大觀念統領下的三角函數單元教學探究

摘 要：本文以三角函數為例，站在單元視角，通過立足引言、提煉觀念、抓住數學本質進行教學，借助單位圓搭橋，助力學生打通知識內、外的“脈”.

關鍵詞：單元教學；三角函數；單位圓；核心素養

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）06-0029-03

單元教學是教師將同根同源的對象、內容整合到一起，放在一起研究，形成具有知識整體性、思想一致性、方法延續性的學習單元，是將課程標準、教材落實到課堂教學的橋梁.下面以人教A版高中數學新教材第五章《三角函數》為例，對單元教學思路進行探討.

1著眼全局，樹立觀念

1.1 數學發展的視角：與時俱進的函數思想

三角學源于生活，因觀天測地的實際需求在古希臘的定量幾何中誕生，主要是確定方向，計算距離.17世紀以前，三角學主打計算，是常量數學的主要內容.

由于微積分、解析幾何的發展，變量數學在數學中漸漸變得舉足輕重，三角學隨即失寵.隨著無窮極數的引入，三角函數又借著東風，開啟了新起點.18世紀中葉，歐拉（Euler）定義三角函數為線段的比，三角函數逐漸有了圖形.19世紀開始，解析幾何一統天下，主流的函數思想如日中天.計算機的發明，導致三角函數表的制作易如反掌，三角公式風光不再，三角恒能變形逐漸退出充當配角.三角函數順應潮流，與時俱進，與主流接軌，放下靜態的三角，披上動態的函數的外衣，潛入各個領域，特別是自然及生活中的振動和波動.在現代數學中，三角函數要用主流的函數眼光看待.

1.2 課程標準視角：謀局布線的運動思想

三角函數具有周期性，是周而復始的運動變化規律的數學刻畫.為了表現這一特殊屬性，教材在編撰時也做了刻意安排.第一，章頭圖拋磚引玉.從數學發展史來看，三角函數起源于圓周運動，章頭圖“月相變化”跟天體運動有關，天體是周期性的轉動，是勻速旋轉，可以抽象為點在圓上繞著圓心做勻速旋轉運動，旋轉一周后相對于起點的位置周而復始.第二，預備知識埋下伏筆.旋轉運動的本質是位置變化，從哪開始動即起始位置，運動到哪兒即終止位置，在動的過程中怎樣旋轉即旋轉方向和旋轉大小.為此，教材先將“角”擴充到“任意角”.

1.3 教材視角：優化重構的建模思想

普通高中數學教科書2004版（下簡稱“舊教材”）和2019版（下簡稱“新教材”）對比分析可以得出幾點認識：

章節位置有變.《三角函數》和《三角恒等變換》由舊教材的兩章合為新教材的同一章.教材內容有變.在新教材中刪除了三角函數線，增加了生活和物理中需要三角函數模型解決的問題，對數學建模的偏愛不言而喻.內容順序前后不同.“函數y=Asin（ωx+φ）的圖象”，“三角恒等變換”舊教材中順序不同，新教材按函數“背景——概念——圖象與性質——應用”這一路徑，用相似的路徑研究不同的數學對象，讓學生感受“對象在變，方法不變”.不斷累積考慮問題的經驗，慢慢形成自己的思維邏輯線.

基于上面分析，“三角函數是刻畫周而復始現象的一類最典型的周期函數模型”這一單元大觀念，在主流函數思想之下成功落地.

1.4 思維視角：全面呈現的數學思想

太陽的東升西落，水車的循環轉動，都可以抽象成圓周運動.利用此模型，在坐標系中利用單位圓給出三角函數定義，這體現了數形結合的思想.另外，利用單位圓上角的終邊的對稱和旋轉，推導了誘導公式，借助三角函數線畫正弦函數和正切函數的圖象、利用三角函數圖象研究性質、利用向量推導兩角之差的余弦公式等等，都體現了數與形的結合.轉化與化歸思想也是三角函數單元教學中體現的重要思想.如誘導公式在化簡求值中體現了“負化正，大化小，最后化到銳角上”的化歸思想，再求y=Asin（ωx+φ）的性質如單調性，周期性，對應方程的根的問題時，把ωx+φ看作整體，此類函數可轉化為正弦函數的性質求解，起到了化繁為簡的作用.在給值求值的求解中“拆角湊角變換”“切化弦”等技巧也體現了這種化歸思想.另外，分類討論、函數與方程的思想在本單元中也進行了充分的挖掘和應用，這些全面呈現的數學思想對培養學生的核心素養有著至關重要的作用.

2 整體架構，指向素養

2.1 一章引言呈現概貌

引言是學生學習本章的燈塔.本章引言有三段話：第一段，列舉出了生活和其他學科中“五花八門”的周期現象，表明三角函數學習的必要性；第二段，表述了學生已研究過了一些特殊的函數，有了一些研究經驗，表明了學習本章的路徑；第三段以問題單刀直入地指出要學什么，引出正文.這三段話告訴我們教材編者的意圖，要用一脈相承的思想去引導學生怎么去研究一個新對象.

2.2 一條邏輯線指引教學

通過回顧已學的具體函數，表明本章的學習路徑：背景——概念——圖象與性質——函數的應用.

第5.1節是背景也是鋪墊；第5.2節是概念；第5.3節是由概念推出的一般性質，特殊角和任意角之間的運算；第5.4節是借助定義和運算探討三角函數的圖像和性質；第5.5節是任意角和任意角之間的運算，疏通了已學三角公式之間的關系，為三角函數的模型的應用給予了有力的運算支持，它也是5.3節的后續；第5.6節y=Asin（ωx+φ）的圖象能由y=sinx通過變換而來，也是5.4節圖象的后續；第5.7節是三角函數的應用.在整個學習的過程中蘊含個別到整體的思想，遵循了循序漸進，階梯式上升的原則［1］.

2.3 一個單位圓串聯內容

人類剛接觸天體運動時，就認為它的運行軌道是圓.圓是源頭，有豐富的對稱性.因此以單位圓來主導研究過程，不僅是延續歷史，還能凸顯本質，化繁為簡，取得事半功倍的效果.概念的抽象過程直接針對單位圓中角與點坐標的對應關系展開，并順理成章地在單位圓中定義、研究三角函數，誘導公式利用它是軸對稱又是原點對稱圖形直觀探求得到，兩角差的余弦公式利用它的旋轉不變性推導.圖象性質研究完之后，又回到生活中去刻畫圓周運動.單位圓在各小節知識間搭起了橋，打通各小節知識的“脈”，將各節串聯成一體，以形助數，以數論形.

2.4 一類函數模型推動素養

生活中“周期性”有許多背景：水車、摩天輪、潮起潮落、鐘擺等.已學過的函數沒有辦法描述這種現象，利用古代筒車研究勻速圓周運動，裝水筒距水面的高度與時間的函數關系式借題給出，再有已學的y=sinx的性質探討，同時拋出問題y=Asin（ωx+φ）的圖象可以用變換的方法研究.借助學生熟知的摩天輪，啟發學生懂得類比，模仿去做研究.在最后一節研究了與其他學科關聯的問題以及生活中的問題，讓學生感受到三角函數是一種重要的應用工具.

三角函數是特殊的函數，在生活中實際應用價值很高，在構建活動中的價值也高.任意角的定義和弧度制的引入視為研究三角函數模型做準備工作，概念的形成，主要培養學生的抽象素養；性質的研究階段，單位圓的對稱性來搭橋，簡單明了，直觀想象素養在無形中得以培養；在應用階段，主要培養抽象和建模素養.

2.5 一種整體換元法貫穿教學

在用“五點作圖法”畫函數y=Asin（ωx+φ）的圖象以及研究它的性質時，把ωx+φ看作一個整體，令t=ωx+φ，從而把問題轉化為正弦函數y=sint的圖象和性質.在“拆角湊角變換”中，把已知角看做整體，要求的角用已知角來表示，也體現了換元的思想.還有在由Cα-β推導Cα+β時用-β換β，在推導和差化積公式時令x=α+β，y=α-β等等，這些都采用了整體換元法.所以整體換元法貫穿整個三角函數單元教學，換元法的使用，清晰地呈現了已知和未知的關系，使學生快速找到解題的突破口，在學習中形成連續的思維方法，使新知的內容更系統，條理更清晰.

3 精準設計，落實課堂

3.1 通盤感知，因材分解

單元教學中以主題為紐帶，給數學教學帶來了活力和張力.為了增加可操作性，在保證知識連貫的條件下，可以突破課時約束，重新劃分組織教學，因“材”分解成小單元進行教學.以《三角函數》單元為例，以內容為“材”，就按教材的順序進行分解；以方法為“材”可分解為“換元法在三角函數中的應用”“單位圓中的三角運算”“三角函數性質在單位圓中的應用”；以素為“材”可以分解為“三角函數定義中的數學抽象素養”“三角函數應用中的數學建模素養”“誘導公式中邏輯推理素養”等［2］.

不同的設計者有不同的思路，下面從立足章引言，以大觀念來組織分解單元內容進行探討.基于前面分析的本章單元大觀念，在教學落地時可以讓子觀念去引領，相應的單元內容與之對應.

（1）圓周運動可以借助角來刻畫.單元內容：任意角和弧度制.

（2）周期性變化現象可以借助三角函數模型刻畫.單元內容：三角函數的概念、誘導公式、三角函數的圖象和性質、三角恒等變換、函數y=Asin（ωx+φ）的圖象和性質.

（3）三角函數模型是解決周期問題的工具.單元內容：三角函數的應用.

3.2 聚焦課時，教學相融

課堂教學是觸發學習和學會學習的平臺，而課時教學設計是關鍵抓手.因此，教師要理解教材，關注學情，以單元整體觀為指導，精準定位課時目標，深謀遠慮地設計課時教學流程.

課時知識之間體現關聯性.在章節起始課、中間課時、章末復習課中盡量以最核心的知識和方法為載體，體現關聯性.

課時方法之間突出層次性.起始課總攬全章，解決“為何學”問題；中間課解決“怎樣學”，引領學生親歷思考、探索，直面問題的本質，獲得學習經驗；復習課解決“構建網絡”“形成思想”等任務.

課時前后之間承上啟下性.課時設計時設計一些恰當的呼應點和一些“恰時恰點的問題”，讓學生在知識發生發展的過程中有參與感、成就感.

為使核心素養真正落地，教師要重過程、輕結果地設計課時教學.引導學生主動探究，舊中生新，無中生有，由學會到會學，教與學相融，產生奇妙的交集，讓數學教學成為有思想的教學［3］.

4 結束語

“不謀全局者，不足謀一域”，只有從數學本質出發，深入挖掘教材，立足引言，在觀念統領下，精心設計單元教學的各個環節，疏通知識的“經絡”，落實到課堂，讓學生在潛移默化中素養自得.

參考文獻：

［1］ ?王世明，汪煦，許曉天.基于認識邏輯鏈的三角函數單元教學策略分析［J］.中國數學教育，2021（11）：25-17.

［2］ 孫孜，張萍.把握“新”、轉變“教”、用好“材”：人教A版新教材“三角函數”的解讀與思考［J］.中學教研（數學版），2021（5）：30-33.

［3］ 章建躍.《普通高中教科書·數學（人教A版）》“單元：課時教學設計”體例與要求［J］.中學數學教學參考，2019（8）：14-16.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-11-25

作者簡介：龐美名（1981.7-），女，安徽省淮北人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.