義務(wù)教育階段關(guān)于方程的教學(xué)與銜接

數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)要求培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。其本質(zhì)在于要求教師做到以生為本，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，從數(shù)學(xué)的角度思考問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的眼光去看問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，做到學(xué)以致用。隨著課改的不斷深入，教材的更新及改進(jìn)，教材和教學(xué)都更加注重讓知識(shí)貼近學(xué)生的生活。本著更好地把握教材，做到科學(xué)、合理地駕馭教材，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，為學(xué)生的未來(lái)發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，本文結(jié)合教學(xué)實(shí)際，從小學(xué)階段的“認(rèn)識(shí)方程”這一章節(jié)出發(fā)，縱觀義務(wù)教育階段的方程與解方程進(jìn)行探究。

一、結(jié)合新課程標(biāo)準(zhǔn)深刻領(lǐng)會(huì)教材的編排及意圖

“認(rèn)識(shí)方程”是北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第八冊(cè)第五單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容，也是義務(wù)教育階段方程知識(shí)的起始課。本章單元的學(xué)習(xí)的教材編排了用字母表示數(shù)、等量關(guān)系、方程、解方程（一）、解方程（二）、猜數(shù)字游戲這幾個(gè)課時(shí)，從小學(xué)生身心發(fā)展出發(fā)，教材結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，知識(shí)的編排呈現(xiàn)層層遞進(jìn)。第一課時(shí)用字母表示數(shù)，意在引出式子，為建立式子和等式的雛形作好鋪墊，等量關(guān)系一課讓學(xué)生學(xué)會(huì)建立數(shù)量間的等量關(guān)系并為建立等式奠定基礎(chǔ)，同時(shí)也初步建立了方程雛形。到了方程時(shí)，由于前面幾節(jié)課學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了式子、等量關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，再來(lái)認(rèn)識(shí)和建立方程就能較好地理解和掌握。后面的解方程（一）、解方程（二）、猜數(shù)字游戲均采用等式的基本性質(zhì)（等式的兩邊同時(shí)加、同時(shí)減或同時(shí)乘、同時(shí)除以相同的數(shù)，等式依然相等）進(jìn)行教學(xué)的。

整個(gè)教材的編排環(huán)環(huán)相扣，把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得淺顯易懂。知識(shí)的呈現(xiàn)貼近孩子生活，符合小學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，學(xué)習(xí)過(guò)程中增強(qiáng)了探索性，幫助學(xué)生理解知識(shí)。在解方程課時(shí)中，教材用四幅插圖呈現(xiàn)天平游戲，激發(fā)了學(xué)生探究知識(shí)的興趣，呈現(xiàn)了探究等式基本性質(zhì)的過(guò)程。之所以借助演示天平原理，意在展現(xiàn)解方程的完整思路，因?yàn)樾W(xué)生具備玩蹺蹺板的生活經(jīng)驗(yàn)，所以很容易理解和接受這種解方程的方法。北師大版數(shù)學(xué)教材中利用天平原理（等式的基本性質(zhì)）解方程，貼近孩子的生活，不僅是增加了趣味性，更是把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得形象化和具體化，從而降低了學(xué)生的理解難度。

初中階段方程與解方程也是利用等式的基本性質(zhì)，所以教材的編排就是在有意地引導(dǎo)教師從等式的基本性質(zhì)入手，讓學(xué)生學(xué)會(huì)解簡(jiǎn)易方程，從而加強(qiáng)小學(xué)與中學(xué)教學(xué)之間的知識(shí)銜接。相比舊教材，解方程的方法更多的是利用數(shù)量之間的等量關(guān)系式進(jìn)行教學(xué)，這需要學(xué)生理解熟記較多的數(shù)量名稱以及靈活運(yùn)用數(shù)量之間的等量關(guān)系式解方程。

有部分教師仍然覺(jué)得用數(shù)量關(guān)系解方程更簡(jiǎn)單更方便，部分學(xué)生也覺(jué)得利用數(shù)量關(guān)系解方程更好記，主要原因在于教師與學(xué)生習(xí)慣了用算術(shù)思維解決問(wèn)題，而且在一些常見(jiàn)的練習(xí)中會(huì)出現(xiàn)未知數(shù)x為減數(shù)或除數(shù)的情況，等式基本性質(zhì)解方程就顯得明顯更為復(fù)雜。由于小學(xué)階段所學(xué)的知識(shí)范圍不便拓展，所以有些教師僅傳授用算術(shù)思維解方程，這樣既簡(jiǎn)單又便于記憶。在小學(xué)階段方程的教學(xué)就顯得有點(diǎn)混亂。

這樣的教學(xué)明顯背離了新的課程標(biāo)準(zhǔn)和理念，我們的教學(xué)不是讓學(xué)生生搬硬套和死記硬背，而是讓學(xué)生明白其中的道理，掌握知識(shí)的生成過(guò)程，這個(gè)知識(shí)的構(gòu)建是長(zhǎng)期的、系統(tǒng)的，是貫穿整個(gè)學(xué)習(xí)生涯的。

二、理解等式基本性質(zhì)解方程的原理及妙處

利用等式的基本性質(zhì)解方程既簡(jiǎn)便又好理解，因?yàn)樾W(xué)生具備了玩蹺蹺板的生活經(jīng)驗(yàn)，再配合天平原理，所以理解等式基本性質(zhì)較為簡(jiǎn)單。而四則運(yùn)算的等量關(guān)系式中，加數(shù)+加數(shù)=和，和-加數(shù)=加數(shù)，乘數(shù)×乘數(shù)=積，被除數(shù)÷除數(shù)=商，像這些等量關(guān)系式以及數(shù)量名稱，在新課標(biāo)的理念下被淡化了。正所謂學(xué)看得見(jiàn)的數(shù)學(xué)，對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，這些抽象概念和名稱的認(rèn)知是模糊的，運(yùn)用數(shù)量關(guān)系式解方程學(xué)生會(huì)有疑惑?？可嵊蔡谆蛘咚烙浻脖辰忸}步驟，看似簡(jiǎn)單，實(shí)則學(xué)生并不明白其中道理。

這種教學(xué)與新課程標(biāo)準(zhǔn)理念背道而馳，所以不建議側(cè)重于數(shù)量關(guān)系式解方程，更不建議個(gè)別教師直接跳過(guò)等式基本性質(zhì)而采用數(shù)量關(guān)系式解方程。然而不少家長(zhǎng)在輔導(dǎo)孩子解方程時(shí)，解方程的思路仍然是利用數(shù)量關(guān)系式解方程，還有些直接通過(guò)移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等中學(xué)的方法（超出小學(xué)階段的學(xué)習(xí)范疇）解方程。長(zhǎng)此以往小學(xué)生學(xué)習(xí)的方程及解法就顯得比較混亂。

在平時(shí)的教學(xué)中，教材是利用等式的基本性質(zhì)解方程，練習(xí)中又有需要運(yùn)用數(shù)量關(guān)系式解方程的題，教師如何進(jìn)行取舍？只傳授等式基本性質(zhì)解方程，還是改成等量關(guān)系式解方程？還是同時(shí)兼顧兩種解法？這就需要每位教師深入理解方程與解方程在義務(wù)教育階段的地位和作用。

數(shù)量關(guān)系式解方程的思路是小學(xué)階段學(xué)習(xí)解決問(wèn)題的重點(diǎn)，小學(xué)階段慣用數(shù)量間的等量關(guān)系式解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。而對(duì)于即將要步入中學(xué)階段的學(xué)生來(lái)說(shuō)，更要注重培養(yǎng)等式基本性質(zhì)解方程的代數(shù)思維，教師不僅要幫助學(xué)生復(fù)習(xí)梳理良好的四則運(yùn)算基本關(guān)系式解方程，更需要幫助學(xué)生建立初期的代數(shù)思維。小學(xué)生的認(rèn)知還局限在算術(shù)的思維與代數(shù)思維的初期階段，所以小學(xué)生應(yīng)體現(xiàn)知識(shí)的具體化、形象化，利用等式的基本性質(zhì)（天平原理）解方程，基于此而展開(kāi)的教學(xué)，對(duì)于在小學(xué)階段的學(xué)生來(lái)說(shuō)更易于接受，符合新課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)理念。

三、合理運(yùn)用算術(shù)思維強(qiáng)化滲透代數(shù)思維

利用等式的基本性質(zhì)即天平原理解方程，形象直觀、淺顯易懂，學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)能較快接受，但在解諸如12-x=5（未知數(shù)x是減數(shù)）和8÷x=2（未知數(shù)x是除數(shù)）的特殊方程時(shí)，需要運(yùn)用數(shù)量之間的等量關(guān)系來(lái)解。這就需要教師協(xié)調(diào)好等量關(guān)系式解方程法與等式基本性質(zhì)解方程法的教學(xué)。小學(xué)階段的普通方程（x不在減數(shù)或除數(shù)的位置），學(xué)生根據(jù)等式的基本性質(zhì)就可以進(jìn)行解答，這種解法不僅讓學(xué)生形象理解方程的過(guò)程，也滲透了中學(xué)數(shù)學(xué)的代數(shù)思維，提升學(xué)生的思維品質(zhì)，同時(shí)也為接下來(lái)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

正是基于小學(xué)階段的代數(shù)思維還處在初期，因此對(duì)于特殊方程，教師需要同時(shí)兼顧兩種解法，讓學(xué)生明白這兩類方程的本質(zhì)不同，避免學(xué)生誤把12-x=5與x-12=5；8÷x=2與x÷8=2混為一談。前者作為特殊方程利用等量關(guān)系式法的算術(shù)思維進(jìn)行求解，后者則作為常規(guī)方程利用等式的基本性質(zhì)的代數(shù)思維進(jìn)行求解。雖然在小學(xué)階段運(yùn)用數(shù)量間的關(guān)系式解方程也有便利之處，如12-x=5，8÷x=2，對(duì)于掌握等量關(guān)系式較為熟練的學(xué)生來(lái)說(shuō)，通過(guò)減數(shù)=被減數(shù)-差，除數(shù)=被除數(shù)÷商，就能迅速轉(zhuǎn)化成常用的方程，再進(jìn)行求解。但是對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，心中就有了一個(gè)深深的疑問(wèn)：為什么這種方程就不用等式基本性質(zhì)解方程而卻采用等量關(guān)系式解方程？原因在于學(xué)生不具備式子、項(xiàng)等初中階段的代數(shù)知識(shí)，更不具備理解兩邊同時(shí)加減含有x的項(xiàng)或等式兩邊同時(shí)乘除含有x的項(xiàng)的能力。這需要掌握比較完整的代數(shù)知識(shí)，即使教師在小學(xué)階段補(bǔ)充一些內(nèi)容，學(xué)生也很難理解。

雖然新教材有意地減少未知數(shù)是減數(shù)和除數(shù)的情況，但在相應(yīng)的配套練習(xí)和課外資料中仍然有出現(xiàn)。這給教師的教和學(xué)生的學(xué)造成了一定的困擾，所以需要我們深入剖析與理解方程和解方程，堅(jiān)定采用代數(shù)思維即等式基本性質(zhì)解方程的思路，同時(shí)開(kāi)辟算術(shù)思維解方程的途徑，把未知數(shù)x在減法或除法的方程作為一種特殊的方程，采用數(shù)量關(guān)系式的算術(shù)思維進(jìn)行求解。

當(dāng)然出于兩種思維的不同之處，建議盡量避免出現(xiàn)特殊方程，對(duì)于這兩種思維同步傳授，中下層次的學(xué)生會(huì)造成認(rèn)知上的沖突。當(dāng)然對(duì)于中上層次的學(xué)生來(lái)說(shuō)，既強(qiáng)化了學(xué)生的算術(shù)思維，同時(shí)滲透了代數(shù)思維，為迎接初中階段代數(shù)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

四、深入領(lǐng)會(huì)方程的本質(zhì)并做到精準(zhǔn)教學(xué)

首先，教師要堅(jiān)定領(lǐng)會(huì)教材內(nèi)容編排意圖，從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，讓學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)、感受知識(shí)的生成過(guò)程，體現(xiàn)新課標(biāo)理念。教材呈現(xiàn)天平原理進(jìn)行演示，形象直觀、生動(dòng)有趣，學(xué)習(xí)內(nèi)容貼近學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，化繁為簡(jiǎn)，抓住方程的本質(zhì)特征、等式的基本性質(zhì)，解題思路顯得更為淺顯易懂。等號(hào)兩邊同時(shí)進(jìn)行相同的運(yùn)算，使方程的一邊只留下未知數(shù)x，另一邊只剩下已知數(shù)，即可求出方程的解。

教材對(duì)這部分知識(shí)的呈現(xiàn)也符合學(xué)生的年齡特征與認(rèn)識(shí)規(guī)律，利用天平左右兩邊同時(shí)增加或減少相同質(zhì)量的物體、同時(shí)乘或同時(shí)除以相同倍數(shù)的物體，天平依然保持平衡的道理，可以形象直觀地幫助學(xué)生深化對(duì)“等式的基本性質(zhì)”的理解。學(xué)生已具備兒時(shí)玩蹺蹺板的生活經(jīng)驗(yàn)，所以理解起來(lái)較為容易，把等式基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化成天平游戲，符合兒童的認(rèn)知特征。

其次，在小學(xué)階段引入等式的基本性質(zhì)來(lái)解方程，教材中并沒(méi)有提等式基本性質(zhì)這一概念，而是通過(guò)天平原理形象直觀地讓學(xué)生明白了等式的基本性質(zhì)，會(huì)用等式基本性質(zhì)來(lái)解方程。之所以淡化數(shù)量關(guān)系式解方程的方法，不僅僅是因?yàn)閿?shù)量關(guān)系式過(guò)于抽象，更因?yàn)橄Ｍ麕椭W(xué)生從最初的算術(shù)思維轉(zhuǎn)化到代數(shù)思維上來(lái)，也為加強(qiáng)小學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接。初中階段的解方程利用的就是等式的基本性質(zhì)，如果小學(xué)階段堅(jiān)持用數(shù)量關(guān)系式的算術(shù)思維解方程，將會(huì)造成學(xué)生進(jìn)入初中后，小學(xué)階段所學(xué)方程的解法認(rèn)知與初中階段方程的解法脫節(jié)甚至產(chǎn)生沖突。

在以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)中，由于受到小學(xué)算術(shù)方法的負(fù)遷移影響，不少初中學(xué)生一時(shí)無(wú)法接受等式基本性質(zhì)解方程的解法，造成了在方程的學(xué)習(xí)這一章節(jié)產(chǎn)生了諸多困難。若推倒舊知識(shí)重新學(xué)習(xí)新知識(shí)，改變學(xué)生已經(jīng)固化的觀念，不利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的建構(gòu)，這樣的教學(xué)是一種極大的浪費(fèi)，對(duì)學(xué)生的發(fā)展極為不利。

最后，重視未知數(shù)x為減數(shù)及x為除數(shù)的方程，將其視為特殊方程，通過(guò)算術(shù)思維等量關(guān)系式解方程，重點(diǎn)講授等式基本性質(zhì)的代數(shù)思維解方程。當(dāng)然在小學(xué)階段練習(xí)中，盡量避免出現(xiàn)這種情況，教師應(yīng)有意識(shí)地引導(dǎo)這種方程的特殊性，因?yàn)閷W(xué)生不具備代數(shù)思維解這種方程的基礎(chǔ)，即使補(bǔ)充初中的式子、等式、項(xiàng)等知識(shí)，也需要教師補(bǔ)充其他較多的內(nèi)容，知識(shí)點(diǎn)也更抽象、難以理解，所以不建議拓展。這部分知識(shí)應(yīng)該放到初中階段進(jìn)行系統(tǒng)的學(xué)習(xí)后，等學(xué)生具備了相應(yīng)的代數(shù)知識(shí)再進(jìn)行學(xué)習(xí)，理解起來(lái)才得心應(yīng)手。小學(xué)階段不易延伸，兩種解法在某種理解上有一定的認(rèn)知沖突。此類題型可以作為特殊方程進(jìn)行拓展對(duì)比練習(xí)，注重代數(shù)思維解方程的同時(shí)復(fù)習(xí)算術(shù)思維解方程，同時(shí)可以幫助學(xué)有余力的優(yōu)等生對(duì)兩種解法之間的相互轉(zhuǎn)化進(jìn)行探究。

綜上所述，中小學(xué)數(shù)學(xué)課程是一個(gè)有機(jī)的整體，教材反映的是各部分知識(shí)之間的聯(lián)系與綜合，需要教師通盤把控。因此，教師要精準(zhǔn)把握教材，靈活駕馭教材，幫助學(xué)生優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)地內(nèi)化數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

責(zé)任編輯 羅 峰