作圓中輔助線的三種技巧

呂士霞

【摘要】在解決平面幾何中圓的問題時，往往需要適當地添加輔助線幫助解題.從本質上說，作輔助線的目的是把復雜圖形簡單化，在已知條件和未知條件之間搭起橋梁.本文以幾道例題為基礎，談作圓中輔助線的幾種技巧.

【關鍵詞】平面幾何；初中數學；輔助線

圓是初中平面幾何中較為特殊的一種圖形.在解題時，除了要抓住其定義，還要能夠熟練運用與圓有關的性質.一般來說，圓的半徑、弦等都是經常作為輔助線的對象.下面詳細介紹幾種技巧.

技巧1 圓中有弦，作弦心距

此方法的意思是，當問題中需要對圓中弦的長度或者與弦有關的其他量求解時，作垂直于弦的半徑或者直徑，并且連接過弦端點的半徑.之后利用垂徑定理，即弦心距平分弦的性質.之后將已知的數據代入直角三角形或者矩形等特殊圖形，利用勾股定理求解出相關量的大小.

評析 對于圓中與弦有關的問題，常規解題方法就是作弦心距，構造直角三角形，利用勾股定理求解.此直角三角形的三條邊分別是：圓的半徑，弦心距，弦.這樣就可以建立三者之間的聯系.

技巧2 圓中有直徑，作直徑所對的圓周角

若題目中出現“直徑”，就需要作直徑的圓周角.在圓中，直徑所對應的圓周角為直角，反之亦成立.由此就得到一個直角三角形，結合勾股定理、銳角三角函數等知識點進行進一步計算，從而得到問題的答案.

例2 如圖2所示，線段AB是圓O的直徑，在弦AC的延長線取一點D，滿足CD=AC，線段DB的延長線交圓O于點E.

（1）求證：CD=CE；

（2）連接AE，若∠D=25°，求∠BAE的度數大小.

解 （1）證明 如圖2所示，連接BC.

因為AB是圓O的直徑，依據圓中直徑所對的圓周角為直角的性質，

所以∠ACB=90°，即BC⊥AD，

因為CD=AC，

所以AB=BD，

所以∠A=∠D，

因為∠CEB=∠A，

所以∠CEB=∠D，

所以CD=CE.

（2）如圖2所示，連接AE.

因為∠ABE=∠BAC+∠D=50°，AB是圓O的直徑，

所以∠AEB=90°，

所以∠BAE=90°-50°=40°.

評析 在與圓的相關證明或者計算問題中，只要碰到“直徑”，都可以嘗試通過構造圓周角的方式來解決問題.構造直角三角形后，將問題轉化到直角三角形中求解，從而實現了問題的等價轉化.

技巧3 圓中有切線，作過切點的半徑

當問題中涉及圓的切線時，需要作過切點的半徑，然后利用半徑和切線之間的垂直關系得到相關等式.同時要注意題目中的一些特殊角，充分利用基本的銳角三角函數定義，而使用三角函數一般都需要在直角三角形內，所以在解題時可嘗試構造直角三角形.

例3 如圖3所示，AB是圓O的直徑，C、D是圓O上的點，∠CDB=20°，過點C作圓O的切線交AB的延長線于點E，則∠E等于（）

（A）40°.（B）50°.

（C）60°.（D）70°.

解 連接OC，

因為∠BOC、∠CDB是同弧BC所對的圓心角與圓周角，

所以∠BOC=2∠CDB=2×20°=40°.

因為CE為圓O的切線，

所以OC⊥CE，即∠OCE=90°.

所以∠E=90°-∠BOC=90°-40°=50°.

所以選擇（B）選項.

評析 通過作過切點的半徑的方式，可以建立題目中的已知角度與所求量之間的關系，從而求解出角度的大小.

結語

以上三種技巧是解決與圓有關的問題時常用的作輔助線的技巧.對于綜合性較強的題目，可能需要運用多種方法，但是萬變不離其宗，本質上就是圍繞著圓的定義和圓的性質進行.在平時的解題過程中，要善于思考，善于總結，就能夠得到更多作輔助線的方法.