由“量”到“算”，發展量感和推理意識

呂志新　吳曉超　何磊　劉延革

【摘 要】文章依據北京小學數學研究團隊研發的“單元教學路徑”（第二版本）對“面積”單元進行了研究與實踐，按照“單元學習主題及具體概念→單元學習目標→學生學習結果表現→關鍵問題→學習任務序列→課時學習目標及學習任務”的路徑進行了分析和闡述。相比于“單元教學路徑”（第一版本），文章以“面積”單元為例，在研究中增加了對“學生學習結果表現”和“持續性反饋”內容的實踐，體現了新課標“教—學—評”一致性的理念。

【關鍵詞】核心素養 單元設計 面積度量 教學評估

一、研究背景及問題提出

《義務教育數學課程標準（2022年版）》確立了以發展學生核心素養為導向的課程目標，明確提出要強化“設計體現結構化特征的課程內容”。教師要改變過于注重以課時為單位的教學設計，實施單元整體教學設計，注重知識間的內在關系，以及學習內容與核心素養表現的關聯；要設計有邏輯、有進階的學習任務序列，實現結構化學習，從而逐步發展學生的核心素養。可見，單元整體設計是形成核心素養的有效途徑。實施過程中，教師還要對學習進程進行持續性反饋，確保課時目標、單元目標的達成，從而有效促進學生核心素養的發展。

為更好地實施單元整體設計，北京小學數學研究團隊基于一維“長度”單元整體設計框架（簡稱“第一版”），提出了第二版的單元整體設計框架（如圖1）：

由圖1可以看出，單元整體設計過程是一個邏輯思考的過程。首先，要提煉這個單元的學習主題和具體概念，可以從核心內容的數學本質、思想方法、學習價值等維度來思考，找到了單元學習主題和具體概念，也就找到了單元學習的“魂”；其次，依據單元具體概念和學生先期經驗確定單元學習目標，并落實到學生學習結果表現上；最后，為了達成預期學生學習結果表現，還要確定學生需要思考的關鍵問題，據此設計有邏輯、有進階的學習任務序列，并根據任務特點和學情劃分課時，完成學習任務。

與一維“長度”單元設計框架（第一版）相比，本框架增加了“學生學習結果表現”和“持續性反饋”。“學生學習結果表現”是單元學習目標的具體化，是學生學習某主題相關知識后應達成的學習效果，通過學生可視化的外在表現來評估。說到底是根據“學業要求”關注學生的實際獲得，包括知識、技能、思想方法、素養等。“持續性反饋”是教師依據學生學習結果表現有效調控學習過程的策略，是一個動態過程。教師依據評估結果或數據，即時分析、調整單元學習過程，形成持續性的反饋，保證學習目標的達成。這與新課標新增的“學業要求”相契合，就是要關注學生學習結果評估與調控，保障課程內容的實施與學業質量的監控。

基于第二版單元整體設計的開發路徑，研究團隊設計了“面積”單元的學習任務序列。

（一）走進新課標，尋找學習內容鏈接的素養表現

關于圖形測量的學習，新課標的課程內容部分明確指出“圖形測量的重點是確定圖形的大小。學生經歷統一度量單位的過程，感受統一度量單位的意義，基于度量單位理解圖形長度、角度、周長、面積、體積。在推導一些常見圖形周長、面積、體積計算方法的過程中，感悟數學度量方法，逐步形成量感和推理意識”。由此可見，圖形測量的基本方法是統一度量單位的不斷累積，素養表現是量感和推理意識。

（二）走進教材，尋找發展量感的路徑

分析各個版本數學教材的相關內容，研究團隊發現：“圖形的測量”主要包含了從一維到三維度量的學習內容，每個維度的度量都經歷了認識“度量屬性”、創建“度量單位”、探索“度量方法”、描述“度量值”的過程，其本質都是相應度量單位的累積，具有一致性。因此，“面積”單元要引導學生經歷面積度量全過程，即了解面積概念—了解面積單位—了解面積公式—解決問題；體會平面圖形面積的度量是統一面積單位的不斷累積；根據長方形、正方形面積與圖形要素（長、寬或邊長）的關系推導出面積計算公式，由“量”到“算”，優化度量的方法。在運用度量單位度量事物的實踐體驗活動中，拉開公式度量的序幕，在選擇合適的度量單位與方法進行靈活度量、解決實際問題的過程中，逐步積累經驗，形成量感和推理意識，發展學生核心素養。

基于以上分析，研究團隊認為，“面積”單元在圖形度量系列學習中占有重要地位，拉開了由“量”到“算”的序幕。因此也確定了本單元的學習主題和具體概念。

1.單元學習主題

學習主題：由“量”到“算”，進一步發展量感和推理意識。

2.單元具體概念

具體概念1：面積是對現實生活中事物二維屬性大小的刻畫。

具體概念2：度量面積的基本方法是面積單位的累積。

具體概念3：尋找長方形、正方形面積與圖形要素之間的關系，得到長方形、正方形的面積公式。

具體概念4：根據實際需要，可以選擇合適的單位和方法進行測量。

具體概念5：以上過程發展了學生的量感、推理意識、直觀想象和解決問題的能力。

以上單元具體概念是單元學習的“魂”。明確了度量對象、度量方法和素養目標，也明確了度量過程的層次性：一是基于度量單位累積的基本方法；二是根據圖形面積與要素間的關系，得到優化的公式計算方法；三是結合實際需要選擇合適的度量單位與方法進行靈活度量。在度量過程中，不斷積累度量經驗，逐步形成量感和推理意識。

二、學生先期學習經驗分析

為了了解學生學習本單元內容之前的知識基礎、方法經驗以及可能遇到的學習困難，學習前，研究團隊對北京市某小學60名三年級學生進行了學情調研。

（一）調研設計

本次調研重點關注學生比較面積大小的經驗以及對面積單位的認知，設計了以下調研題目。

（1）比一比圖2兩張紙片的大小，并用自己的方式描述。

①我的比較方法：________。

②我的描述：________。

（2）你認為可以怎么測量課桌桌面的大小？嘗試描述課桌桌面的大小。可以寫一寫、畫一畫表示出你的思考過程。

（二）調研結果

1.學生缺少用間接方法定量刻畫面積的意識

基于已有的生活經驗和學習經驗，大多數學生可以通過觀察和操作直接比較面積的大小，如重疊法、剪拼法等，有2人通過畫小方格的方式來間接比較面積的大小。可見，學生比較面積時多采用直接比較的方法，很少學生能夠有意識地采用“小面個數”（即數值）描述面積大小或大多少，只知道乙比甲大，缺乏對面的大小進行定量刻畫的意識。

2.絕大部分學生缺少對面積單位的認知

調研顯示：3%的學生知道可以用面積單位鋪滿課桌桌面的方法測量桌面面積，并用面積單位的個數進行描述；10%的學生知道測量課桌桌面的長、寬，借助長方形面積公式計算課桌桌面面積。在后續的訪談中得知，這部分學生無法說明為什么“長×寬”能得到桌面面積；87%的學生用周長替代面積。可見，絕大部分學生大腦中沒有“面積單位”的認知，缺乏“線量線”“面量面”“體量體”的意識。

基于單元具體概念和學生先期經驗，整體把握圖形度量系列學習的進階，我們確定了本單元的學習目標和學生學習結果表現，旨在突出定量刻畫圖形大小的本質。

三、TUKE學習目標及結果表現

（一）TUKE學習目標

T（遷移）目標：在測量事物不同屬性的大小時，能想到選用同屬性的統一標準單位進行累積得到測量結果并愿意嘗試。

U（理解）目標：結合實例，經歷選擇面積單位進行測量的過程，理解面積的意義，以及統一面積單位的必要性，經歷長方形、正方形面積公式的推導過程，理解長方形、正方形面積和要素之間的關系；初步形成推理意識，感悟定量方法的應用；能說明長度度量和面積度量之間的聯系。

K（知能）目標：認識面積單位，建立面積單位表象，會進行簡單的單位換算。掌握長方形、正方形的面積公式，會應用長方形、正方形面積公式計算長方形、正方形面積，能選擇合適的單位估測一些物體的面積，發展量感。

E（情感）目標：在探究活動中積累經驗，感受知識之間的聯系，能夠靈活解決生活中的實際問題，體會數學的價值。

（二）學生學習結果表現

（1）知道面是有大小的，可以借助一個小面描述面的大小；知道面里包含著小面的個數叫作它的面積。

（2）認識面積單位，能在大腦中建立表象，理解統一面積單位的必要性；知道相鄰面積單位之間的進率，能正確進行面積單位的換算。

（3）能夠選擇合適的面積單位估計生活中物體面的大小，并能實際測量，描述結果。

（4）能說明長方形面積公式中長和寬的含義；知道長方形、正方形的面積公式，并能應用公式解決問題。

（5）能說明長度度量和面積度量之間的聯系。

（6）意識到物體有不同的可測量屬性，測量物體不同屬性大小時，要選擇同屬性的標準進行測量。

把握知識結構是為了能夠類比遷移式學習，有助于學生解決新問題，所以遷移目標是更高層次的目標。

四、學生思考的關鍵問題

關鍵問題是學生在達成單元學習目標過程中應該思考的重要問題，能引領學生深度思考，是達成單元學習目標的重要支架。它是由單元具體概念引發得出的。我們基于“面積”單元具體概念，緊緊圍繞“發展學生量感和推理意識”的素養目標，提出了本單元學生思考的5個關鍵問題（如圖3）。

關鍵問題1指向單元具體概念1。讓學生理解度量對象，能結合實例理解面積的含義，體會面積是一個面大小的數值刻畫。

關鍵問題2指向單元具體概念2和4。對于怎么測量面積，這里體現兩個層次：一是學會用單位量，能用基本方法測量面積；二是自選單位靈活地量，根據實際需要選擇合適的單位測量面積，解決真實情景中的真實問題，自然地發展量感和推理意識。

關鍵問題3指向單元具體概念3。啟發學生探究長方形、正方形面積與圖形要素間的關系，得到長方形、正方形的面積公式，找到獲得長方形、正方形面積的優化方法，發展推理意識。

關鍵問題4指向單元具體概念4。想辦法應用面積測量的有關知識解決實際問題，體會數學的價值，發現面積單位間的進率。

關鍵問題5指向單元具體概念5。啟發學生進行回顧與反思，建立一維與二維度量的聯系，感悟度量單位的重要作用，滲透度量一致性，發展量感。

依據5個關鍵問題的思考和解決，實現單元核心素養目標的逐步形成，即發展學生的量感、推理意識、直觀想象和解決問題的能力。

基于以上分析，研究團隊設計了如下單元結構及學習任務序列。

1.單元結構說明

本單元共計20個學習任務，6個課時（如圖4）。各學習任務均以“度量活動”為主線，體現了度量的全過程。

2.學習任務序列

每個學習任務都有明確的設計意圖，構成了一個有邏輯、有進階的學習任務序列（如圖5）。

學習任務1～3，突出度量屬性，學生在度量活動中，感受圖形的二維屬性特點，認識到面有大有小，可以用“小面”個數來刻畫，獲得“度量值”。學習任務4～9，關注度量單位，學生經歷從“非標準”到“標準”，從“多元”到“統一”，以及根據實際需求引進新的度量單位的過程，用度量單位的個數來描述度量屬性。學習任務10～17，強調優化度量方法，學生在度量活動中，發現圖形面積與圖形要素之間的關系，得到公式度量的方法。這個過程也體現了圖形的認識與測量的關聯，圖形的認識是測量的基礎，測量是從度量的角度加深對圖形的認識。學習任務18～20，啟發學生主動回顧反思，認識到一維和二維度量的聯系與區別，感悟度量的一致性。這樣有邏輯的學習任務序列，進一步發展了學生的量感和推理意識。

五、評估設計及實施

依據學生學習結果表現設計相應的評估任務和評價標準，以此來實現持續性的反饋，保證學業要求的達成。

評估任務既可以在課堂中利用課堂觀察、對話交流、學習單等形式進行即時評估，也可以在學習后通過紙筆測試、實踐活動、行為觀察、訪談等形式進行評估。

評價標準是依據評估任務的達成情況及學生的思維水平制定的，本設計的評估任務評價標準分為三層：A層，學生能夠完成評估任務，達到預期學習目標，數學思維得到有效發展；B層，學生基本完成評估任務，但是思維受阻，需要教師或同伴提供一定的幫助；C層，在教師或同伴的幫助下，學生依然難以完成評估任務，未能達到預期學習目標。

本設計為每一個學習結果表現設計了有針對性的評估任務，以下僅以“學生學習結果表現3”為例，闡明評估任務、評價標準的設計。

學生學習結果表現3：“能夠選擇合適的面積單位估計生活中物體面的大小，并能實際測量，描述結果。”考查學生對“面積單位”的認識，以及用“先估后算”的方法解決問題的能力。

評估任務3和評價標準：結合學生的學習興趣與實踐意義，研究團隊設計了“圍棋棋盤的盤面有多大”的評估任務，學生在“學習活動記錄單”（如圖6）的引導下，借助學具進行實踐操作，并做出相應記錄。為實現對學生學習行為表現的有效評估，研究團隊制定了評價標準。教師依據評價標準分析學生的作品，觀察學生的操作過程，并進行有針對性的訪談，最終形成對學生學習結果的評估。

在本單元學習任務設計與實施的過程中，研究團隊始終關注學生的實際收獲，因此設計框架中增加了“學生學習結果表現”“持續性反饋”；在實施環節增加了對應的學習任務評估，適時監控單元教學的實施過程，保障單元學習目標的達成。同時，研究團隊還始終關注結構化學習，關注度量的一致性，重視遷移，如增加了復習整理課，溝通了一維和二維度量的聯系，幫助學生積累了圖形度量的學習經驗，為三維度量奠定了基礎；關注度量的階段性，由“量”到“算”，體現了優化。本單元的學習真正起到了承上啟下的作用，促進了量感和推理意識的可持續性發展，讓學生的核心素養真正落地生根。

【參考文獻】

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[3]楊雪，張春莉，劉冠男.教、學、評一致性：貫穿單元整體教學的設計與實施——對《義務教育數學課程標準（2022年版）》的一些思考[J].小學教學研究，2022（25）.

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注：本文系北京市教育科學“十三五”規劃一般課題“運用大觀念發展兒童數學關鍵能力的實踐探索”（課題編號：CDDB2020140）、北京市教育科學“十三五”規劃一般課題“指向兒童數學核心素養的單元學習任務設計與實踐研究”（課題編號：CDDB2020288）的研究成果之一。