一類圓錐曲線中線段比值和為定值問題的解答及結論推廣

漢中市龍崗學校(723100) 唐宜鐘 衛 靜

在圓錐曲線問題中,與線段比值有關的問題需綜合運用平面向量、解析幾何、函數、不等式等多種知識,其表征多樣,計算繁雜,全面考查學生的數學運算和邏輯推理能力.一直以來,備受出題人的青睞,在高考和各種模擬考中屢見不鮮.同時,由于涉及的量較多,運算難度大,這歷來也是教學的一個難點問題.筆者所在學校在進行聯考時,遇到一個線段比值和為定值的問題.在考場中,學生給出了多種解法,筆者嘗試將相關思路和解法進行了歸納.

1 解法探究

2 結論推廣

3 背景深溯

4 備考啟示

4.1 知識先行,技巧提速

圓錐曲線重點考查學生的邏輯思維能力和數學運算能力.其中,直線和曲線的定義、常見性質,直曲聯立,韋達定理,弦長公式,向量運算,與不等式或函數知識結合的處理,都屬于圓錐曲線問題的基礎知識和基本技巧.在實際教學過程中,要求學生掌握基礎知識和基本技能.只有熟悉條件如何轉化,關系式如何化簡,結論如何揭示.遇見問題,才能做到有的放矢.同時,圓錐曲線中,數學運算能力要求極高,而且某些問題或者運算使用常規算法十分繁雜,容易出錯.這一方面要求我們具備較強的數學運算能力,一絲不茍的精神和相當的耐心,另一方面需要我們掌握一定的代數技巧,使用巧算、速算,進行計算和檢驗.另外,某些特殊的題目,也需要特殊的代數技巧.如本文中使用的動點轉移法和比例點差法,都屬于圓錐曲線中的特殊代數技巧,解決這類線段比值問題有奇效.

4.2 模式識別,妙手開局

解決問題時思維的自然過程分成四個階段——弄清問題、擬定計劃、實現計劃、回顧.其中,“擬定計劃”是關鍵環節和核心內容.“擬定計劃”的過程是在“過去的經驗和已有的知識”基礎上,探索解題思路的發現過程.波利亞建議分兩步走: 第一,努力在已知與未知之間找出直接的聯系(模式識別等);第二,如果找不出直接的聯系,就對原來的問題做出某些必要的變更或修改,引進輔助問題,再進行轉化和化歸.“模式識別”在中學數學中,應當被看成是首要的思維策略[2].圓錐曲線大多數問題,都有其較為固定的解題模式.同一類問題,也有多種解題模式.根據題目特點,能夠迅速識別并選用合適模式,是解題的關鍵.基于對模式的深刻理解,妙手開局更是能事半功倍.如在本文中,使用線段比例作為變量,使用比例點差法,都是這類問題的妙手.

4.3 高位貫通,常規表達

所謂高位知識,是指在學生知識體系之外,高于學生認知的知識,其包括高等數學的弱化,初等數學的升華,跨學科的融合等等.高位知識并非深不可測,教師可以通過對現有知識、常見題型和解題模式進行總結、升華,最后自然地生發而成.如本文中的極點極線的部分知識,即可通過比例點差法進行總結推廣.而今,隨著教學教改的深入,極點極線知識幾乎已經變成了高中優生的必備知識.有著適當的高位知識,學生對某些問題就能夠變霧里看花為走馬觀花,發現某些問題的命題邏輯.使用高位知識,一方面能夠將題目、解法、解答技巧進行貫通.如本文中,為何無需具體的橢圓(因為最終的比值形式只需要離心率即可),為何題問是三角形面積之比(可以轉化為線段比),為何要使用比值作為變量(調和點列的比),為何使用比例點差法作答(調和點列的推導技巧).另一方面,高位知識可以更好在較高維度將許多知識進行貫通,趨近問題的本質.如在本文中,利用調和點列和極點極線的知識,就可以將問題推廣至整個圓錐曲線并更易理解.當然,在高中知識體系內,所有解答必須常規,不能將解答變成玄學.這要求我們在深刻理解問題的基礎上,使用高中的語言和算理邏輯進行書寫.當然,這樣的書寫允許適當地使用某些代數技巧.