一題多想，提升初中學生的數學解題能力

摘要：教師在數學教學中，要關注學生的思維發展，提升他們解決問題的能力.提升學生解決問題的能力不是讓他們機械地多做題目，而是要讓他們多思考，促進思維的深度發展.教師可引導學生想一想“是不是還能探究一些問題，是不是有不同的解法，是不是有類似的題目”.通過這樣的一題多想，學生的思維能夠得到鍛煉，解題能力自然能獲得發展.

關鍵詞：初中數學；解題能力；一題多想

學生在學習數學時不僅要能記住一些基本的知識，還要能運用這些知識解決具體的問題，發展思維能力.當前部分初中學生的解題能力不強，主要表現為遇到新問題就想不到解決的方法.基于此種現狀，教師可改變教學方法，以學生為主體開展數學教學，讓他們多學習，多思考.教師可引導學生基于某一道題目展開多方面的探究，在提升學生思維深度與廣度的同時，也鍛煉了他們多維度解決問題的能力.

1 引導學生多想出一些問題

當前，不少初中生總是被動完成數學學習任務，教師布置多少作業，他們就完成多少作業；教師問多少問題，他們就回答多少問題.教師不問問題，學生也不會主動提問.教師可改變學生這樣的學習方式，讓學生能主動提出一些問題來［1］.比如，讓學生在原先的問題上，再提出一些問題來，只要給學生更多思考的空間，相信他們能發現更多有價值的問題.

以一元二次方程的教學為例，可創設如下問題情境：

案例1" 某農場計劃建造一個矩形養殖場，為充分利用現有資源，該矩形養殖場一面靠墻（墻的長度為10 m），如圖1，另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為1∶2的矩形.已知柵欄的總長度為24 m，設較小矩形的寬為x m.

問題1" 若該養殖場的總面積為36 m2，求x.

分析：由BC=x，可得CD=2x，BD=3x，AB=CF=DE=13（24-BD）=8-x.由矩形養殖場的總面積為36，可得3x（8-x）=36，解得x1=2，x2=6（不合題意，舍去），故x的值為2.

教師引導學生結合題目情境再次深入思考，看能否發現新的問題.由一元二次方程及面積問題等，學生想到了如下問題：

問題2" 當x為多少時，矩形養殖場的總面積最大？最大值為多少？

分析：學生在提出問題后，發現只要設矩形養殖場的總面積為S，由矩形的面積公式就可以得到S關于x的函數關系式，然后再根據二次函數的性質求解即可.

解析：設矩形養殖場的總面積為S，由問題1可得S=3x（8-x）=-3（x-4）2+48.

由墻的長度為10 m，得0＜3x≤10，即0＜x≤103.所以，當0＜x≤103時，S隨著x的增大而增大，故當x=103時，S有最大值，且最大值為-3×103-42+48=1403（m2）.

由此可見，讓學生提出問題能給學生更多的鍛煉機會.為了降低學生思考問題的難度，也為了增加他們參與的信心，教師可先設置一個問題，然后再讓學生對這個問題進行拓展，進而提出第二個問題.因此，教師在設計問題時要考慮層次性和梯度，讓學生可進行多方面的思考.

2 引導學生多想出一些解法

不少初中生在做完一道題目之后，就趕著做下一道題目，而沒有進一步去思考這道題是不是還可以運用別的知識求解［2］.基于這樣的現狀，要改變過去那種布置大量作業題目的做法，讓學生從繁多的作業中解放出來，可少設置題目，但要引導學生多思考，激發他們的思維走向縱深.

以與圓相關的題目為例，設計如下：

案例2" AB為⊙O的直徑，C為AB的中點，M為OB的中點，連接CM并延長交⊙O于點D，若OM=2，求CD的長.

分析1：作相應的輔助線，借助垂徑定理即可求解.

解法1：如圖2，過點O作OH⊥CD于點H，連接OC，則CD=2CH.因為點M為OB的中點，OM=2，所以OC=OB=4．又C為AB的中點，所以∠COB為90°.在Rt△OMC中，有CM=OC2+OM2=25.又由cos C=CHOC=OCCM，得CH=855，所以CD=2CH=1655.

分析2：依據直徑所對的圓周角是直角，構造以CD為直角邊的直角三角形，在該直角三角形中直接求出CD的長.

解法2：如圖3，作直徑CE，連接DE.由M為OB的中點，OM=2，得OC=OB=4.又CE是⊙O的直徑，所以∠CDE=90°.由C為AB的中點，得∠COB=90°.在Rt△OMC中，CM=OC2+OM2=25．由cos C=CDCE=OCCM，得CD8=425，所以CD=1655.

可以看出，一題多解就是在減輕學生學習負擔的前提下，引導學生基于不同層面展開分析以及應用不同知識點解決問題.通過這樣的方式，學生能提升多角度分析問題的能力，不僅能運用所學知識與技能，更能對題目所涵蓋的信息進行重新建構，提升解題效率.因此，在數學教學中，教師要鼓勵學生多掌握解題技巧，通過一題多想拓寬解題思路，實現觸類旁通的學習效果.

3 引導學生多想出同類題目

要提升學生的解題能力，教師就需要在教學的每一個環節都能引發學生的思考，給他們創設解決問題的機會.對于數學學習來說，能通過一道數學題目，想到更多同類的題目，這也是提升解題能力的有效方式.這樣學生可用一把“鑰匙”，打開同一類型的“鎖”.

以勾股定理的教學為例，可創設如下問題情境：

案例3" 有一塊空白地，如圖4所示，∠ADC＝90°，CD＝6 m，AD＝8 m，AB＝26 m，BC＝24 m，試求這塊空白地的面積S.

分析：學生先是連接AC，再思考能不能從這些線段的具體數值入手，運用勾股定理的逆定理來解決問題.在運用這一定理時，學生發現要求的面積是不規則圖形，于是想到將不規則圖形轉化為規則的圖形.

解析：在Rt△ACD中，由

CD＝6，AD＝8，可得

AC2＝AD2+CD2＝100，所以

AC＝10．

在△ABC中，因為AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676，所以AC2+BC2＝AB2，即

△ACB為直角三角形，且∠ACB＝90°．

故S=S△ACB-S△ACD=12AC×BC-12AD×CD=12×10×24-12×8×6=96（m2）.

教師引導學生思考能不能想出類似的題目.學生認為類似的題目條件應該差不多，運用的知識點也差不多.于是找到如下問題情境：

如圖5，在Rt△ABC中，∠B=90°，將△ABC沿AM折疊，使點B落在AC邊上點D的位置.

（1）若AM=MC，求∠C的度數；

（2）若AB=12，BC=16，求BM的長及△AMC的面積.

分析：學生認為這道題目的條件與結論跟圖4所展現的題目差不多，只是條件與結論都有所增加.

解析：（1）因為△ABC沿AM折疊，使點B落在AC邊上點D的位置上，所以∠BAM=∠DAM.由

AM=MC，得∠C=∠DAM，所以∠BAM=∠DAM=∠C=30°.

（2）因為△ABC沿AM折疊，使點B落在AC邊上點D的位置，又∠B=90°，所以可求得AC=AB2+BC2=20，則CD=AC-AD=8.設BM=DM=x，則CM=16-x，所以x2+82=（16-x）2，解得x=6，即BM的長為6，所以進而可得S△AMC=12CM·AB=12×10×12=60.

因此，在教學的過程中，教師可引導學生在做完題目之后，再思考能不能創設類似的題目，以盤活知識點與解題技能，促進數學思維的發展.

總之，要提升學生的解題能力，就需要激發他們的潛力，引導他們進行多方面的思考.學生借助一題多想，能提升發散思維能力，展示個性、滿足自己多元化學習的需求.因此教師要多通過一題多想，激活學生思維的靈活性和多樣性，引導他們更多地關注學習過程，而不是最終的結果.

參考文獻：

［1］顧銀麗.一題多想，提升學生立體幾何解題能力［J］.數理天地（高中版），2023（1）：35.36.

［2］楊向斌.一題多想，提升初中學生的創新思維能力［J］.教學管理與教育研究，2022，7（20）：97.98.