透析試題結構 探尋思維路徑

沈敏輝 馬飛

摘 要：數學結構化教學擺脫了教材中的單元劃分，將數學知識以網絡連接，讓學生對知識有整體性的認識和結構性的認知，進而形成完整的知識體系.文章通過對一道中考試題的結構透析，分析其條件結論，將其與勾股定理、全等三角形等知識連接，建構起整體的知識體系，形成網絡框架.

關鍵詞：試題結構；思維路徑；解法探究；思考

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2024）08-0043-03

中考壓軸題通常以結構化數學知識為載體，具有結構優美、解法多樣等典型特征，所以一直以來都是教師研究的主要對象.本文以2021年嘉興市中考數學第9題為例，對其進行結構類型分析、解法探究和反思內化，供讀者參考.

1 試題呈現

如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，點D在AC上，且AD=2，點E是AB上的動點，連結DE.F，G分別是BC和DE的中點，連接AG，FG.當AG=FG時，線段DE長為（）.

2 結構分析

2.1 條件分析

由∠BAC=90°，AB=AC=5可知△ABC是等腰直角三角形，并且可求得相關角度和邊長.由AD=2可得到CD=3.因為F，G分別是BC和DE的中點，由中點和直角三角形，可聯想到直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即AG=DG=GE.由中點和等腰直角三角形，可聯想到等腰三角形“三線合一”性質，連接AF，進而得到AF⊥BC.由條件AG=FG可以考慮AG=DG=GE=GE，進而得到A，D，E，F在以點G為圓心圓上.

2.2 結論分析

一方面，因為A，D，E，F在以點G為圓心的圓上，∠BAC=90°，所以DE是此圓的直徑.根據已知條件可構造全等三角形，從而得出各條線段的長度，然后計算線段DE的長度.在構造全等三角形的基礎上，可以引入“一線三等角”模型.另一方面，根據圖形特征，可以通過設未知數構造方程的方式，將DE的長度表示出來.另外，可考慮建立直角坐標系，利用兩點之間的距離公式，設未知數構造方程，從而解得DE的長度.

3 解法探究

思路1 本題是一道選擇題，故可考慮將四個選項一一代入，觀察得到的結論和條件是否矛盾.

思路2 在直角三角形中，可以通過設未知數的方式將DE表示出來，遇到這類問題通常利用題中的等量關系聯立方程，求出未知數.

思路3 若學生觀察到本題可以分離成多個直角三角形，存在多條線段相等，則通過添加輔助線的方式，構造全等三角形.

思路4 根據等腰直角△DEF角度的特殊性，可以采用構造“一線三等角”的基本圖形.根據圖形的局部特征也可以構造相似三角形，利用相似比求解.

思路5 基于△ABC是等腰直角三角形，可以A點為原點，AB為x軸正方向，AC為y軸正方向建立坐標系，把題目中的等量關系表示出來.

解法8 如圖9，以A點為原點，以直線AB為x軸、直線AC為y軸，建立平面直角從標系.設AE=

4 解題思考

4.1 篩選試題，包含主干知識

教師在進行中考專題復習時，應該精心挑選涵蓋主干知識、具備多種解法途徑的典型例題，帶領學生一起對這些試題進行深度探究，運用綜合知識和數學方法解決問題，總結類型和反思內化.把典型試題當作發展學生核心素養的有效載體，能全面提高學生符號意識、幾何直觀、空間觀念等核心素養［1］.

4.2 分析試題結構，尋找多種解法

在解題過程中，學生之所以出現困難，有一大部分原因是學生沒有進行細致的結構分析.分析題目的結構時，要將題目條件逐一進行適當轉化，并標注在圖形上，相關重要線段的長可以用未知數代替，可以用此未知數表示出與其相關的其他線段的長度，實現代數與幾何的數形結合.

4.3 反思內化，提高核心素養

解題完成后，筆者帶領學生進行解法反思.裴光亞老師說過：“教學生解題，就是教學生猜想，洞察出最后的結果.”學生表示，建立直角坐標系，通過設未知數的方式能夠較快求出結果.最后，學生總結得出了解決線段長度問題的基本思路.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.義務教育課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.