，可以培養學生自主建構和舉一反三的能力，這樣大大提高了學生學習不同類型運算的效率.這樣的案例還有很多，例如二次根式加減這門課，基于結構化教學，先讓學生猜想可能的運算路徑，學生容易根據經驗猜想“二次根式相加減，就是把被開方數相加減，再開根號”，這樣的猜想合理但不正確，教師就要適時地干預，采用舉反例（4+9≠13）的方法糾正，然后再引導學生思考其他可能的路徑（類比合并同類項），最后再用運算律解釋其合理性.重視結構化教學，對運算進行聚類分析，能幫助學生明晰運算的對象和意義.

2 注重程序示范，強調反饋糾正

堅實的運算基礎是數學學科核心素養落實的重要保障，所以在運算能力形成的認知階段（學會怎么算）要重視教師的示范作用，特別是在初一年段，教師要肯花時間把運算的每一個步驟講清楚、寫清楚，然后讓學生理解每一步的算理依據并能夠正確表述.

例如 學生經常把“-22”與“-22”搞混，那么教師在辨析這兩個式子的時候就要引導學生認清式子中冪的結構（底數和指數分別是什么），理清運算的對象，可以通過讓學生復述“-22是以-2為底數，表示-2的2次冪；-22是以2為底數，表示2的2次冪的相反數，負號是冪的符號而不是底數2的符號”，達到區分的目的，發揮教師的示范性作用可以幫助學生形成規范性作答的習慣，確保運算的準確率.

另外，學生在做一些數值計算或者變形的時候總是喜歡跳步，所以往往因為缺失關鍵性步驟，導致一分未得，那么教師在初一年級的時候就要嚴格要求學生，引導他們將運算程序化，當然可以少一點練習題，但是每一道題目計算都需要學生歸納總結步驟，以幫助學生提高得分率.

例如 解有分母的一元一次方程，就要求學生在第一步去分母的時候，給每一項的式子先加一個括號，然后檢查是否漏乘，進行有理數的乘法運算時，要求學生先確定積的符號，再用代入法求解二元一次方程組的時候，代入列式的步驟要呈現出來等.

要想提高學生的運算能力，不是依靠題海戰術或者機械化的計算訓練，而是要適時地引導學生反饋糾正.有的時候讓學生復盤自己的運算過程，自查自糾，有的時候可以人為地設置像這樣的習題：

例如 （2022·福建）推理是數學的基本思維方式，若推理過程不嚴謹，則推理結果可能產生錯誤．

有人聲稱可以證明“任意一個實數都等于0”，并證明如下：

設任意一個實數為x，令x=m，

等式兩邊都乘以x，得x2=mx．①

等式兩邊都減m2，得x2-m2=mx-m2．②

等式兩邊分別分解因式，得（x+m）（x-m）=m（x-m）．③

等式兩邊都除以x-m，得x+m=m．④

等式兩邊都減m，得x=0．⑤

所以任意一個實數都等于0．

以上推理過程中，開始出現錯誤的那一步對應的序號是．

這樣的習題，可以讓學生認真參與到運算的每一個步驟，思考每一個步驟所運用的算理是否正確.這樣不僅可以調動學生綜合性的運算知識，還可以提高學生的閱讀水平，在時間有限的課堂達到高效學習的目的.在進行反饋糾正訓練的時候，要讓學生反思“錯在哪里”“為什么錯”“如何訂正”以及“怎樣規避錯誤”，這樣的過程比進行單一運算有趣味，更容易吸引學生的注意力.

3 簡化運算思維，優化運算途徑

如果說前面的兩個策略是為了提高學生運算的準確率，那么這一個策略就是為了提高學生運算的品質.我們知道，有些時候數式存在特殊結構，如果能幫助學生形成特殊的代數結構意識，那么學生就更有機會用比較簡化的運算思維來優化運算的途徑.數式中存在很多特殊結構，比如相反數、倒數、完全平方、平方差、共軛、對偶等，如果只是簡單地識記，其實不利于學生形成自動化的意識，但是如果能把這些式子中蘊含的對稱思想和數形結合思想道明，可以大大提高學生自動化水平.

例如 一元二次方程的求根公式x=-b±Δ/2a是反映根與系數關系的復雜形式，里面蘊含著整式、分式、根式，內容豐富，單獨看并無特殊，但是合在一起看，就會發現里面存在對偶（共軛）結構，它們的和與它們的積都不含根式，韋達定理就是跟它們相關的運算結論，屬于根與系數的簡潔形式.如果碰到這樣的習題：“已知x=1是方程x2+3x+m=0的一個根，則方程的另一個根是”.大部分學生都會習慣性地選擇將x=1代入方程求解出m的值，然后再求解方程，這樣運算的效率大大降低，如果學生對韋達定理熟練掌握，那么根據韋達定理的兩根之和為-3，就可以快速求解出方程的另外一個根.這樣“設而不求”的方法，在二次函數的綜合題中經常會用到.像這樣的對偶結構在代數運算中很常見，比如，在三角函數中也存在“如果∠A+∠B=90°，那么sin∠A=cos∠B”，學生通過觀察特殊角的三角函數值表容易發現這種對偶關系.

運算也并非簡單地識別完運算對象，然后就要依據法則進行程序化運算，有的時候也需要關注到式子中是否含有特殊的代數結構.以下面這道題為例：

例題 （2022-2023廈門期末質檢）△ABC內接于⊙O，AB＝AC，∠ABC＝67.5°，BC的長為2/2π．點P是射線BC上的動點，BP＝m（m≥2）．射線OP繞點O逆時針旋轉45°得到射線OD，如圖1所示．點Q是射線OD上的點，點Q與點O不重合，連接PQ，PQ＝n．

（1）求⊙O的半徑；

（2）當n2＝m2-2m＋2時，在點P運動的過程中，點Q的位置會隨之變化，記Q1，Q2是其中任意兩個位置，探究直線Q1Q2與⊙O的位置關系．

對于第（2）問中出現的式子“n2＝m2-2m＋2”，大部分學生把它當作方程進行求解，對等式中的式子進行毫無方向的變形，比如出現n2-1=（m-1）2的變形，這部分學生其實具備特殊代數結構的意識，但是并不知道這些特殊變形有什么具體的作用，有的會根據（m-1）20討論n的取值范圍.

顯然，在這樣的圖形問題中，學生缺乏數形結合的思想，未能正確地把代數式的信息和圖形的信息對應起來，導致選錯了運算的途徑，進行了一些無效的運算操作.所以除了對稱思想，數形結合思想的也能夠提高學生特殊代數結構的自動化意識.

4 結語

綜上所述，算法是通過有限的步驟解決數學問題的程序，這種程序通常可以利用計算機實現.所以滲透算法的思想，是信息化時代培養學生信息化素養的重要任務.挖掘運算中所蘊含的數學思想是新課標與舊課標內容要求上的最大不同，也是核心素養下運算教學的新方向.

【基金項目：本文系思明區教育科學“十四五”規劃2022年度課題“基于新課標視角的初中學生數學運算能力提升策略探究”的研究成果（編號：2202220001）】

參考文獻：

［1］鮑建生，章建躍.數學核心素養在初中階段的主要表現之二：運算能力[J].中學數學教育，2022（11）：3-8.

［2］馬曉華.核心素養下初中數學教學中學生運算能力的培養[J].試題與研究，2023（17）：57-59.

［3］陳建忠.核心素養下培養學生運算能力的具體路徑[J].中學數學，2022（24）：79-81.