三次函數零點問題的探究與拓展

廣東省廣州市廣州中學(510630) 陳俊儒

三次函數是高中數學中的重要函數模型,頻繁見于普通高中教科書(人民教育出版社) 選擇性必修二.教材第99 頁安排了三次函數的拓展探究內容: 利用信息技術工具,根據給定的a,b,c,d的值,可以畫出函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的圖像,當a=-4,b=1,c=5,d=-1 時,f(x)的圖像如圖1 所示.改變a,b,c,d的值,觀察圖像的形狀:

圖1

圖5

(1)你能歸納函數f(x) 圖像的大致形狀嗎? 它的圖像有什么特點? 你能從圖像上大致估計它的單調區間嗎?

(2)運用導數研究它的單調性,并求出相應的單調區間.

從教材編排可見,三次函數在函數模型中占據重要的地位,教學中應引導學生利用導數工具研究三次函數的圖像與性質,把握研究三次函數與其他基本函數的異同.三次函數也是高考的高頻考點,考察內容以三次函數的切線,對稱性,極值與最值,零點問題為主,其中零點問題出現次數較多,難度較大,本文以2020 年全國III 卷第21 題為例,深入探究三次函數的圖像與性質,并對三次函數零點間的關系延伸拓展.

以上是解決此高考題的兩種常見方法.另外,我們面對函數的零點問題時,經常轉化為方程的根進行解決,那么三次函數的零點問題能否轉化為三次方程的根與系數關系并結合三次函數圖像進行問題解決?

圖2

圖3

圖4

2020 年全國高考III 卷理科第21 題正是根據結論1 進行的特殊化命題.另外,既然三次函數的三個零點都是有界的,那么零點之間的距離也應該是有界的,能否得出最大和最小零點距離的取值范圍?

由以上題目解答過程,可知三次方程韋達定理,推論1、2 和結論1、2、3,不僅給出了三次函數的零點與系數的數量關系,而且刻畫了直線與三次函數相交(相切)時交點(切點)與對稱中心的位置關系,是三次函數對稱性的另外一種體現,同時還明確了三次函數在上下平移過程中零點的有界性和零點間距離的最值,這是三次函數零點的顯著特征,在高考或高考模擬試題中常以上述推論或結論為背景進行命題.

題3(2024 年佛山市普通高中教學質量檢測一第4 題)已知f(x)=(x+1)(x+a)(x+b)為奇函數,則y=f(x)在x=0 處的切線方程為( ).

A.x+y=0 B.x-y=0

C.3x+y=0 D.3x-y=0

解析因為三次函數f(x)=(x+1)(x+a)(x+b)對稱中心為原點,所以-1-a-b=0,又因為f(0)=ab=0,所 以a=0,b=-1 或a=-,b=0,所 以f(x)=x(x+1)(x-1),k=f′(0)=-1,切線方程為x+y=0.答案為A.

題4(2021 年全國高考乙卷文科第21 題) 已知函數f(x)=x3-x2+ax+1.

(1)討論f(x)的單調性;

(2)求曲線y=f(x)過坐標原點的切線與曲線y=f(x)的公共點的坐標.

(2)設過原點的切線l:y=kx,切點A橫坐標為x0,直線l與曲線公共點的另一個交點橫坐標為x1,由推論2 可得2x0+x1=1,根據三次函數韋達定理可得,解得x0=1,x1=-1,故公共點橫坐標為1 或-1.

題5(2016 年天津高考理科第20 題) 設函數f(x)=(x-1)3-ax-b,x ∈R,其中a,b ∈R.

(1)求f(x)的單調區間;

(2) 若f(x) 存在極值點x0,且f(x1)=f(x0),其中x1x0,求證:x1+2x0=3.

(2)f(x)=(x-1)3-ax-b的對稱中心橫坐標為1,根據推論1 可得x1+2x0=3.

題6(2016 年佛山普通高中高三教學質量檢測一理科第12 題)設直線y=t與曲線C:y=x(x-3)2的三個交點分別為A(a,t),B(b,t),C(c,t),且a ＜b ＜c.現給出如下結論:

其中正確結論的個數為( ).

A.0 B.1 C.2 D.3

解析令x(x-3)2-t=0,化簡得x3-6x2+9x-t=0,由三次函數韋達定理可得a+b+c=6,ab+bc+ac=0,abc=t,結合三次函數圖像可得t ∈(0,4),a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)=18,由結論3 可知c-a ∈.答案為C.