奇偶討論 柳暗花明
——從河北省名校最新聯考一道數列題談起

安徽省太湖中學(246400) 李昭平

安徽省安慶市綠地實驗學校(246001) 項張榮

1 試題分析

則柳暗花明,實現證明目標.數學解題的智慧,讓考生拍案叫絕.

2 解答過程

3 運用強化

我們知道,數列遞推式中的腳碼、數列通項的分段表示、求數列的通項與和式、證明數列不等式、比較大小關系等等,常常要涉及到對項數的奇偶討論,有時對項數的奇偶討論又是必須的,否則無法求解.比如上述引例就是如此,從中聯想到對項數n奇偶討論,又在無法直接放縮的探究中,聯想到并項后整體放縮,轉化為熟知的等比數列求和,新穎獨特,具有很好的創新性

3.1 在求通項中對項數奇偶討論

點評本題在利用遞推公式時要注意左邊Sn,Sn-2的腳碼,如果對項數不分奇偶討論,疊加會很麻煩,甚至無法求和,所以對項數分奇偶討論是必須的.本例在求數列通項公式時,因為遞推公式中的符號影響引起對項數的奇偶分類.

3.2 在求和中對項數奇偶討論

例3已知數列{an}的前n項和為Sn,且2Sn=an+n2,其中n ∈N*.

(1)求數列{an}的通項公式;

(2)設bn=(-1)nan+2n,求數列{bn}的前n項的和Tn.

解析(1)當n≥2 時,2Sn-1=an-1+(n-1)2與2Sn=an+n2相減得,2an=an-an-1+n2-(n-1)2,即an+an-1=2n-1,因此an+1+an=2n+1.兩式相減得,an+1-an-1=2,所以an=n,n ∈N*.

(2)易知

點評本題一是考查遞推數列的函數觀點求通項;二是考查并項求和法,注意對項數n奇偶討論求和式.

3.3 在比較大小中對項數奇偶討論

解析(1)設等差數列{an}的公差為d,則

點評本題以等差數列和分段數列為載體,通過給定的條件構建方程組,得到{an}和{bn}的通項,再求和式Sn與Tn,作差比較Sn與Tn的大小.其中求Tn時必須對項數n奇偶討論是難點,也是易錯點和關鍵點.能有效考查學生對分段數列的理解、項數n奇偶時Tn表達式的特征、運算技巧和邏輯推理能力.

3.4 在求最值中對項數奇偶討論

例5(2023 年6 月重慶七校三模) 已知數列{an}是單調遞增的等比數列,且各項均為正數,其前n項和為Sn,a1a5=81,S2,a3,a4-S3成等差數列.

(1)求數列{an}的通項公式;

(2) 若數列{bn}的前n項和Tn滿足: 6Tn-bn=5(n ∈N*).求{anbn}的前n項和Pn的最小值.

點評本題一是考查遞推數列的函數觀點求通項;二是考查和式Pn的單調性(類比函數單調性處理),此時要對項數n奇偶討論.

3.5 在恒成立問題中對項數奇偶討論

例6(2024 年1 月安徽合肥模考)已知數列{an}滿足an+an+1=4n-3(n ∈N*).

以上我們從一道最新模考題出發,通過分析、解答、運用,強化了數列中對項數n奇偶討論的認識與理解.這給我們的啟示是: 好的高考題或模考題往往具有針對性、示范性和創新性,如果認真思考、認真研究、認真比較,就能得到很多有價值的東西.數學教師如果在教學中恰當運用,能有效培養學生思維的發散性、深刻性、廣闊性,促使學生的思維能力和解題水平達到一個新的高度.