逆向思維在初中數學解題中的應用

裴必達

【摘要】初中階段學生需要掌握豐富的數學理論知識，并形成完善的數學思維，只有這樣才能夠保障在做題中的正確率.逆向思維是學生解答數學問題常用的一種思維，其主要是反向借助數學規律來進行思考，進而快速找出正確答案.研究發現，逆向思維能夠幫助學生深度理解數學內涵，還可以促進學生樹立學習數學的自信心.

【關鍵詞】解題思路；逆向思維；初中數學

學生在解答初中數學問題時，只有選擇最優的解題思路才能夠提高解題效率以及解題正確率[1].逆向思維又被稱之為反向數學思維，其能夠培養學生形成發散式思維，通過采用與傳統正向思維相反的方式進行推理來快速找出正確答案，這要求學生已經掌握了基本的數學知識，且能夠對數學知識形成深刻認知[2-5].

1 逆向思維在初中數學題目中的多樣化解題思路

1.1 逆向證明

例1 請大家證明2是一個無理數.

解題思路 很多初中學生只是將2是無理數這一數學知識記在了腦中，卻不知道如何證明這一知識.一般情況下，初中學生會采用正向思維來進行思考，然而這一條路是行不通的.根據所學內容，任一有理數均能夠通過分數體現出來，并且每一個分式也能夠通過分母、分子互為質數的方式體現.因此，當我們需要證明2是一個無理數時，就能夠使用逆向證明的方式，先假設2是一個有理數，最終分析發現這是一個矛盾的結論.

解析過程 先逆向假設2是一個有理數，這就會存在兩個自然數a與b，并能夠使2=a/b.

根據所學知識可知，a和b應當互為質數，因此當我們對上面這一式子進行平方后能夠得到2=a2/b2，將左右兩邊調整一下能夠得出a2=2b2.

由于a2是一個偶數，我們可進一步發現，a也應該是一個偶數.因此這就應當有一自然數c，能夠得出a=2c.將這一式子中的2c替換到上一式子中的a，我們能夠得出2c2=2b2，化簡后可以得出4c2=2b2.

將左右兩邊都除2后能夠得到2c2=b2.

進而得出b2是一個偶數，且b也必然是一個偶數.然而在前面的證明中發現a是一個偶數，最初假設時a和b應當互為質數，這就與假設不符，因此2是一個有理數的假設是錯誤的，這意味著，2應當是一個無理數.

1.2 逆向推導

例2 請大家采用簡便方式來計算55125492的數值.

解題思路 在看到上面這一算式時，學生可采用過去所學的平方差公式進行計算：（a+b）（a－b）=a2－b2.當使用逆向思維進行推導時就能夠快速得出正確答案：通過觀察能夠發現，當我們將（a+b）（a－b）=a2－b2這一個式子反過來后就能夠得到a2－b2=（a+b）（a－b）.換句話說，當需要計算兩個數的平方差時，相當于計算這兩個數之差與這兩個之和的乘積.即55125492就能夠轉變為求解（551+549）（551－549）的積.

解析過程 5512-5492=（551+549）（551－549）=2200.

1.3 逆向分析

例3 假設存在m，n兩個正數，且二者不相等，請證明m3+n3>m2n+mn2成立.

題目分析 在拿到這一題目后可以發現，若我們直接根據已知信息來進行證明，則解題過程會十分繁瑣復雜.但若借助逆向思維來進行反向證明，則可以直接從問題的結論出發進行逆推，這樣就可以快速理清解題思路.此外，大多數初中學生在看到不等式左邊的m3+n3時，就能夠根據所學知識想到如下公式：x3+y3=（x+y）（x2－xy+y2），并有效借助這一公式進行解答.

題目解析 當我們將不等式的左右兩邊都分解后，能夠得出等式：m3+n3=（m+n）（m2－mn+n2），m2n+mn2=mn（m+n），由此能夠發現，要想證明問題的結論，就需要進一步證明（m+n）（m2－mn+n2）>mn（m+n）.由于轉變后的不等式左右兩側均含有m+n，且由于已知條件可發現m，n均為正數，那么m+n>0，因此我們只要能夠證明m2－mn+n2>mn就行.當我們把m2－mn+n2>mn的右側移至左邊時就變為了m2－2mn+n2>0，合并即發現（m－n）2>0.且由已知條件可發現m，n均為正數，且二者不相等，因此（m－n）2>0成立.

2 應用逆向思維解答不同類型數學問題

2.1 解答否定性命題

例4 已知ΔABC的內角是∠A、∠B、∠C.請證明：∠A、∠B、∠C三個內角無法存在兩個角是直角.

題目分析 在上述問題中出現了“無法”字眼，類似問題中若出現“不能”“沒有”等否定性詞匯，則說明其屬于否定性命題.對于這一類問題，如果學生直接運用已知條件進行證明，則需要對所有可能性進行論證，整個過程十分繁瑣.若使用逆向思維進行證明，則會大大提高解題效率.

題目解析 如果∠A、∠B、∠C三個內角中有兩個角都是直角，那么我們可假設∠A=90°，∠B=90°，就會有∠A+∠B+∠C>180°，然而這一推導出的結論和三角形內角和為180°的數學知識矛盾.因此∠A=90°，∠B=90°這一假設是錯誤的，由此能夠證明∠A、∠B、∠C三個內角無法存在兩個角是直角.

2.2 解答存在性命題

例5 過O點繪制出七條直線，請大家證明：相鄰的以O為頂點的直線所成夾角內一定會有一個角的度數小于26°.

題目分析當數學問題中出現“會有”“存在”等字眼時，可以借助逆向思維假設一定沒有.已知條件中說過O點的直線有7條，那么其相鄰直線能夠形成的夾角的數量為14個，且這些夾角度數相加后為360°，運用逆向思維進行思考，如果這些夾角的度數都大于26°；那么判斷360°與這些角的度數相加后的總值大小即可.

題目解析 我們可以將O作為頂點，那么相鄰直線能夠構成14個夾角，且這些夾角正好能構成一個周角，如果14個角的度數都不小于26°，那么14個角的度數的總和就需要不小于14×26°=364°.上述結論與周角的度數始終為360°矛盾，由此能夠證明以O作為頂點的14個夾角中一定會有一個角的度數小于26°.

參考文獻：

[1]鐘志偉.初中數學教學逆向思維應用探究[J].中國多媒體與網絡教學學報（下旬刊），2023（08）：171-173.

[2]黎春.探究初中數學解題教學中逆向思維的應用[J].數理天地（初中版），2023（15）：47-49.

[3]夏云云.初中數學教學中學生逆向思維能力的培養[J].基礎教育論壇，2023（15）：95-96.