巧借幾何特征 形解圓錐曲線
——以2024 年九省聯考第18 題為例

湖州市濱湖高級中學(313000) 鄭夢華

浙江省湖州中學(313000) 祝峰澤

解析幾何是一種借助解析式進行圖形研究的幾何學分支,高中解析幾何常借助平面直角坐標系將幾何問題代數化從而研究圖形的幾何性質.圓錐曲線問題是高考數學的最大熱門之一,其分值大、難度高,常出現在壓軸題.本著“小題小做”的原則,選擇和填空題中往往采用數形結合思想解題,解答題常采用通法——韋達定理將幾何問題代數化,但是純代數方法意味著徹底摒棄了解析幾何的核心——形,機械式的計算,隨著試題難度的增加,得到的代數式愈加復雜,對學生的運算素養和應試能力提出更高的要求,此時回歸問題的幾何本質顯得更加重要.近日教育部組織命題的九省聯考中,筆者解18 題時使用了代數方法,雖最終順利解決,但其過程可謂“翻山越嶺”,此時不免思考,能否利用條件中的中點等幾何特征,將問題“化繁為簡”? 在其他圓錐曲線問題中能否也這樣“大題小做”? 基于此,文章分別對拋物線、橢圓、雙曲線三個問題對代數法和幾何法進行比較,由此,得到一些建議和反思.

1 原題呈現

例1(2024 年九省聯考第18 題)已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,過點F的直線l交C于A,B兩點,過F與l垂直的直線交C于D,E兩點,其中B,D在x軸上方,M,N分別為AB,DE的中點.

(1)證明: 直線MN過定點;

(2)設G為直線AE與直線BD的交點,求ΔGMN面積的最小值.

分析 相較常規圓錐曲線試題,該試題兩小問均有一定難度,其中第(1)問采用韋達定理解決即可.試題第(2)問求三角形面積的最值,如延續第(1)問思路設點設線結合韋達定理也可解出,但計算過程中涉及到多個參數,對學生的應試能力是一大挑戰,若能尋找其中的幾何關系,可極大減少運算量.試題考查學生運用坐標解決平面解析幾何問題的能力,同時也突出解析幾何中“形”的主體,既讓天賦較差的學生有路可走,也體現出高考選拔人才的主旨.

2 以“形”妙解圓錐曲線

2.1 拋物線中的應用

2.2 橢圓中的應用

2.3 雙曲線中的應用

評注解法一為常規的分類討論,設出不同的標準方程,利用兩點間的距離公式求解函數的最值,計算量偏大,其中還涉及到二次函數最值分類討論問題.解法二在得到漸近線方程后只需計算點到漸近線的距離即可.

3 總結和反思

文章從三種圓錐曲線的例題出發,將代數方法和幾何方法進行比較,結果表明在解決圓錐曲線解答題時適當借助幾何特征,能夠避免多參數、大數據計算等困難,也為考試節約出寶貴的時間.

教育部《普通高中數學課程標準》修訂組組長王尚志教授提出,中國學生在數學學習中應培養好數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析六大核心素養.《普通高中數學課程(2017 年版)》將學生在直觀想象方面的素養列為六大數學學科核心素養之一.平面解析幾何其核心是“幾何”,但是,在我國高中數學課堂往往摒棄了幾何特征,甚至在圓的問題中也使用韋達定理等代數方法,這不利于學生的直觀想象素養提升.通過幾道例題的思考,我認為在高中數學解析幾何課堂中,要更多地強調條件或問題的幾何特征,尤其是涉及到垂直、面積、中點等條件時應充分挖掘內在的幾何信息,不能簡單地丟給學生“韋達定理硬算”一句話,同時對于一類問題,可引導學生建立數學模型,將復雜的文字、數量關系轉化成直觀的圖形,從而理解該問題的幾何本質,也落實了學生的直觀想象核心素養.