多視角探究2024 年大灣區(qū)一模高三數(shù)學(xué)卷填空壓軸題

廣東省中山市實(shí)驗(yàn)中學(xué)(528400) 楊沛娟

大灣區(qū)2024 年第一次模擬考試,是廣東中山、珠海、江門、韶關(guān)等7 市共10 多萬(wàn)學(xué)生參加的聯(lián)考,其試題既有經(jīng)典呈現(xiàn),又有體現(xiàn)創(chuàng)新的新型試題.筆者選擇該卷頗具經(jīng)典的填空壓軸題,從六個(gè)視角進(jìn)行探究.

1 試題探究

1.1 數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合是研究某些數(shù)學(xué)問(wèn)題的首選思想和方法,是通過(guò)將抽象的數(shù)學(xué)概念、定理或問(wèn)題等與直觀的幾何圖形相結(jié)合,以便于理解和解決問(wèn)題.本題可以結(jié)合已知條件與目標(biāo)函數(shù)的幾何特征,構(gòu)造相關(guān)圖形進(jìn)行研究.已知函數(shù)是拋物線,目標(biāo)函數(shù)可以采用多種方式構(gòu)造,下面給出解法1 與解法2.

圖1

評(píng)析此解法需要用到點(diǎn)到直線距離公式,兩點(diǎn)間距離公式及直角三角形中的余弦定義式,需要的轉(zhuǎn)化較多,對(duì)學(xué)生思維的聚焦和發(fā)散都有較高要求,借助信息技術(shù)動(dòng)態(tài)展示較好理解.

解法2令則過(guò)點(diǎn)P(x,y) 的直線l為, Z 為直線l 的縱截距, 根據(jù)題意, 現(xiàn)只考慮Z ＞ 0 的情形, 又為點(diǎn)P(x, y) 原點(diǎn)的距離, 如圖2 所示.

圖2

由正弦定理得

評(píng)析分母表示點(diǎn)P(x,y)原點(diǎn)的距離,很容易想到分子是否具備幾何意義呢? 取目標(biāo)函數(shù)此時(shí)Z為直線l的縱截距.此解法與解法1 都是將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題,最后再回歸到代數(shù)方法解決問(wèn)題,都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

1.2 三角函數(shù)

利用三角函數(shù)求最值是解決最值問(wèn)題的常用方法,本題將式子合理拆解后,可以利用三角函數(shù)定義轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值問(wèn)題.

評(píng)析此解法主要利用三角函數(shù)定義及最值的求法,涉及到基本不等式的基本用法,總體來(lái)說(shuō)比較容易理解和掌握.關(guān)鍵是學(xué)生掌握了轉(zhuǎn)化與化歸的思想,結(jié)合所求式子特征能夠進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化.

1.3 向量方法

向量法是解決最值問(wèn)題的常用方法,本題有所求式子結(jié)構(gòu)聯(lián)想到向量的夾角公式,轉(zhuǎn)化為求夾角余弦值的最大值問(wèn)題.

評(píng)析此解法涉及到向量的夾角公式和拋物線的切線問(wèn)題,是學(xué)生比較容易掌握的知識(shí)點(diǎn),也是高考熱門考點(diǎn),需要學(xué)生熟練掌握.關(guān)鍵點(diǎn)同視角2 類似,要求合理聯(lián)想,恰當(dāng)轉(zhuǎn)化.

1.4 導(dǎo)數(shù)方法

研究函數(shù)的極值,常規(guī)方法之一是對(duì)函數(shù)求導(dǎo),分析出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而得到函數(shù)極值.此題的函數(shù)表達(dá)式較為復(fù)雜,能否求導(dǎo)研究呢? 下面給出解法5 直接求導(dǎo),解法6降次求導(dǎo).

評(píng)析直接對(duì)分子和分母均為4 次的函數(shù)表達(dá)式求導(dǎo),按函數(shù)除法的求導(dǎo)法則逐步求導(dǎo),在導(dǎo)函數(shù)分子的運(yùn)算過(guò)程中,逐步提取公因式,并采用分組分解的方法研究的因式,最難想到的是.對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行因式分解之后,則非常容易得到單調(diào)區(qū)間,從而得到極值,但該方法計(jì)算量大,對(duì)考生要求較高.下面給出一種更簡(jiǎn)潔的導(dǎo)數(shù)方法,通過(guò)換元后降次,將復(fù)雜函數(shù)式化為另一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù),然后再進(jìn)一步通過(guò)求導(dǎo)方法研究函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的極值.

評(píng)析此解法本質(zhì)上同解法5 相同,都是利用導(dǎo)數(shù)解決問(wèn)題,只是在解題過(guò)程中運(yùn)用了換元進(jìn)行降次處理.如何想到換元呢? 觀察所研究分式函數(shù),分子與分母都是四次函數(shù),分子分母同時(shí)除以x2,經(jīng)歷變形后均含有表達(dá)式從而想到令將分子分母的4 次函數(shù)降為2 次函數(shù),再求導(dǎo)后研究極值,計(jì)算量少了許多.

1.5 換元方法

基本不等式是解決最值問(wèn)題的常用方法,筆者在用解法6 進(jìn)行解答時(shí)考慮到是否可以用基本不等式求解,下面給出經(jīng)過(guò)換元處理后,利用基本不等式和雙勾函數(shù)進(jìn)行求解的兩種方法.

評(píng)析此解法本質(zhì)上同解法7 相同,只是處理方式不同.齊次化處理較容易想到,換元后,利用基本不等式和雙勾函數(shù)求解,是對(duì)學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)和思維能力的很好地考查,學(xué)生不易掌握該方法.

1.6 高等數(shù)學(xué)視野

初等數(shù)學(xué)問(wèn)題也可以用高等數(shù)學(xué)知識(shí)解決.本題可以用高等數(shù)學(xué)中的拉格朗日乘數(shù)法進(jìn)行解答.在介紹解法前,先介紹拉格朗日乘數(shù)法的定義: 設(shè)給定二元函數(shù)z=f(x,y)和附加條件φ(x,y)=0,為尋找z=f(x,y)在附加條件下的極值點(diǎn),構(gòu)造拉格朗日函數(shù)F(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y),其中λ為參數(shù).令F(x,y,λ)對(duì)x,y和λ的一階偏導(dǎo)數(shù)等于零,即

評(píng)析拉格朗日乘數(shù)法適用于求解帶有等式約束的最優(yōu)化問(wèn)題,涉及到偏導(dǎo)數(shù)和方程組的求解,這種高等數(shù)學(xué)視野下的解法可能會(huì)導(dǎo)致計(jì)算變得更加復(fù)雜.相比之下,初等解法會(huì)更加簡(jiǎn)單和直接,多數(shù)學(xué)生也更容易接受,對(duì)于尖子生可以適當(dāng)拓展.

2 試題溯源

清華大學(xué)在2019 年自主招生考試中出現(xiàn)過(guò)類似題目,只是約束條件略有不同,下面給出該題及變式,請(qǐng)讀者自行研讀與解答.

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)中,一題多解是常見(jiàn)的現(xiàn)象,這不僅僅是因?yàn)閿?shù)學(xué)問(wèn)題本身可能存在多種解決途徑,也因?yàn)椴煌慕忸}方法能夠相互啟發(fā),提供不同的視角和深入的理解,這些多樣的解題方法并非孤立存在,而是構(gòu)成了一個(gè)相互關(guān)聯(lián)的網(wǎng)絡(luò).在這個(gè)網(wǎng)絡(luò)中,每一種方法都扮演著特定的角色,它們既可以獨(dú)立解決問(wèn)題,也可以聯(lián)合起來(lái)提供更為強(qiáng)大的解題能力.這種對(duì)立統(tǒng)一的關(guān)系是數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的一大特點(diǎn),它要求學(xué)生在面對(duì)問(wèn)題時(shí)能夠靈活地運(yùn)用和轉(zhuǎn)換不同的方法.試題的溯源引導(dǎo)及變式訓(xùn)練可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)試題的深入理解,在學(xué)習(xí)過(guò)程中形成更為扎實(shí)和系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu),更好的把握數(shù)學(xué)本質(zhì),促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成.

為了有效地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題,教師應(yīng)該致力于培養(yǎng)學(xué)生的靈活思考能力.這意味著學(xué)生不僅要掌握各種解題技巧,還要能夠根據(jù)問(wèn)題的具體情形,選擇最合適的方法.這需要學(xué)生具備深厚的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí),對(duì)數(shù)學(xué)概念、原理和定理等有深刻的理解,以及豐富的解題經(jīng)驗(yàn).同時(shí),學(xué)生還需要能夠深入分析問(wèn)題的本質(zhì),識(shí)別問(wèn)題的核心結(jié)構(gòu),這樣才能從根本上提出創(chuàng)新和高效的解決方案.

在提出解決方案后,解題過(guò)程并沒(méi)有結(jié)束.交流、反思和總結(jié)是解題過(guò)程中不可或缺的環(huán)節(jié).通過(guò)與他人交流,學(xué)生可以了解不同的解題方法和思路,拓寬自己的視野.反思和總結(jié)則是個(gè)人內(nèi)化的過(guò)程,它幫助學(xué)生鞏固已學(xué)知識(shí),提升解題技巧,并對(duì)未來(lái)的問(wèn)題解決提供指導(dǎo).有效的自我評(píng)估能夠促使學(xué)生對(duì)自己的解題過(guò)程進(jìn)行批判性思考,從而在未來(lái)的學(xué)習(xí)中取得更大的進(jìn)步.

高中數(shù)學(xué)題目的解題過(guò)程是一個(gè)綜合性的思維活動(dòng),它不僅需要學(xué)生具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和靈活的解題思維,還需要學(xué)生不斷地實(shí)踐和反思.通過(guò)對(duì)經(jīng)典題目的深入探究,學(xué)生可以提升自己的解題能力,這不僅包括具體的技巧和方法,還包括對(duì)數(shù)學(xué)思想的理解和應(yīng)用.在這個(gè)過(guò)程中,教師的引導(dǎo)和同伴的互助都是非常寶貴的資源.通過(guò)這樣的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練,學(xué)生將能夠在數(shù)學(xué)乃至其他領(lǐng)域展現(xiàn)出更高的問(wèn)題解決能力.