“復變函數”課程知識對傳統數學問題的新解法

林志明 趙英翠 潘曉衡

摘?要：“復變函數與積分變換”課程是許多工科專業的必修基礎課程，它既是“高等數學”等基礎課程的延續拓展，也是“信號與系統”等實用課程的工具技巧。復變函數的知識能升華學生對傳統問題的認知，讓學生養成用統一的思路和觀念解決相似問題的習慣。本文旨在以三角函數問題、數列問題、積分問題和常微分方程問題為例，探討“復變函數”課程知識對這些傳統數學問題的影響，并將利用復變知識獲得的新解法與該問題的傳統解法進行對比，以展示“復變函數”課程對傳統數學問題的重要意義和應用前景，希望能夠為人們求解傳統數學問題提供新的啟發和突破。

關鍵詞：復變函數；傳統數學問題；傳統解法

傳統數學問題在解決過程中常常需要運用基本的數學知識和技巧。然而，隨著“復變函數”課程的發展和應用，我們發現傳統數學問題也可以通過復變函數的知識得到更加簡潔和高效的解決方法［1］?！皬妥兒瘮蹬c積分變換”課程，是電子、電氣、通信、自動化等專業的基礎必修課程［2］。該課程通過引入復數的觀念和技巧，能巧妙解決很多傳統的數學問題，解法既優美簡潔又具有一般性，很值得大學生學習。

三角函數問題、數列問題、積分問題和常微分方程問題為學生提供了解決實際問題的數學工具和思維方法，同時也為后續專業課程和實際應用領域打下了堅實的基礎。下面，我們通過這些問題，簡單對比傳統解法和復變課程知識下的解法，來簡要說明復變課程工具的強大作用。

一、三角函數問題

三角函數問題是數學中的基礎概念，在解析幾何、代數、微積分等領域有廣泛應用。研究三角函數問題有助于深化對周期性現象的理解，例如在物理學、工程學和天文學中，周期性現象的描述和分析都離不開三角函數［3］。此外，三角函數還在信號處理、圖像處理、通信等領域中扮演著重要的角色［45］，因此對三角函數問題的深入研究對于這些應用領域的發展具有重要意義。

【問題1】計算：cos5π7+cos3π7+cosπ7.

高中解法：

利用積化和差公式可得：

cosπ7sinπ7=12sin2π7-sin0，cos3π7sinπ7

=12sin4π7-sin2π7，cos5π7sinπ7=12sin6π7-sin4π7

加起來可得cosπ7sinπ7+cos3π7sinπ7+cos5π7sinπ7=12sin6π7.

又因為sin6π7=sinπ7，上式兩邊除以sinπ7，可得cosπ7+cos3π7+cos5π7=12.

復變函數給出的新觀念：記z=cosθ+isinθ，因為zz=z2=cos2θ+sin2θ=1，則有1z=z=cosθ-isinθ，上述兩式相加再除以2，可得cosθ=12z+1z=z2+12z.又因為z=cosθ+isinθ，由乘冪公式有zn=cosnθ+isinnθ，同理可得cosnθ=12zn+1zn=z2n+12zn.

因此，可設z=cosπ7+isinπ7，由乘冪公式有z7=-1，于是cosπ7=z2+12z，cos3π7=z6+12z3，cos5π7=z10+12z5。所以：

cos5π7+cos3π7+cosπ7=z10+12z5+z6+12z3+z2+12z

=z10+z8+z6+z4+z2+12z5

=12z5·1-z121-z2=12·1-z12z5-z7=12·1-（-z5）z5-（-1）=12

總結：我們借助復變函數的歐拉公式和乘冪公式（棣莫弗定理），能有效地把三角函數轉化為有理函數，并且把三角函數的求和、求不等式等各種各樣的問題，都轉化為有理函數的對應問題，從而實現問題的簡化和統一。因為有理函數的問題已經被研究得比較全面，解決問題的工具也非常豐富，所以復變函數課程提供的這種解題思路，能很好地解決三角函數的復雜問題。

二、遞推數列問題

數列問題涉及數學分析中的極限、收斂性等重要概念，在概率論、微積分、實變函數等課程中具有重要地位。研究數列問題有助于深化對數學規律和模式的理解，對于探索數學中的規律性和變化性具有重要的意義。數列也與數學中如極限、級數、遞推關系等重要概念和定理密切相關，因此對數列問題的深入研究對于這些數學理論的發展和應用具有重要意義。另外，數列問題在實際應用中也有著廣泛的應用，例如在經濟學、物理學、工程學等領域中［6］，數列的模型和分析都發揮著重要作用。因此，對數列問題的研究不僅有助于深化數學理論，也對應用數學的發展產生積極影響。

【問題2】已知x1=2、x2=1，且滿足xn+2=xn+1-xn（n∈N），求x2023和xn.

高中解法：由已知可得：

x1=2，x2=1，x3=-1，x4=-2，x5=-1，x6=1，x7=2，x8=1

因此{xn}是一個周期為6的數列，又因為2023≡1mod6，則x2023=x1=2，并且有：

xn=2（n≡1mod6）1（n≡2mod6）-1（n≡3mod6）-2（n≡4mod6）-1（n≡5mod6）1（n≡0mod6）

復變函數給出的新觀念：設數列{xn}的前兩項x1、x2已知，且滿足xn+2=pxn+1+qxn（二階線性遞推數列），則稱方程λ2=pλ+q為該數列的特征方程。該方程若有兩個不同的根a、b，則稱這兩個根為該數列的特征根。此時數列的通項公式可表示為xn=A·an-1+B·bn-1.

由x1=A+Bx2=A·a+B·b，解得A=x2-bx1a-b和B=x2-ax1b-a。因此數列的通項公式為xn=x2-bx1a-b·an-1+x2-ax1b-a·bn-1.

因此，針對本例子，可得特征方程λ2=λ-1，解得a=12+?32i、b=12-?32i，利用初值x1=2、x2=1，由公式有：

xn=1-212-?32i?3i·12+?32in-1+1-212+?32i-?3i·12-?32in-1

=eπ3in-1+e-π3in-1=e（n-1）π3i+e-（n-1）π3i

=cos（n-1）π3+isin（n-1）π3+cos（n-1）π3-isin（n-1）π3

=2cos（n-1）π3

故有x2023=2cos2022π3=2cos674π=2cos0=2

總結：借助代數學基本定理，實變量的一元代數方程在復數域內永遠有解，所以線性遞推數列的特征方程在復數域內一定有根，從而可借助復數直接求得遞推數列的通項公式，系統地解決線性遞推數列的通項問題。這種思路不僅解決了二次線性遞推問題，理論上也解決了高次線性遞推數列問題，解題思路簡單且優雅，為遞推數列問題的研究提供了本質性的工具。

三、定積分問題

積分問題是微積分的核心內容，涉及曲線面積、體積等重要概念，在物理學、工程學等領域有廣泛應用。研究定積分問題有助于深化對微積分學中的積分概念和計算方法的理解，對于探索微積分學中的規律性和變化性具有重要的意義。定積分問題還與如牛頓萊布尼茨公式、分部積分法、換元積分法等重要數學概念和定理密切相關。另外，定積分問題在實際應用中也有著廣泛的應用，例如在經濟學、物理學、工程學［7］等領域中，定積分的模型和分析都發揮著重要作用。因此，對定積分問題的研究不僅有助于深化數學理論，也對應用數學的發展產生積極影響。

【問題3】計算：∫π0sinxexdx.

高數解法：使用兩次分部積分公式∫bau′（x）v（x）dx=u（x）v（x）ba-∫bau（x）v′（x）dx，我們可計算得：

∫π0sinxexdx=-∫π0exd（cosx）

=-excosxπ0-∫π0cosxexdx

=eπ+e0+∫π0exd（sinx）

=eπ+e0+exsinx|π0-∫π0sinxexdx

因此，2∫π0sinxexdx=eπ+1，故∫π0sinxexdx=12（eπ+1）

復變函數給出的新觀念：若復變函數f（z）在復平面上解析，則f（z）的定積分可用牛頓萊布尼茲公式求解。而且，復數域上三角函數的定義為sinz=12i（eiz-e-iz）。

因此，針對本例子，我們可設f（z）=sinzez，則有

∫π0sinxexdx=∫π0sinzezdz=∫π012i（eiz-e-iz）ezdz

=12i∫π0e（1+i）z-e（1-i）zdz

=12ie（1+i）z1+i-e（1-i）z1-iπ0

=12ie（1+i）π1+i-e（1-i）π1-i-e01+i-e01-i

=12（eπ+1）

總結：在高數中，遇到三角函數乘以指數函數的積分問題，總是需要用到分部積分公式，并且要做兩次分部積分才能求解。對大部分學生來說，分部積分是比較困難的技巧。在復變函數中，借助復變函數中三角函數的定義，我們總是能把三角函數轉化為指數函數，三角函數的積分問題轉化為指數函數的積分問題，從而避免分部積分，實現簡化。求指數函數的原函數和積分都是非常簡單的，上面計算雖然看似繁雜，實則思路非常清晰，每一步也都非常容易實現。

四、常微分方程問題

常微分方程問題是數學分析中的基礎概念，與動力系統、控制理論等領域有密切聯系，在工程學、生物學等領域有重要應用。研究常微分方程問題有助于深化對微積分學中的微分方程概念和計算方法的理解，對于探索微積分學中的規律性和變化性具有重要的意義。常微分方程問題還與如解析解、數值解、相圖、穩定性等重要數學概念和定理密切相關。另外，常微分方程問題在實際中有著廣泛的應用，例如在經濟學、物理學、工程學等領域中，常微分方程的模型和分析都扮演著重要的角色［8］。

【問題4】已知2x″（t）+x′（t）-x（t）=t-1，x（0）=1，x′（0）=-2，求x（t）.

高數解法：

首先，通過觀察發現方程的一個特解為x（t）=-t。

其次，計算方程對應的特征方程2λ2+λ-1=0，可得λ1=12，λ2=-1，因此方程的通解可設為：

x（t）=Ae12t+Be-t+x（t）=Ae12t+Be-t-t1s

代入初值x（0）=1，x′（0）=-2，可得：

x（0）=A+B-0=1，x′（0）=12A-B-1=-2

因此A=0，B=1，原方程的解為x（t）=e-t-t.

復變函數給出的新觀念：對原方程兩邊做拉普拉斯變換，有：

2s2Lx（t）-sx（0）-x′（0）+sLx（t）-x（0）-

Lx（t）=1s2-1s

代入初值x（0）=1，x′（0）=-2，可得2s2Lx（t）-2s+4+sLx（t）-1-Lx（t）=1-ss2.整理可得：

Lx（t）=12s2+s-11-ss2+2s-3=s2-（s+1）s2（s+1）=1s+1-1s2

對上述式子做拉普拉斯逆變換，有：

x（t）=L-11s+1+L-11s2=e-t+t

總結：在高數中，不同類型的常微分方程，需要使用不同的方法去求解，包括分離變量法、換元法、特征方程法、尋找特解法等。而且非齊次線性方程尋找特解的過程中，總是需要運氣和靈感，一般的學生不容易實現。我們借助復變函數中的積分變換理論，總是能把常微分方程轉化為拉普拉斯變換和拉普拉斯逆變換的計算，只要我們熟記積分變換的微分性質和常見的變換結果，就能用統一的一種方式來解決所有的線性常微分方程問題。

結語

通過對比三角函數問題、數列問題、積分問題和常微分方程問題的傳統解法與復變函數解法，我們可以清晰地看到復變函數工具在解決這些問題方面具有獨特的優勢和應用。傳統的解法往往局限于實數域，而復變函數課程提供了一種更加廣闊和豐富的數學工具，能夠更好地解決這些問題，使得我們能夠更好地理解和解決實際問題。因此，復變函數課程的知識和方法不僅在高等數學理論研究中具有重要意義，同時也在實際應用中發揮著重要作用。希望本研究能夠為更多的人認識到復變函數的重要性和應用前景提供一些啟發。

參考文獻：

［1］肖濤，聶立川，鄭亞勤.高等數學中可以用復變函數的方法解決的幾個問題［J］.科學大眾：科學教育，2008（8）：61.

［2］肖自碧，楊波.“復變函數與積分變換”課程教學改革探討［J］.中國電力教育，2010（15）：8081.

［3］胡熙元.三角函數的廣泛性應用［J］.中學生數理化（學習研究），2019（1）：20.

［4］劉志國，趙景庚，張耀輝，等.處理諧振電路的三角函數方法［J］.大學物理，2023，42（2）：1823.

［5］王軍祥，曾相森，徐晨暉，等.基于圖像處理技術的巖體裂隙定量識別方法研究［J］.地下空間與工程學報，2022（02）：446457.

［6］汪斌，劉家福.數列的極限及其應用分析［J］.數學的實踐與認識，2006，036（008）：367373.

［7］李蕊，蘇娟麗.定積分在水利工程計算中的應用研究［J］.商丘職業技術學院學報，2023，22（1）：7074.

［8］魏琪.旋轉多孔層中非局部熱平衡時粘彈性流體的熱對流研究［C］//中國工程熱物理學會傳熱傳質學2009年學術會議.2009.

項目基金：2020年度東莞理工學院校級質量工程課程建設類項目“復變函數與積分變換”（項目編號：202002?067）；2022年度廣東省本科高校教學質量與教學改革工程項目“以學生為中心的《離散數學》課程教學改革與實踐”

作者簡介：林志明（1988—?），男，漢族，廣東湛江人，博士，講師，研究方向為代數幾何及復幾何；趙英翠（1992—?），女，滿族，河北承德人，博士，講師，研究方向為拓撲動力系統；潘曉衡（1983—?），男，漢族，湖南衡陽人，碩士，高級工程師，研究方向為云計算及人工智能。